2. Непонятны следующие моменты
Вы слишком резво решили поскакать вперёд. И снова начали говорить про "функции". Пока вы не понимаете, что такое функции! Избегите этого слова и понятия в своих вопросах.
Хорошо, с этим разобрались. Но тогда не обязательно нужно было называть "правильную формулу". Достаточно было просто написать
1. Истинно
2. Истинно
3. Ложно, т.к. яблоки бывают кислых сортов.
4. Истинно, т.к. минимум банан из всех троих по-любому будет сладкий.
Я не знаю, где вы в России нашли растущие бананы, но с логическими выражениями, наконец, справились.
Еще такой вопрос: увидел в сети учебник В.А. Садовничего "Теория операторов", начал читать, вроде понимаю и всё нравится.
Вам, скорее всего, рано.
Вот эта табличка что-то совсем не понятна... Где можно почитать про это подробно?
Там, где подробно, там много сложных деталей. Вас это сбивает и отвлекает. Вам надо на школьном уровне объяснять, а такого почти нигде нет.
Лучше задайте вопросы здесь.
3.
Пока всё было хорошо. Но как известно, математика только до 5 класса с числами, а дальше "с иксами". Иксы математика очень любит.
Типичное решение школьной задачи "с иксом" выглядит как-то так:
Пусть - количество килограммов конфет, которые съел Вася. Тогда...
Тут очень важно, что после фразы "
Пусть", и до конца решения, буква
имеет смысл, и ей можно пользоваться. Математик увидит
и скажет: "ну, всё понятно!". Он подставит какое-то число, и проверит, это истина или ложь.
А если математик увидит
снаружи этого промежутка, до слова "
пусть" или после конца решения, он вскричит: "какой
! мы не договаривались ни про какой
! знать его не знаю! вы незнамо что написали!".
Это очень важное различие. Говорят, что в выражении
-
переменная свободная. Поэтому, про него ничего сказать нельзя - истинно оно или ложно.
Но если мы скажем "
пусть ", то с этого места
переменная связанная. И выражение
будет истинным.
Итак, можно брать в качестве "кирпичиков"
формулы с переменными. И склеивать их логическими связками, как и "простые кирпичики". Эти формулы не будут иметь значения "истина или ложь", до тех пор, пока переменная остаётся свободной. Но если её связать, то про формулу можно сказать, истинна она или ложна.
Такие "высказывания, зависящие от переменных", называются
предикатами.
"Рамка", внутри которой переменная связана, бывает разной, не обязательно "до конца решения задачи". Ну и разумеется, можно иметь несколько переменных, их "рамки связывания" должны быть вложены одна в другую.
4.
Ещё математика любит рассматривать вещи не по отдельности, а все разом. Это называется
множеством (иногда
классом). Например,
- множество, в которое входят числа 1, 3 и 5. А
- это множество всех чисел, лежащих между 1 и 3 на числовой прямой (включая сами эти числа 1 и 3). Подробный рассказ про множества - большой и уведёт меня в сторону, так что я его опущу. Пока подчеркну, что каждый элемент входит в множество "один раз", то есть, если мы его добавим ещё раз, то это будет то же самое множество. Ну и порядок не важен, я пишу цифры по возрастанию исключительно для удобства. Так что,
- одно и то же множество.
Итак, если у нас есть какой-то предикат, то мы можем посмотреть разом
на все его значения, если подставлять в него в качестве
какие-то элементы какого-то множества. Например, если мы возьмём предикат
и будем подставлять в него элементы множества
то получим "истина", "истина", "ложь", "ложь" соответственно (понятно, почему?).
Так вот, связывать переменные можно не только таким способом, как я говорил выше. Можно не только рассматривать выражения "данный предикат при данном значении переменной", но и выражения, охватывающие все значения предиката при всех значениях переменной (из какого-то множества! заданного или подразумеваемого). Их общеупотребительных два-три:
- Квантор всеобщности пишется и означает "для любого из множества ", "для всех из множества ", "пусть - любой элемент множества ", "пусть пробегает все элементы множества ". Выражение будет истинным тогда и только тогда, когда при подстановке всех элементов в предикат будет получаться именно истинное выражение. Пример:
- Квантор существования пишется и означает "во множестве найдётся (существует хотя бы один ), для которого...". Выражение будет истинным, если при подстановке всех элементов в предикат будет получаться хотя бы одно истинное выражение. Пример:
- Есть вариант квантора существования, который пишется и означает "во множестве существует единственный (ровно один) , для которого..." (квантор "существования и единственности", не все им пользуются). Выражение будет истинным, если при подстановке всех элементов в предикат будет получаться ровно одно истинное выражение. Пример:
Если множество понятно из контекста, то часть "
" может опускаться. Буквы для кванторов происходят из слов All и Exists.
Несколько осторожными надо быть, когда перебираемое множество - пустое множество. Это в математике совершенно законно, но надо не споткнуться.
Для квантора существования, и для "квантора существования и единственности", очевидно, в пустом множестве не может найтись никакого подходящего элемента, и выражения с таким квантором будут всегда ложными.
А вот для квантора всеобщности, он понимается как "не найдётся такого элемента, для которого предикат был бы ложным", и выражение с таким квантором по пустому множеству - всегда будет истинным.
Уложился в пункты 3 и 4 :-)
Упражнение:
Прочитайте, и скажите, истинно ли это: