Производная

[Munin]

Да вроде он не был раньше троллем...

[Someone]

(Munin)

Мало ли… Развлечься надумал. Как-то уж очень упорно понимать не хочет. А всего-то и надо, что попробовать применить такую запись приращения к нахождению производной, и сразу становится ясно, зачем там более высокий порядок малости.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):

Не понял, с какой целью были использованы знаки тождественного равенства в выражениях: $\Delta x\equiv h$ и $x'(x) \equiv 1$.

Чтобы подчеркнуть что это одно и то же, всегда так, для всех $x$. Ну как например $5^2 \equiv 25$

-- 14.07.2018, 16:16 --

Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):

2) дифференциал функции или аргумента - это конечная величина, могущая принимать любые значения: $0 < |dx| <\infty$ и $0 < |dy| <\infty$

Для начала -- да (если область определения $y(x)$ это любые $x$), но $dy$ может быть и нулем, например если $y(x)=x^2$ то при $x_0=0$ получается $dy(x_0,\Delta x)=0$ (не зависит от $\Delta x$), а в случае $y(x)=const$, получается что $dy \equiv 0$ и является тождественным нулём (не зависит ни от $x$ ни от $\Delta x$).

[ewert]

Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):

е ясно, почему нелинейную часть приращения функции нельзя считать функцией от приращения аргумента?!

Её нельзя не считать функцией, она есть именно функция. Но одно дело -- что она есть и совсем другое -- какая информация содержится в её обозначении. Символы о-маленькие и О-большие не обозначают конкретные функции, они лишь описывают некоторое характерное поведение их (которые, те функции, вполне конкретны, конечно; просто до их конкретики нам в этом случае нет никакого дела -- нам интересна лишь эта особенность их поведения).

Вот может понятнее будет -- такое сопоставление. Запись $\sin x-x=o(x)$ вполне понятна и недвусмысленна. А вот запись $o(x)=\sin x-x$ какого-либо смысла уже лишена. Угадайте, почему.

Someone в сообщении #1326662 писал(а):

Человеку четвёртую страницу пытаются объяснить простейший вопрос

Что четвёртую страницу -- перебор, конечно; а вот что "простейший" -- это неверно. Этот вопрос очень многих вводит в ступор, и понятно, почему. Отношение равенства по определению симметрично (даже для тех, кто не имеет понятия о самих понятиях "отношение" и "симметричность"). А тут вдруг всем привычный значок "=" используется в нетрадиционном смысле.

[Someone]

ewert в сообщении #1326768 писал(а):

Этот вопрос очень многих вводит в ступор, и понятно, почему.

Какой вопрос? Зачем нужен более высокий порядок малости? Обсуждается, по-моему, в основном именно это. А использование значка "$=$" в данном случае — это совсем другой вопрос.

[Solaris86]

