Производная

[Solaris86]

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Ответ недостаточный. Докажите, что да, или опровергните.

ОК.
$y = kx+y_0-kx_0$ и $x = \frac {y}{k}-\frac{y_0}{k}+x_0$ - явно заданные функции
$y-y_o = k(x-x_0)$, $x-x_0 = \frac{y-y_0}{k}$ и $k = \frac {y-y_0}{x-x_0}$ - неявно заданные функции

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Давайте рассмотрим множество $\text{Ф}=\{``\text{яблоко}'',``\text{банан}'',``\text{груша}''\}.$

Множество фруктов Ф, состоящее из 3 элементов - яблока, банана, груши.

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Понимаете ли вы, что значит $``\text{банан}''\in\text{Ф}$?

Банан принадлежит множеству Ф.

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Понимаете ли вы, что значит $``\text{огурец}''\not\in\text{Ф}$?

Огурец не пренадлежит множеству Ф.

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Понимаете ли вы, что значит $\textit{ф}\in\text{Ф}$?

Фрукт ф принадлежит множеству Ф, причём фрукт ф может принимать 3 значения: $\text{ф}_1 = \text{яблоко}$, $\text{ф}_2 = \text{банан}$, $\text{ф}_3 = \text{груша}$

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Понимаете ли вы, что значит "существует некоторое $\textit{ф}\in\text{Ф}$"?
Понимаете ли вы, что значит "для всех $\textit{ф}\in\text{Ф}$"?
Понимаете ли вы, что значит "существует некоторое $\textit{ф}\in\text{Ф},$ такое что $\textit{ф}$ растёт в России"?
Понимаете ли вы, что значит "для всех $\textit{ф}\in\text{Ф},$ вкус $\textit{ф}$ сладкий"?

Не все из этих четырёх утверждений полностью понятны.
Первое утверждение: непонятно, что значит "некоторое"; это значит, что ф принимает одно (или яблоко, или банан, или груша) или два значения (или яблоко и банан, или банан и груша, или яблоко и груша) из трёх?
Второе утверждение: непонятно, что значит "для всех"; это значит, что ф принимает все три значения (яблоко, банан и груша)?
Третье утверждение: вообще не ясно, при чём тут свой свойство растёт в России, по идее для наделения объекта этим свойством должно быть множество $\text{С}=\{``\text{Россия}'',``\text{Белоруссия}'',``\text{США}'', ...\}.$ Так?
Четвёртое утверждение: аналогично; должно быть множество $\text{B}=\{``\text{кислый}'',``\text{сладкий}'',``\text{горький}'', ``\text{солёный }''\}.$ Так?

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Однако пока у нас нет больше никаких отображений, только эти два. Понимаете ли?

Да.

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Если понимаете, то проверочный вопрос: а сколько всего разных отображений типа $\text{Ф}\to\text{Ц}$ можно построить?

Не могу сосчитать, вариантов много.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328012 писал(а):

$y = kx+y_0-kx_0$ и $x = \frac {y}{k}-\frac{y_0}{k}+x_0$ - явно заданные функции
$y-y_o = k(x-x_0)$, $x-x_0 = \frac{y-y_0}{k}$ и $k = \frac {y-y_0}{x-x_0}$ - неявно заданные функции

Меня не интересует, явные они или неявные. Заметьте, я вообще не произносил слова "функция", с которым у вас проблемы. Я говорил "уравнение прямой".

Сосредоточьтесь. Вопрос не о том, чтобы что-то как-то назвать. Вопрос вот в чём:
Равносильны ли уравнения $y = kx+y_0-kx_0$ и $(y-y_0)=k(x-x_0)$?

Solaris86 в сообщении #1328012 писал(а):

Не все из этих четырёх утверждений полностью понятны.

Вот мы и добрались до места (одного из мест), где у вас провал в основах. Непонятно, как вы много лет слушали и читали продвинутую математику с таким провалом, честно говоря...

Solaris86 в сообщении #1328012 писал(а):

Не могу сосчитать, вариантов много.

Это довольно простой расчёт.
1. Сколько у нас в такой таблице клеточек по горизонтали?
2. Сколько у нас вариантов заполнить нижнюю клеточку в первом столбце?
3. ... во втором столбце?..
и так далее, до последнего столбца.
$n.$ Как из этих чисел посчитать число способов заполнения таблички?

----------------

Другой заход на кванторы.

Понимаете ли вы вот такие утверждения? (значок $\wedge$ означает логическое "и", а значок $\vee$ - логическое "или")

1. "(яблоко растёт в России) $\vee$ (банан растёт в России) $\vee$ (груша растёт в России)"
2. "(яблоко растёт в России) $\wedge$ (банан растёт в России) $\wedge$ (груша растёт в России)"
3. "(вкус яблока сладкий) $\wedge$ (вкус банана сладкий) $\wedge$ (вкус груши сладкий)"
4. "(вкус яблока сладкий) $\vee$ (вкус банана сладкий) $\vee$ (вкус груши сладкий)"

Про которые из них вы можете сказать, что они истинны или ложны?

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1327990 писал(а):

неопределенность вида $\frac {0}{0}$, которая, по идее, может быть равна любому конечному числу,

Делить на ноль нельзя! Результат деления на ноль неопределен.
Поэтому $y=kx$ и $y/x=k$ не являются одним и тем же при $x=0$.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328020 писал(а):

Сосредоточьтесь. Вопрос не о том, чтобы что-то как-то назвать. Вопрос вот в чём:
Равносильны ли уравнения $y = kx+y_0-kx_0$ и $(y-y_0)=k(x-x_0)$?

Равносильны. Однако вы хотите, чтобы я это доказал.
Попробую.
$y = kx+y_0-kx_0$
Представим вычитание как сложение:
$y = kx+y_0-kx_0 = kx+y_0+(-kx_0)$
Применим коммутативный закон сложения $a+b = b+a$:
$y = kx+y_0+(-kx_0) = kx+(-kx_0)+y_0$
Применяем дистрибутивный закон умножения относительно сложения $(a+b)c = ac + bc$:
$y = kx+(-kx_0)+y_0 = k(x+(-x_0))+y_0$
Прибавим к обеим частям уравнения $-y_0$:
$y+(-y_0) = k(x+(-x_0))+y_0+(-y_0)$
$y+(-y_0) = k(x+(-x_0))+0$
$y+(-y_0) = k(x+(-x_0))$
Представим сложение как вычитание:
$y-y_0 = k(x-x_0)$
Это всё, что я смог придумать, по-другому доказать не могу...

Munin в сообщении #1328020 писал(а):

Вот мы и добрались до места (одного из мест), где у вас провал в основах. Непонятно, как вы много лет слушали и читали продвинутую математику с таким провалом, честно говоря...

Да, импровизировал и выкручивался, как мог, хотя всегда чувствовал неуверенность, что что-то упущено...

Munin в сообщении #1328020 писал(а):

Это довольно простой расчёт.
1. Сколько у нас в такой таблице клеточек по горизонтали?
2. Сколько у нас вариантов заполнить нижнюю клеточку в первом столбце?
3. ... во втором столбце?..
и так далее, до последнего столбца.
$n.$ Как из этих чисел посчитать число способов заполнения таблички?

А, вот оно что требуется...
Если я не ошибаюсь, тут надо использовать формулу размещения с повторениями:$\overline{A}_n^m = n^m$
$m$ - количество элементов множества $\text{Ф}$, $m=3$, а $n$ - количество элементов множества $\text{Ц}$, $n=4$:
$\overline{A}_4^3 = 4^3=64$

Munin в сообщении #1328020 писал(а):

Другой заход на кванторы.

Понимаете ли вы вот такие утверждения? (значок $\wedge$ означает логическое "и", а значок $\vee$ - логическое "или")

1. "(яблоко растёт в России) $\vee$ (банан растёт в России) $\vee$ (груша растёт в России)"
2. "(яблоко растёт в России) $\wedge$ (банан растёт в России) $\wedge$ (груша растёт в России)"
3. "(вкус яблока сладкий) $\wedge$ (вкус банана сладкий) $\wedge$ (вкус груши сладкий)"
4. "(вкус яблока сладкий) $\vee$ (вкус банана сладкий) $\vee$ (вкус груши сладкий)"

Я думал, есть только 2 квантора: квантор всеобщности и квантор существования, но причём тут логические "и" и "или", пока неясно...

По утверждениям:
1. Ложно, так как все эти фрукты растут в в том числе и в России.
2. Нельзя сказать, истинно или ложно, так как эти фрукты растут не только в России.
3. Ложно, так как, во-первых, есть разные сорта этих фруктов, во-вторых, вкус еще зависит от многих факторов: степени зрелости, почвы, на которой растили, использованных удобрений и др.
4. Нельзя сказать, истинно или ложно.

wrest в сообщении #1328038 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1327990 писал(а):

неопределенность вида $\frac {0}{0}$, которая, по идее, может быть равна любому конечному числу,

Делить на ноль нельзя! Результат деления на ноль неопределен.
Поэтому $y=kx$ и $y/x=k$ не являются одним и тем же при $x=0$.

Я честно не понимаю, что нам с того, что результат не определен? Можно же раскрыть неопределенность и всё.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1328367 писал(а):

Я честно не понимаю, что нам с того, что результат не определен? Можно же раскрыть неопределенность и всё.

Это опять же момент непонимания где предел, где число и где значение функции. "Раскрыть неопределенность" означает найти предел (если он существует).
На ноль, как число, делить нельзя, и поэтому функция $f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x-1}$ не определена при $x=1$, нельзя написать что $\dfrac{(1-1)^2}{1-1}=0$. Вы можете доопределить функцию значением $f(1)=0$.
Это тонкие моменты, но вы вроде как в эти тонкости и хотели вникнуть...