Уважаемые форумчане!
Я не тролль, я просто даю честную обратную связь: говорю о том, что не понятно, и пытаюсь сформулировать своими словами то, что, как мне кажется, стало понятным. Я ни в коем случа не пишу чушь намеренно, у меня на это нет времени да и желания заниматься подобной ерундой.
Кратко обрисую ситуацию, чтобы вы поняли, какую цель я преследую.
Я по первому образованию врач-невролог, сейчас заочно получаю второе образования инженера по биотехническим системам и технологиям (перешёл на 3 курс).
Я сдал матан на 5 во всех семестрах и физику на 4 во всех семестрах, но при этом реальные знания по этим предметам - на 2 и меня это тяготит бесконечно, потому я очень хочу во всём разобраться, в идеале знать наизусть трёхтомник Савельвева по физике и трёхтомник Фихтенгольца по матану.
Это нужно мне для того, чтобы я мог свободно разбираться в любой формуле по физике, особенно интересует квантовая механика. Я в будущем планирую совместить медико-биологические знания и физико-технические знания и заниматься разработкой новых методов исследований в неврологии, а для этого нужно знать физику (особенно - квантовую механику) и математику (особенно матан и теорию фракталов), чтобы ДОСКОНАЛЬНО разбираться в существующих методах диагностики: ЭЭГ, МЭГ, МРТ, КТ, ОФЭКТ, ПЭТ. У меня же почти нулевые познания в этих методах, к сожалению.
Если бы я не был нищим, то давно нанял бы в качестве репетиторов профессора с матмеха по математике и физфака по физике, а так приходится тут вас всех мучать своим непониманием...
Проблема в том, что скорость моего мышления и объём моей памяти явно не соответствуют моим запросам и амбициям:
1) я хочу быстро схватывать и понимать всё, что читаю (читать того же Фихтенгольца или Савельева как художественную литературу, быстро и без напряга, а так я уже раз 10 начинал читать Фихтенгольца, через пару страниц количество неясных вещей накапливалось до критической массы (спросить-то здесь и сейчас не у кого), и я тупо на нервах бросал чтение, так как понимал, что нет 100% понимания того, что я читаю, и накапливающиеся по ходу чтения пробелы потом всплывут и создадут новые пробелы в геометрической прогрессии...)
2) я хочу помнить всё, что я читаю, все формулы, теоремы и определения, но, к сожалению, механическая память у меня очень слабая, ассоциативную память подключать надоело (я часто за счёт неё выкручиваюсь), а логическую память не подключить (я за счёт неё почти всегда и выезжаю), так как нет 100% понимания материала... Из-за этого приходится по 10 раз перечитывать одно и тоже и через месяц полностью забывать то, что читал... В итоге я не могу приступать к прочтению новых книг, так как постоянно приходится перечитывать по новой старые книги (часто - как в первый раз)... Если ещё учесть, что те же самые проблемы с запоминанием и при чтении медицинской литературы (неврологии, генетики, биологии, психологии, психиатрии и т.д.), то у меня вообще не остаётся времени в чём-либо разобраться... Осознание того, что я в жизни не смогу ничего добиться из-за этих проблем со скоростью мышления и памятью, делает проживание каждого дня невыносимым, потому что планов у меня очень много, но они все утекают, как песок сквозь пальцы... Я не хочу больше зубрить и как обезьяна решать упражнения по математике и физике без полного понимания того, что я вообще делаю... Да, как талантливая обезьяна я решал все примеры (да как весь наш курс в принципе) и получал хорошие оценки, но знаний это не дало (большинству с курса на это плевать, т.к. они пришли на заочку за корочкой, а мне - нет, так как я пошёл на вторую вышку за знаниями, просто вторая корка мне не нужна)... Это больно осознавать... Хватит, что я делал это предыдущие семестры. Экзамены сданы, и теперь я хочу действительно по-нормальному разобраться в предметах...
Извините за оффтоп, просто я вижу, как началось раздражение и негатив по отношению ко мне и обвинения в троллинге в мой адрес, и я хочу это прекратить.

[Someone]

Ну, если так, то я приношу свои извинения.
Однако зачем нужен более высокий порядок малости в формуле $\Delta f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$, можно понять только одним способом: подставив это выражение в определение производной $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ и убедившись, что только в этом случае получается правильное значение производной. Боюсь, что если Вы это не проделаете и сами в этом не убедитесь, то никто Вам не поможет.

[amon]

Solaris86 в сообщении #1326791 писал(а):

я уже раз 10 начинал читать Фихтенгольца,

А попробуйте Фихтенгольца на В.И. Смирнова поменять (который - Курс высшей математики). Может полегчает.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1326791 писал(а):

Я в будущем планирую совместить медико-биологические знания и физико-технические знания и заниматься разработкой новых методов исследований в неврологии, а для этого нужно знать физику (особенно - квантовую механику) и математику (особенно матан и теорию фракталов), чтобы ДОСКОНАЛЬНО разбираться в существующих методах диагностики: ЭЭГ, МЭГ, МРТ, КТ, ОФЭКТ, ПЭТ.

Поверьте: квантовую механику - абсолютно не нужно.
Насчёт теории фракталов - у меня есть сильные сомнения.

А нужны УЧП, нелинейные УЧП и обратная задача рассеяния.

И для этого надо не вопрошать "что такое $dx$", и не возноситься в базы и фильтры, а заниматься сермяжными упражнениями.

Solaris86 в сообщении #1326791 писал(а):

я хочу быстро схватывать и понимать всё, что читаю (читать того же Фихтенгольца или Савельева как художественную литературу, быстро и без напряга

Это бросьте. Учебники никогда не читаются, как художественная литература.

Solaris86 в сообщении #1326791 писал(а):

я хочу помнить всё, что я читаю, все формулы, теоремы и определения

Это недостижимо. Помнят люди только то, что постоянно используют. Пока вы делаете упражнения - вы помните все формулы и теоремы, которые используете. Но какая-то "периферия" - забывается.

Плевать. Когда надо будет вспомнить - откроете учебник как справочник.

Надо держать себя в тонусе, постоянно решая задачи на материал, который вы уже проходили. Тогда главное - не забудется.

Solaris86 в сообщении #1326791 писал(а):

Я не хочу больше зубрить и как обезьяна решать упражнения по математике и физике без полного понимания того, что я вообще делаю...

"Полное понимание" - это тоже миф. Во-первых, во время учёбы его у вас и не будет, никогда. Оно может появиться только через годы практического использования материала. И то, не полное, в том смысле, что всегда будет оставаться непонятая "периферия".

Во-вторых, вы уж извините, на заочном образовании у вас шансы получить понимание вообще околонулевые. Заочникам оно и "не нужно" - примерно из этого исходят преподаватели - это раз. Понимание в большой степени "впитывается" из постоянного очного общения с лекторами, преподавателями практики, однокашниками - это два.

Вообще, в целом у математики нет какого-то особенного "понимания", кроме ровно того, что написано в определении или в теореме. С одной стороны. И многие математики, преподаватели - такой точки зрения и придерживаются.
С другой стороны, есть "понимание" "пост-фактум", когда вы освоили какой-то математический инструмент, и дальше широко и постоянно применяете его к каким-то задачам. Вот тогда вы начинаете его лучше "понимать", потому что видите, как он к этом задачам приспособлен и хорошо подходит. Молоток не просто так имеет свою форму, а для того, чтобы легче и лучше забивать гвозди. Такое "понимание" приходит не сразу, а сильно потом, и к тому же зависит от того, какие задачи вы решаете данным инструментом. У физиков и экономистов будет разное "понимание", что такое матрица.

В любом случае, слишком настойчиво гнаться за мифическим "пониманием" - действует разрушительно.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1326791 писал(а):

особенно матан и теорию фракталов

Из математического анализа Вам может понадобиться техника дифференцирования и интегрирования в простейших случаях, а в более сложных следует пользоваться системами компьютерной математики. Теория фракталов, конечно, сильно разрекламирована (ещё больше, чем теория катастроф, которая, в действительности, есть теория особенностей дифференцируемых отображений, и с таким названием была почти никому не нужна, кроме самих математиков), и притянуть её за уши, конечно, иногда можно. На мой взгляд, для нематематиков она интересна в первую очередь как источник красивых картинок, но я не слышал, чтобы от неё была какая-то польза, например, в медицине или биологии.

[Solaris86]

Приведу цитату из письма одного биолога, у которого я интересовался поводу интересующих меня направлений.
2. Диагностика состояния малых сосудов (артериолы, прекапилляры, капилляры, посткапилляры, венулы) при сосудистой патологии ЦНС и ПНС, изучение детальных механизмов ауторегуляции мозгового кровотока в норме и при патологии.
Отсутствие на данный момент адекватных методов диагностики потребует неизвестного количества времени даже на формулирование идей для такой диагностики. Расчет на нанороботов можете забыть сразу на многие годы вперед. То, что имеется и то, что теоритически планируется, с определенными натяжками можно будет использовать лет через десять–пятнадцать на средних по размеру сосудах. То, что сейчас имеется, применимо на крупных сосудах.
С позиции теоретических посылок для формирования идей такой диагностики Вам надо будет освоить теорию фракталов, квантовую механику и технику для измерения сверхслабых электромагнитных полей (на самом деле определенные идеи в данной области имеются, но говорить о них на данном этапе бессмысленно). Для освоения данных направлений нужно не менее 2–3 лет. Причем, без гарантий достижения каких либо практических результатов. При этом знания, необходимые по пункту 1, так же должны быть приобретены