Solaris86 в сообщении #1328367 писал(а):

По утверждениям:

Попробуйте установить истинность (исходя из того что Паша таки мальчик, а Маша таки девочка).
"(Паша мальчик) И (Саша мальчик) И (Маша мальчик)"
"(Паша мальчик) ИЛИ (Саша мальчик) ИЛИ (Маша мальчик)"
А потом переотвеить на вопросы Munin пока он не появился и не увидел ваш ответ.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328367 писал(а):

Попробую.
...
Это всё, что я смог придумать, по-другому доказать не могу...

Слишком подробно, но в общем, сойдёт.

Мне бы хватило выкладок "на школьном уровне строгости". Вообще, вам стоит понимать, что вы сейчас пытались действовать так, как действуют на предмете "Алгебра" (в вузовском смысле) - с подробным указанием всех законов. А вам надо действовать, как на предмете "Мат. анализ". На "Алгебре" надо работать так тщательно, потому что там изучаются группы, кольца и поля с необычными, непривычными свойствами, и в выкладках нужна тщательность и осторожность. Но здесь речь идёт об обычных действительных числах $\mathbb{R},$ и по ним надо ходить уверенно, а не проверяя каждый шаг, как в алгебраических болотах.

Хорошо. Теперь я делаю вот что: я ввожу обозначения

$\Delta x=x-x_0$
$\Delta y=y-y_0$

и записываю то же самое уравнение прямой как

$\Delta y=k\,\Delta x.$

Всё ли вам в этом уравнении понятно? Где здесь "прячутся" данные задачи: точка, через которую проходит прямая линия, и коэффициент наклона?

Solaris86 в сообщении #1328367 писал(а):

А, вот оно что требуется...
Если я не ошибаюсь, тут надо использовать формулу размещения с повторениями:$\overline{A}_n^m = n^m$
$m$ - количество элементов множества $\text{Ф}$, $m=3$, а $n$ - количество элементов множества $\text{Ц}$, $n=4$:
$\overline{A}_4^3 = 4^3=64$

Да, верно. Но мне не нравится, что вы используете формулу, но не уверены в её правильности.

Поэтому у меня к вам будет такая просьба (извините, я не думал, что до такого дойдёт, иначе взял бы число поменьше). Выпишите все эти 64 варианта отображений типа $\text{Ф}\to\text{Ц}.$

Solaris86 в сообщении #1328367 писал(а):

Я думал, есть только 2 квантора: квантор всеобщности и квантор существования, но причём тут логические "и" и "или", пока неясно...

По утверждениям:
1. Ложно, так как все эти фрукты растут в в том числе и в России.
2. Нельзя сказать, истинно или ложно, так как эти фрукты растут не только в России.
3. Ложно, так как, во-первых, есть разные сорта этих фруктов, во-вторых, вкус еще зависит от многих факторов: степени зрелости, почвы, на которой растили, использованных удобрений и др.
4. Нельзя сказать, истинно или ложно.

Это довольно грустно. Оказывается, вы не то чтобы можете или не можете определить истинность утверждений. Вы их не понимаете.

Постараюсь уточнить. Сейчас я буду вместо значков использовать слова "и" и "или", но прошу понимать их в смысле логических операций.

1. "(яблоко растёт в том числе и в России)

или (банан растёт в том числе и в России)
или (груша растёт в том числе и в России)"

2. "(яблоко растёт в том числе и в России)

и (банан растёт в том числе и в России)
и (груша растёт в том числе и в России)"

3. "(вкус спелого яблока всегда сладкий)

и (вкус спелого банана всегда сладкий)
и (вкус спелой груши всегда сладкий)"

4. "(вкус спелого яблока всегда сладкий)

или (вкус спелого банана всегда сладкий)
или (вкус спелой груши всегда сладкий)"

Solaris86 в сообщении #1328367 писал(а):

Я честно не понимаю, что нам с того, что результат не определен? Можно же раскрыть неопределенность и всё.

Иногда можно, иногда нельзя. "Раскрыть неопределённость" можно только в некоторых ситуациях, когда выполнены некоторые условия. Эти условия надо было запомнить в матанализе, и каждый раз надо проверять. А здесь вы этого не сделали (и я вам заранее скажу, что эти условия здесь не выполнены).

[Solaris86]

wrest в сообщении #1328369 писал(а):

Это опять же момент непонимания где предел, где число и где значение функции. "Раскрыть неопределенность" означает найти предел (если он существует).
На ноль, как число, делить нельзя, и поэтому функция $f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x-1}$ не определена при $x=1$, нельзя написать что $\dfrac{(1-1)^2}{1-1}=0$. Вы можете доопределить функцию значением $f(1)=0$.
Это тонкие моменты, но вы вроде как в эти тонкости и хотели вникнуть...