Кроме того, мне очень важно понимать химию на достаточном уровне, но этого тоже нет. Главные вопросы:
1. Доскональное понимание уравнение Шредингера и умение его решать и применять к ЛЮБОЙ молекуле начиная от атомарного водорода и заканчивая огромными белковыми молекулами.
2. Полное понимание теории растворимости веществ. Не просто примитив а-ля "полярное вещество растворяется в полярном, неполярное - в неполярном" или всякие там теории Аррениуса, к конкретно почему данное вещество растворимо и именно настолько растворимо (например, почему AgF растворимо, а AgCl - нет, почему такая конформация белка растворима, а другая - нет). Это важно для того, чтобы можно было абсолютно точно прогнозировать при любых условиях растворимость любой конформации или аллотропной модификации любого вещества в любом другом веществе.
3. Полное понимание системы USPEX Артёма Оганова http://uspex-team.org/ru/, когда при изменении давления и температуры получают "запрещённые" классической химией вещества а-ля $NaCl_7$: https://www.youtube.com/watch?v=R0zwwbcWcNY&t=2559s 40:55
После этого видео я понимаю, что все мои знания по химии равны 0, ибо я даже не понимаю, как образуется связь в молекуле $NaCl_7$... До этого ещё, когда увидел про боргидриды, уже мозг начал взрываться от существования какой-то одноэлектронной связи (доселе мне неизвестной), а тут так вообще безумие: 7 атомов хлора на 1 атом натрия, у которого всего 1 валентный электрон...
4. Полное понимание заполнение электронами орбиталей. Когда по химии объясняли эту всем известную ещё со школы последовательность: 1s->2s->2p->3s->3p->4s->3d->4p и т.д.
Вроде всё ясно, чётко, красиво и однозначно, но потом вдруг в таблице увидел эти элементы: Cr, Cu, Nb, Mo, Ru, Rh, Pd, Ag, La, Ce, Gd, Pt, Au, Ac, Th, Pa, U, Np, Cm. У них наблюдалось отклонение от типичного заполнения за счёт проскока электрона, который объяснялся энергетической выгодой и это всё... Встаёт ряд вопросов:
1) каким методом подсчитывается точное количество электронов на каждой орбитали у каждого элемента?
2) если до сих пор нет единого и универсального принципа заполнения электронных орбиталей ДЛЯ ВСЕХ без исключения элементов, то почему прежний принцип наименьшей энергии, согласно которого должны заполняться орбитали, до сих пор не пересмотрен, а на него просто вешают одну за другой заплаты в виде "проскоков" электрона и т.п.?