Получается буквально следующее, если я правильно вас понял:
1. $f(x) = 1$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$
$E(f(x)) = \left\{1\right\}$
2. $f(x) = x-1$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}$
3. $f(x) = \frac{x-1}{x-1}$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown\left\{1\right\}$ - без доопределения $f(1) = 1$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 1$
$E(f(x)) = \left\{?\right\}$ - без доопределения $f(1) = 1$
$E(f(x)) = \left\{1\right\}$ - c доопределением $f(1) = 1$
4. $f(x) = \frac{(x-1)^2}{x-1}$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown\left\{1\right\}$ - без доопределения $f(1) = 0$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 0$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown\left\{0\right\}$ - без доопределения $f(1) = 0$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 0$
Верно?

wrest в сообщении #1328369 писал(а):

Попробуйте установить истинность (исходя из того что Паша таки мальчик, а Маша таки девочка).
"(Паша мальчик) И (Саша мальчик) И (Маша мальчик)"
"(Паша мальчик) ИЛИ (Саша мальчик) ИЛИ (Маша мальчик)"
А потом переотвеить на вопросы Munin пока он не появился и не увидел ваш ответ.

Я не понимаю подобного рода заданий, видимо.
Паша и Саша - это имена, применяемые к обоим полам, Маша - имя, применяемое только к женскому полу.
Тогда утверждение "(Паша мальчик) И (Саша мальчик) И (Маша мальчик)" либо ложно, либо не поддается проверке на ложность или истинность.
Второе утверждение я не понимаю, как вообще трактовать...

[Munin]

Munin писал(а):

Всё очень просто.

1.
В русском языке "предложение выражает законченную мысль, и заканчивается точкой".

В логике, законченную мысль выражает высказывание (иногда говорят, утверждение).

Высказывание - это что-то, что может быть истинным или ложным. Например:

- "сегодня понедельник" - истинное высказывание;
- "меня зовут Маша" - ложное;
- $3\leqslant 5$ - истинное;
- $2+2\neq 4$ - ложное.

Высказывание выступает в двух ролях:
- как просто объект, подобно числам в арифметике, фигурам в геометрии, - тогда оно может быть истинным или ложным;
- как то, что мы "высказываем" от своего лица, утверждаем - тогда мы заявляем, что оно истинное.
Например, в учебнике может быть написано от лица автора $2+2=4,$ но не будет написано $2+2=5.$ Автор берёт истинное высказывание, и сообщает его читателю, а ложного не сообщает.

2.
Высказывания типа $\boxed{3\leqslant 5}$ написаны не на языке матлогики. Это язык арифметики, геометрии, физики, или какой-то другой язык. Матлогика их воспринимает как нечто целое, неделимое. Для матлогики это элементарные кирпичики, из которых можно склеивать другие высказывания, более крупные. Например, " $\boxed{3\leqslant 5}$ и $\boxed{3\geqslant 1}$ " - это высказывание, склеенное из двух "элементарных" высказываний при помощи "логической связки" (или "логической операции") И. (Ещё её называют "логическое И", и конъюнкция.)

Есть 3-5 самых употребительных связок. Они подобны союзам в русском языке, кроме связки ИЛИ: ИЛИ обязательно допускает, что одновременно и то и другое верно, а по-русски это подразумевается не всегда. Ещё связка ЕСЛИ-ТО не сразу понятна и привычна. У них много вариантов названий, некоторые самые употребительные, а некоторые более редкие. Но все они одинаково "работают", вот в каком смысле. Если мы знаем, истинны или ложны "склеенные кирпичики", то мы можем точно определить, истинно или ложно целое высказывание, склеенное определённым клеем.

\begin{tabular}{cc||c|c|c} $\boxed{A}$ & $\boxed{B}$ & \begin{tabular}{c}НЕ $\boxed{A}_{\vphantom{,}}$\\$\lnot\,\boxed{A}_{\vphantom{,}}$\\$\overline{\left.\,\boxed{A}\,\right.}_{\vphantom{,}}$\\отрицание\end{tabular} & \begin{tabular}{c}$\boxed{A}$ И $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\wedge\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\mathbin{\&}\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\конъюнкция\end{tabular} & \begin{tabular}{c}$\boxed{A}$ ИЛИ $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\vee\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\дизъюнкция\end{tabular} \\ \hline истина & истина & ложь & истина & истина \\ истина & ложь & & ложь & истина \\ ложь & истина & истина & ложь & истина \\ ложь & ложь & & ложь & ложь \\ \end{tabular}

\begin{tabular}{cc||c|c|c} $\boxed{A}$ & $\boxed{B}$ & \begin{tabular}{c}ЕСЛИ $\boxed{A}$, ТО $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\to\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\Rightarrow\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\импликация\end{tabular} & \begin{tabular}{c}$\boxed{A}\leftrightarrow\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\Leftrightarrow\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\эквиваленция\end{tabular} & \begin{tabular}{c}$\boxed{A}$ XOR $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\oplus\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\исключающее или\end{tabular} \\ \hline истина & истина & истина & истина & ложь \\ истина & ложь & ложь & ложь & истина \\ ложь & истина & истина & ложь & истина \\ ложь & ложь & истина & истина & ложь \\ \end{tabular}

Эквиваленция "по-русски" произносится несколькими разными способами: " $\boxed{A}$ равносильно $\boxed{B}$ ", " $\boxed{A}$ эквивалентно $\boxed{B}$ ", " $\boxed{A}$ тогда и только тогда, когда $\boxed{B}$ ", и тому подобными.