Далее хочу проиллюстировать границы своего непонимания и несвободы применения знаний матана к реальным задачам.
Одна из задач, которую я перед собой ставлю, это возможность понимания всех физических формул (минимум - 3х томник Савельева).
Я вкладываю в понимание то, что я могу свободно "играть" с формулами, в ЛЮБОЙ формуле иметь возможность спокойно переходить от одного вида к другому.
3 вида формул:
1. Интегральный вид без приращений (пример: $V_\text{ср.} = \frac {S}{t}$)
2. Интегральный вид с приращениями (пример: $V_\text{ср.} = \frac {\Delta S}{\Delta t}$)
3. Дифференциальный вид (пример: $V_\text{мгн.} = \frac {dS}{dt}$)
Переходы:
1 -> 2 : сделать не трудно, достаточно сказать, что $S = \Delta S$ и $t = \Delta t$ и тогда:
$V_\text{ср.} = \frac {S}{t}$
$S = \Delta S$, $t = \Delta t$
$V_\text{ср.}= \frac {\Delta S}{\Delta t}$
2 -> 1 : всё аналогично: $\Delta S = S$ и $\Delta t = t$ и тогда:
$V_\text{ср.} = \frac {\Delta S}{\Delta t}$
$\Delta S = S$, $\Delta t = t$
$V_\text{ср.} = \frac {S}{t}$
2 -> 3: тоже сделать не трудно, надо просто найти предел:
$V_\text{ср.} = \frac {\Delta S}{\Delta t}$
$\lim\limits_{\Delta t \to 0} V_\text{ср.} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta S}{\Delta t} = \frac {dS}{dt} = V_\text{мгн.}$
3 -> 2: не имею ни малейшего понятия, как сделать.
3 -> 1: тут понимаю, что надо проинтегрировать, но вот как раз не понимаю как... Вот трудности, с которыми я сталкиваюсь:
1) как правильно записать функцию $V_\text{мгн.}$: $V_\text{мгн.}(S,t)$ или $V_\text{мгн.}(\Delta S, \Delta t)$?
2) при интегрировании формулы $V_\text{мгн.} = \frac {dS}{dt}$ надо интегрировать обе части ($V_\text{мгн.}$ и $\frac {dS}{dt}$) или только правую часть ($\frac {dS}{dt}$)
3) если я интегрирую левую часть, то какой дифференциал надо использовать для подынтегрального выражения: $\int V_\text{мгн.}d?$
4) если я интегрирую правую часть, то какой интеграл надо брать (моя версия - двойной, потому что в правой части два дифференциала): $\int\int \frac {dS}{dt}$?
5) как интегрировать выражение, где дифференциал (или один или несколько дифференциалов из всех имеющихся в правой части) стоит в знаменателе (я вообще не знаю)?
6) можно ли вообще при интегрировании равенства в левой и правой частях брать интегралы РАЗНОЙ кратности (например, слева одинарный, а справа - двойной): $\int V_\text{мгн.}d? = \int\int \frac {dS}{dt}$?
Единственное, что приходит на ум - сначала поменять выражение, а потом интегрировать:
$V_\text{мгн.} = \frac {dS}{dt} $
$V_\text{мгн.}dt = dS$
$\int V_\text{мгн.}dt = \int dS$
$V_\text{мгн.}\int dt = \int dS$
$V_\text{мгн.}t = S$
$V_\text{мгн.} = \frac {S}{t}$
В итоге получил неверное выражение, т.е. мгновенная скорость должна была перейти в среднюю, ибо формула, которая получилась после попытки интегрирования, это для средней скорости, а не для мгновенной... Точнее, выражение верное, если $V_\text{мгн.} = \operatorname{const}$ и её можно вынести за знак интеграла, понятно, что в этом случае $V_\text{мгн.} = V_\text{ср.}$. Если же $V_\text{мгн.} \not = \operatorname{const}$, тогда получается:
$\int V_\text{мгн.}dt = S + C$
Но как решить интеграл в левой части и перейти к $V_\text{ср.}$, я не знаю...
1 -> 3: не имею ни малейшего понятия, как сделать.
Надеюсь, видно, что все мои знания бесполезны для решения ПРОСТЕЙШЕЙ задачи!!! Я и хочу это исправить...

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Единственное, что приходит на ум - сначала поменять выражение, а потом интегрировать:

Ну и правильно приходит. Только Вы слишком радикально действуете. Скорость в разные моменты времени может быть разной, а выносить за знак интеграла можно только константу. Вы ее оставьте, как было:
$s=\int_a^b v(t) \, dt$, где $a, b$ -- начальный и конечный момент времени движения.
Средняя скорость рассчитывается так, будто бы мы решили, что в каждый момент времени она одинакова. То есть $v_\text{ср} = \dfrac{s}{b-a}=\dfrac1{b-a} \int_a^b v(t) \, dt$. Это основная рабочая формула, на самом деле.

Но если хочется написать ее в том виде, который был, то вообще никаких особых знаний не надо, в т.ч. знания дифф. исчисления.
У Вас машина есть? а еще лучше, для наших целей, велосипед? Как Вы будете рассчитывать среднюю скорость движения из дома на работу, если проехали Вы 10 км, а ехали полчаса? Ну вот и вся формула.

Остальное не читала, извините.
Про то, что Вы писали вначале темы - Вы так и не поймете, что там и зачем, пока хоть одну функцию не пощупаете своими руками. $f(x)=x^3$ для начала будет нормально. Пойдет - можно будет еще что-то посмотреть.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Главные вопросы:
1. Доскональное понимание уравнение Шредингера и умение его решать и применять к ЛЮБОЙ молекуле начиная от атомарного водорода и заканчивая огромными белковыми молекулами.