Анекдот в тему.

Математического логика спрашивают на вечеринке:
- Вы будете пить чай, или кофе?
- Да.

Если он вам понятен, то вы поняли эту часть :-)

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1328373 писал(а):

Паша и Саша - это имена, применяемые к обоим полам, Маша - имя ,применяемое только к женскому полу.

Для этого я вам там написал что Паша - мальчик, а Маша - девочка. Чтобы не было сомнений.

Solaris86 в сообщении #1328373 писал(а):

Тогда утверждение "(Паша мальчик) И (Саша мальчик) И (Маша мальчик)" либо ложно, либо не поддается проверке на ложность или истинность.

Первое поддается, даже если вы знаете только то что Маша - девочка. Если перефразировать (это вам подсказка на вопросы Munin), то "(Паша мальчик) И (Саша мальчик) И (Маша мальчик)" означает "Все трое -- мальчики", а "(Паша мальчик) ИЛИ (Саша мальчик) ИЛИ (Маша мальчик)" означает: "Хотя бы один из них -- мальчик".

Solaris86 в сообщении #1328373 писал(а):

4. $f(x) = \frac{x-1}^2{x-1}$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown{1}$ - без доопределения $f(1) = 0$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 0$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown{0}$ - без доопределения $f(1) = 0$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 0$
Верно?

Тут вы чего-то напутали, тут у вас всё плохо... Это гипербола, и доопределять её чем-то в $x=0,5$ (а не в единице! в $x=1$ там все хорошо и непрерывно) было бы довольно странно, ибо пределы слева и справа мягко говоря не совпадают.

-- 23.07.2018, 19:25 --

Solaris86 в сообщении #1328373 писал(а):

4. $f(x) = \frac{(x-1)^2}{x-1}$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown\left\{1\right\}$ - без доопределения $f(1) = 0$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 0$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown\left\{0\right\}$ - без доопределения $f(1) = 0$
$E(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 0$
Верно?

Да, так норм.

-- 23.07.2018, 19:30 --

Solaris86 в сообщении #1328373 писал(а):

3. $f(x) = \frac{x-1}{x-1}$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}\diagdown\left\{1\right\}$ - без доопределения $f(1) = 1$
$D(f(x)) = {\mathbb {R}}$ - c доопределением $f(1) = 1$
$E(f(x)) = \left\{?\right\}$ - без доопределения $f(1) = 1$

Тут область значений одна и та же с доопределением функции единицей в единице и без, поскольку без доопределения функция не принимеет никакого значения в тех точках где она неопределена (а именно в $x=1$), а во всех остальных значение равно единице.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328372 писал(а):

Хорошо. Теперь я делаю вот что: я ввожу обозначения
$\Delta x=x-x_0$
$\Delta y=y-y_0$ и записываю то же самое уравнение прямой как
$\Delta y=k\,\Delta x.$ Всё ли вам в этом уравнении понятно? Где здесь "прячутся" данные задачи: точка, через которую проходит прямая линия, и коэффициент наклона?

Ух, как лихо пришли к приращениям... Я даже не ожидал такой быстроты...
Отвечу про понятность двояко:
1. Понятно, где точка и где коэффициент наклона.
2. Непонятны следующие моменты:
1) в уравнении вида $y(x) = ax + b$ под $y$ и $x$ понимаются именно точки на числовых осях $OY$ и $OX$ соответственно, верно? Из этих точек мы восстанавливаем перпендикуляры и в месте пересечения этих перпендикуляров получаем точку плоскости OXY с координатами $(x;y)$. Так?
В таком случае $\Delta x$ и $\Delta y$ - это отрезки, заключенные между НЕФИКСИРОВАННЫМИ точками ($x$ и $y$) и ФИКСИРОВАННЫМИ точками ($x_0$ и $y_0$). Верно?
Тогда встаёт вопрос: можно ли считать $\Delta x$ и $\Delta y$ считать функциями и если да, то как правильно записать, от чего эти функции зависят (включая и тождественные отображения)?;
2) если восстановить перпендикуляры из концов этих отрезков $\Delta x$ и $\Delta y$, то в результате попарного пересечения этих перпендикуляров мы получим прямоугольник с координатами вершин $(x;y)$, $(x;y+\Delta y)$, $(x+\Delta x; y)$ и $(x+\Delta x;y+\Delta y)$. Стороны этого прямоугольника равны $\Delta x$ и $\Delta y = k\Delta x + o(\Delta x)$. Этот прямоугольник можно разделить на 2 прямоугольника 2: верхний со сторонами $o(\Delta x)$ (в случае линейной функции $o(\Delta x) \equiv 0$) и $\Delta x$ и нижний со сторонами $(k\Delta x)$ и $\Delta x$. Верно?

Munin в сообщении #1328372 писал(а):

Да, верно. Но мне не нравится, что вы используете формулу, но не уверены в её правильности.

Поэтому у меня к вам будет такая просьба (извините, я не думал, что до такого дойдёт, иначе взял бы число поменьше). Выпишите все эти 64 варианта отображений типа $\text{Ф}\to\text{Ц}.$

Если честно, то я сначала вообще не мог понять, что использовать: перестановки, сочетания или размещения (у меня по теорверу и матстату за экзамен 2, которую из жалости препод заменил на 3, поэтому я решил за лето подтянуть ещё и их). Потом почитал определения и решил применить размещения без повторений, получил по формуле результат 24, интуитивно мне что-то показалось, что больно мало, решил проверить именно выписыванием всех вариантов, сосчитал, получил число 64 и потом стал искать формулу, которая подходит под этот результат. Это и оказалась формула размещений с повторениями... То есть получилось чисто методом тыка...
Итак выписывание вариантов, которое вы просите.
Если в первом столбце "красный" (К), то во втором может быть 4 варианта: "красный" (К), "жёлтый"(Ж), "зелёный" (З) и синий" (С): КК, КЖ, КЗ, КС.
Для КК: ККК, ККЖ, ККЗ, ККС
Для КЖ: КЖК, КЖЖ, КЖЗ, КЖС
Для КЗ: КЗК, КЗЖ, КЗЗ, КЗС
Для КС: КСК, КСЖ, КСЗ, КСС
Итого, если первый столбец "красный", у нас получилось 16 вариантов. Аналогично по 16 вариантов получается и для трёх остальных случаев. Поэтому общее число вариантов: $16\cdot4=64$

Munin в сообщении #1328372 писал(а):

Это довольно грустно. Оказывается, вы не то чтобы можете или не можете определить истинность утверждений. Вы их не понимаете.

Постараюсь уточнить. Сейчас я буду вместо значков использовать слова "и" и "или", но прошу понимать их в смысле логических операций.

1. "(яблоко растёт в том числе и в России)
или (банан растёт в том числе и в России)
или (груша растёт в том числе и в России)"
2. "(яблоко растёт в том числе и в России)
и (банан растёт в том числе и в России)
и (груша растёт в том числе и в России)"
3. "(вкус спелого яблока всегда сладкий)
и (вкус спелого банана всегда сладкий)
и (вкус спелой груши всегда сладкий)"
4. "(вкус спелого яблока всегда сладкий)
или (вкус спелого банана всегда сладкий)
или (вкус спелой груши всегда сладкий)"

1. Истинно
2. Истинно
3. Ложно, т.к. яблоки бывают кислых сортов.
4. Истинно, т.к. минимум банан из всех троих по-любому будет сладкий.

[wrest]

Solaris86
Думаю что имелись в виду такие бананы которые растут под открытым небом и которые вызревают что их можно есть. Можно сказать тогда что бананы НЕ растут в России. С учетом этого, как поменяется ответ?

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328375 писал(а):

Есть 3-5 самых употребительных связок. Они подобны союзам в русском языке, кроме связки ИЛИ: ИЛИ обязательно допускает, что одновременно и то и другое верно, а по-русски это подразумевается не всегда. Ещё связка ЕСЛИ-ТО не сразу понятна и привычна. У них много вариантов названий, некоторые самые употребительные, а некоторые более редкие. Но все они одинаково "работают", вот в каком смысле. Если мы знаем, истинны или ложны "склеенные кирпичики", то мы можем точно определить, истинно или ложно целое высказывание, склеенное определённым клеем.

\begin{tabular}{cc||c|c|c}
$\boxed{A}$ &
$\boxed{B}$ &
\begin{tabular}{c}НЕ $\boxed{A}_{\vphantom{,}}$\\$\lnot\,\boxed{A}_{\vphantom{,}}$\\$\overline{\left.\,\boxed{A}\,\right.}_{\vphantom{,}}$\\отрицание\end{tabular} &
\begin{tabular}{c}$\boxed{A}$ И $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\wedge\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\&\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\конъюнкция\end{tabular} &
\begin{tabular}{c}$\boxed{A}$ ИЛИ $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\vee\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\дизъюнкция\end{tabular} \\
\hline
истина & истина &
ложь & истина & истина \\
истина & ложь &
& ложь & истина \\
ложь & истина &
истина & ложь & истина \\
ложь & ложь &
& ложь & ложь \\
\end{tabular}

\begin{tabular}{cc||c|c|c}
$\boxed{A}$ &
$\boxed{B}$ &
\begin{tabular}{c}ЕСЛИ $\boxed{A}$, ТО $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\to\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\Rightarrow\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\импликация\end{tabular} &
\begin{tabular}{c}$\boxed{A}\leftrightarrow\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\Leftrightarrow\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\эквиваленция\end{tabular} &
\begin{tabular}{c}$\boxed{A}$ XOR $\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\$\boxed{A}\oplus\boxed{B}_{\vphantom{,}}$\\исключающее или\end{tabular} \\
\hline
истина & истина &
истина & истина & ложь \\
истина & ложь &
ложь & ложь & истина \\
ложь & истина &
истина & ложь & истина \\
ложь & ложь &
истина & истина & ложь \\
\end{tabular}

Вот эта табличка что-то совсем не понятна... Где можно почитать про это подробно?
Еще такой вопрос: увидел в сети учебник В.А. Садовничего "Теория операторов", начал читать, вроде понимаю и всё нравится. Может кто знает, это вообще нормальный учебник (в плане правильности и грамотности изложения материала), можно на него ориентироваться? Почему начал читать - очень дано хочу понять, что же такое операторы вообще и как их применять.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328390 писал(а):

2. Непонятны следующие моменты

Вы слишком резво решили поскакать вперёд. И снова начали говорить про "функции". Пока вы не понимаете, что такое функции! Избегите этого слова и понятия в своих вопросах.