ОГО!

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

С позиции теоретических посылок для формирования идей такой диагностики Вам надо будет освоить теорию фракталов, квантовую механику и технику для измерения сверхслабых электромагнитных полей

С точки зрения банальной эрудиции:
1. Теорию фракталов может быть как-то получится прикрутить к описанию сосудистой сети.
2. Техника измерения сверхслабых ЭМ полей - это понятно, методы диагностики.
3. А вот квантмех каким боком непонятно. Вроде бы все объекты макроскопические. Может быть опять же диагностика на основе квантово-механических эффектов.

[upgrade]

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

2 -> 3: тоже сделать не трудно, надо просто найти предел:
$V_\text{ср.} = \frac {\Delta S}{\Delta t}$
$\lim\limits_{\Delta t \to 0} V_\text{ср.} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta S}{\Delta t} = \frac {dS}{dt} = V_\text{мгн.}$
3 -> 2: не имею ни малейшего понятия, как сделать.

$ \frac {dS}{dt}= V_\text{мгн.}$
Это буквально $dS$ разделить без всяких фокусов на $dt$, - вертикальный отрезочек (бесконечно малый) делится на горизонтальный (тоже бесконечно малый) в декартовой системе координат (вертикальная ось - расстояние, горизонтальная - время).
Соответственно, можно делать так:
$ dS = V_\text{мгн.}\cdot dt$
т.е. $dS$ - это мгновенная $V$ опять же без всяких фокусов умноженная на $dt$, ну а потом, соответственно, можно делать так:
$S=\int V_\text{мгн.}\cdot dt$
Правда интегрирование - это немного сложнее дифференцирования, сперва надо кучу пределов перерешать, доказать чему равен первый замечательный, а чему второй (второй попроще).

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Цитата:

С позиции теоретических посылок для формирования идей такой диагностики Вам надо будет освоить теорию фракталов, квантовую механику и технику для измерения сверхслабых электромагнитных полей

Ну что ж, это просто полная ерунда. (Третий пункт, боюсь, тоже, но не буду утверждать это.)

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Цитата:

Для освоения данных направлений нужно не менее 2–3 лет.

А это сильная недооценка.

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Кроме того, мне очень важно понимать химию на достаточном уровне, но этого тоже нет. Главные вопросы:
1. Доскональное понимание уравнение Шредингера и умение его решать и применять к ЛЮБОЙ молекуле начиная от атомарного водорода и заканчивая огромными белковыми молекулами.

Перебьётесь. Этого вам нафиг не нужно. А тем, кому нужно, оно формулируется иначе (в такой формулировке это вообще феерия), и требует для освоения 5-10 лет и глубокого профессионализма.

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

4. Полное понимание заполнение электронами орбиталей.

Это банальщина, особенно в сравнении с п. 1. Это достижимо. Но опять же, для ваших целей это вам нафиг не нужно.

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Встаёт ряд вопросов:
1) каким методом подсчитывается точное количество электронов на каждой орбитали у каждого элемента?

Очень сложным.

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

2) если до сих пор нет единого и универсального принципа заполнения электронных орбиталей ДЛЯ ВСЕХ без исключения элементов

Есть, но он очень сложный.

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

то почему прежний принцип наименьшей энергии, согласно которого должны заполняться орбитали, до сих пор не пересмотрен

А зачем пересматривать то, что правильно? Дело вовсе не в этом принципе, а в подсчёте энергии орбиталей.

Solaris86 в сообщении #1327084 писал(а):

Я вкладываю в понимание то, что я могу свободно "играть" с формулами, в ЛЮБОЙ формуле иметь возможность спокойно переходить от одного вида к другому.
3 вида формул:
1. Интегральный вид без приращений (пример: $V_\text{ср.} = \frac {S}{t}$)
2. Интегральный вид с приращениями (пример: $V_\text{ср.} = \frac {\Delta S}{\Delta t}$)
3. Дифференциальный вид (пример: $V_\text{мгн.} = \frac {dS}{dt}$)

Это, извините, бред. Между этими видами нельзя переходить. И чем раньше вы это поймёте, тем лучше.