Solaris86 в сообщении #1328390 писал(а):

Итак выписыванием вариантов, которое вы просите:

Хорошо, с этим разобрались. Но тогда не обязательно нужно было называть "правильную формулу". Достаточно было просто написать $4\cdot 4\cdot 4$ или $64.$

Solaris86 в сообщении #1328390 писал(а):

1. Истинно
2. Истинно
3. Ложно, т.к. яблоки бывают кислых сортов.
4. Истинно, т.к. минимум банан из всех троих по-любому будет сладкий.

Я не знаю, где вы в России нашли растущие бананы, но с логическими выражениями, наконец, справились.

-- 23.07.2018 21:10:09 --

Solaris86 в сообщении #1328395 писал(а):

Еще такой вопрос: увидел в сети учебник В.А. Садовничего "Теория операторов", начал читать, вроде понимаю и всё нравится.

Вам, скорее всего, рано.

Solaris86 в сообщении #1328395 писал(а):

Вот эта табличка что-то совсем не понятна... Где можно почитать про это подробно?

Там, где подробно, там много сложных деталей. Вас это сбивает и отвлекает. Вам надо на школьном уровне объяснять, а такого почти нигде нет.

Лучше задайте вопросы здесь.

-- 23.07.2018 21:14:22 --

Munin писал(а):

3.
Пока всё было хорошо. Но как известно, математика только до 5 класса с числами, а дальше "с иксами". Иксы математика очень любит.

Типичное решение школьной задачи "с иксом" выглядит как-то так:

Пусть $x$ - количество килограммов конфет, которые съел Вася. Тогда...

... остальное решение.

Тут очень важно, что после фразы "Пусть", и до конца решения, буква $x$ имеет смысл, и ей можно пользоваться. Математик увидит $x\leqslant 5,$ и скажет: "ну, всё понятно!". Он подставит какое-то число, и проверит, это истина или ложь.

А если математик увидит $x\leqslant 5$ снаружи этого промежутка, до слова "пусть" или после конца решения, он вскричит: "какой $x$! мы не договаривались ни про какой $x$! знать его не знаю! вы незнамо что написали!".

Это очень важное различие. Говорят, что в выражении $x\leqslant 5$ - переменная $x$ свободная. Поэтому, про него ничего сказать нельзя - истинно оно или ложно.

Но если мы скажем "пусть $x=3$", то с этого места переменная $x$ связанная. И выражение $x\leqslant 5$ будет истинным.

Итак, можно брать в качестве "кирпичиков" формулы с переменными. И склеивать их логическими связками, как и "простые кирпичики". Эти формулы не будут иметь значения "истина или ложь", до тех пор, пока переменная остаётся свободной. Но если её связать, то про формулу можно сказать, истинна она или ложна.

Такие "высказывания, зависящие от переменных", называются предикатами.

"Рамка", внутри которой переменная связана, бывает разной, не обязательно "до конца решения задачи". Ну и разумеется, можно иметь несколько переменных, их "рамки связывания" должны быть вложены одна в другую.

4.
Ещё математика любит рассматривать вещи не по отдельности, а все разом. Это называется множеством (иногда классом). Например, $\{1,3,5\}$ - множество, в которое входят числа 1, 3 и 5. А $[1,3]$ - это множество всех чисел, лежащих между 1 и 3 на числовой прямой (включая сами эти числа 1 и 3). Подробный рассказ про множества - большой и уведёт меня в сторону, так что я его опущу. Пока подчеркну, что каждый элемент входит в множество "один раз", то есть, если мы его добавим ещё раз, то это будет то же самое множество. Ну и порядок не важен, я пишу цифры по возрастанию исключительно для удобства. Так что, $\{3,1,3,1,1,5\}=\{1,3,5\}$ - одно и то же множество.

Итак, если у нас есть какой-то предикат, то мы можем посмотреть разом на все его значения, если подставлять в него в качестве $x$ какие-то элементы какого-то множества. Например, если мы возьмём предикат $x<4,$ и будем подставлять в него элементы множества $\{1,3,4,5\},$ то получим "истина", "истина", "ложь", "ложь" соответственно (понятно, почему?).

Так вот, связывать переменные можно не только таким способом, как я говорил выше. Можно не только рассматривать выражения "данный предикат при данном значении переменной", но и выражения, охватывающие все значения предиката при всех значениях переменной (из какого-то множества! заданного или подразумеваемого). Их общеупотребительных два-три:

• Квантор всеобщности пишется $\forall\,x\in M,$ и означает "для любого $x$ из множества $M,$", "для всех $x$ из множества $M,$", "пусть $x$ - любой элемент множества $M,$", "пусть $x$ пробегает все элементы множества $M,$". Выражение $\forall\,x\in M\,\,\boxed{P(x)}$ будет истинным тогда и только тогда, когда при подстановке всех элементов $M$ в предикат $P(x)$ будет получаться именно истинное выражение. Пример: $\forall\,x\in\mathbb{R}\quad x\cdot 0=0.$
• Квантор существования пишется $\exists\,x\in M,$ и означает "во множестве $M$ найдётся $x$ (существует хотя бы один $x$), для которого...". Выражение $\exists\,x\in M\,\,\boxed{P(x)}$ будет истинным, если при подстановке всех элементов $M$ в предикат $P(x)$ будет получаться хотя бы одно истинное выражение. Пример: $\exists\,x\in\mathbb{R}\quad x^2=1.$
• Есть вариант квантора существования, который пишется $\exists!\,x\in M,$ и означает "во множестве $M$ существует единственный (ровно один) $x$, для которого..." (квантор "существования и единственности", не все им пользуются). Выражение $\exists!\,x\in M\,\,\boxed{P(x)}$ будет истинным, если при подстановке всех элементов $M$ в предикат $P(x)$ будет получаться ровно одно истинное выражение. Пример: $\exists!\,x\in\mathbb{R}\quad x+0=0.$

Если множество понятно из контекста, то часть " $\in M$" может опускаться. Буквы для кванторов происходят из слов All и Exists.

Несколько осторожными надо быть, когда перебираемое множество - пустое множество. Это в математике совершенно законно, но надо не споткнуться.
Для квантора существования, и для "квантора существования и единственности", очевидно, в пустом множестве не может найтись никакого подходящего элемента, и выражения с таким квантором будут всегда ложными.
А вот для квантора всеобщности, он понимается как "не найдётся такого элемента, для которого предикат был бы ложным", и выражение с таким квантором по пустому множеству - всегда будет истинным.

Уложился в пункты 3 и 4 :-)

Упражнение:
Прочитайте, и скажите, истинно ли это:
$\forall\,x\in\{1,2,3\}\quad\lnot(x<3)$
$\exists\,x\in\{1,2,3\}\quad\lnot(x<3)$
$\exists!\,x\in\{1,2,3\}\quad\lnot(x<3)$
$\lnot\,(\forall\,x\in\{1,2,3\}\quad x<3)$
$\lnot\,(\exists\,x\in\{1,2,3\}\quad x<3)$
$\lnot\,(\exists!\,x\in\{1,2,3\}\quad x<3)$

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328398 писал(а):

Вы слишком резво решили поскакать вперёд. И снова начали говорить про "функции". Пока вы не понимаете, что такое функции! Избегите этого слова и понятия в своих вопросах.

ОК, прошу прощения, просто я забеспокоился, что сказав, что всё понятно, эти мои вопросы, которые я написал, могут так и остаться без ответа.

Munin в сообщении #1328398 писал(а):

Там, где подробно, там много сложных деталей. Вас это сбивает и отвлекает. Вам надо на школьном уровне объяснять, а такого почти нигде нет.

Лучше задайте вопросы здесь.

Хорошо. Пункт 2. Верхняя таблица.
Строка 1, столбец 1 - это часть шапки, где указаны 2 высказывания, А и В. Тут всё ясно.
Строка 1, столбцы 2-4 - это оставшаяся часть шапки, где указаны 3 логические операции: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция. Что тут неясно: почему отрицание только для высказывания А?
Строка 2, столбец 1 - это варианты сочетаний истинности и ложности для высказываний А и В, верно?
Строка 2, столбцы 2-4 - тут совершенно не понимаю, как это читать.

wrest в сообщении #1328394 писал(а):

Думаю что имелись в виду такие бананы которые растут под открытым небом и которые вызревают что их можно есть. Можно сказать тогда что бананы НЕ растут в России. С учетом этого, как поменяется ответ?

Тогда высказывание в п.2 станет ложным.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328407 писал(а):

Строка 1, столбцы 2-4 - это оставшаяся часть шапки, где указаны 3 логические операции: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция. Что тут неясно: почему отрицание только для высказывания А?

Потому что отрицание - это логическая операция, действующая только на одно высказывание.

Вообще операции бывают разные. Бывают операции бинарные, которые из двух значений делают какое-то новое. Примеры: арифметические операции $+,-,\cdot,\mathbin{:}.$

Бывают операции унарные, которые делают какое-то новое значение из одного значения. Примеры: арифметические операции $-a,|a|,\sqrt{a}.$

И бывают другие варианты, например, нуль-арные, тернарные, и так далее. Например, можно считать тернарными операциями операции величины угла и площади треугольника: $\angle ABC,S_{\triangle ABC}.$

Solaris86 в сообщении #1328407 писал(а):

Строка 2, столбцы 2-4 - тут совершенно не понимаю, как это читать.

Это ещё три логические операции.