2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 15  След.
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 11:54 


28/01/15
662
Otta в сообщении #1326426 писал(а):
Вы не поймете определение, которое содержит о-малое, если не знаете, что такое о-малое. Приведите его определение, пожалуйста.

Отвечу цитатой
thething в сообщении #1325457 писал(а):
В данном контексте $o(h)$ -- это функция, которая стремится к нулю при $h\to 0$ быстрее, чем $h$, т.е. $\lim\limits_{h\to 0}^{}\frac{o(h)}{h}=0$.

$o(h)$ стремится к 0 быстрее, чем $h$ при стремлении $h$ к 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 12:02 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Solaris86 в сообщении #1326439 писал(а):
Отвечу цитатой
Там речь идет о контексте. Определение должно быть для произвольной функции, а не только $\rm{id}(h)=h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 12:06 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Solaris86
Хорошо. thething и я приводили доказательство дифференцируемости функции $f(x)=x^2$. Что конкретно в нем непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 12:12 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  upgrade, пожалуйста, воздержитесь от вопросов в чужой теме. Если Вам что-то непонятно, заведите свою.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:02 


28/01/15
662
Otta в сообщении #1326442 писал(а):
Что конкретно в нем непонятно?

Опять цитирую
thething в сообщении #1325457 писал(а):
Чтобы это осознать, возьмите в своем примере не конкретное $h$, а произвольное, тогда получится, что $f(2+h)-f(2)=(2+h)^2-2^2=4+4h+h^2-4=4h+h^2$. Отсюда видно, что $f'(2)=4$, а $o(h)=h^2$, поскольку, кто бы спорил, что $h^2$ стремится к нулю быстрее, чем $h$ при стремлении самого $h$ к нулю?

Мне удобнее другие обозначения:
$\Delta x = h$
$\Delta y  = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x) = dy + o(\Delta x)$
Что непонятно:
1. Что нам даёт тот факт, что $o(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$?
Перефразирую так: я так понял, что приращение функции $\Delta y$ есть сумма линейной части приращения функции - дифференциала функции $dy = A\Delta x$ и нелинейной части приращения функции - $o(\Delta x)$. Так вот почему эту нелинейную часть приращения не обозначить просто другой функцией, например, $g(\Delta x)$, для чего нам именно о-функция, что нам даёт в итоге именно её использование тут?
2. На каком основании приравнивают $\Delta x  = dx$?!
$\Delta x$ - это просто приращение аргумента. Насколько я понимаю, есть предел $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x = 0$
$dx$ - это какое-то непонятное приращение, которое называется дифференциалом аргумента (я который год надеюсь понять, что это, но так и не понимаю). Это типа бесконечно малая величина...
Но тогда, получается, что dx - это числовая функция: $dx = a_n$, при этом $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$
Тогда неясно, как КОНЕЧНОЕ приращение $\Delta x$ можно приравнять к БЕСКОНЕЧНО МАЛОМУ приращению $dx$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
Так вот почему эту нелинейную часть приращения не обозначить просто другой функцией, например, $g(\Delta x)$

Пожалуйста, обозначайте.

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
для чего нам именно о-функция, что нам даёт в итоге именно её использование тут?

Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "$g(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$".

Если вам это обозначение непонятно, не используйте его.

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
На каком основании приравнивают $\Delta x  = dx$?!
...
$dx$ - это какое-то непонятное приращение...

Вот по определению $dx$ и приравнивают. Это понятное приращение, если понять, что оно попросту другое обозначение для $\Delta x.$

А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:20 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
для чего нам именно о-функция, что нам даёт в итоге именно её использование тут?

Принципиально важно, чтобы этот остаток был мал по величине. Только при таком условии функция (дифференцируемая) будет "почти" линейной.

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
2. На каком основании приравнивают $\Delta x  = dx$?!

А вот это уже условность, как я понимаю. Здесь подразумевается дифференциал от тождественной функции $-$ обозначение, не более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
О том же (начал писать раньше):

$dx$ — это самый нормальный дифференциал $x$, если не забывать, что сама $x$ является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных — $x$ и $\Delta x\equiv h$, но от $x$ он не зависит никак и равен просто $\Delta x$. В этом смысле $dx = \Delta x$, хотя точнее будет писать, конечно, что $dx(x, \Delta x) = \Delta x$. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что $dx$ использовать удобнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:32 


28/01/15
662
Munin в сообщении #1326470 писал(а):
Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "$g(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$".

Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?

Munin в сообщении #1326470 писал(а):
Вот по определению $dx$ и приравнивают. Это понятное приращение, если понять, что оно попросту другое обозначение для $\Delta x.$

А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

Зачем выдумывать новое обозначение просто так? Где логика?
Или чисто ради красоты:
$\Delta y  =  A\Delta x + o(\Delta x)$
$dy = Adx$
Так что же такое dx?! Если я выкину из головы, что это бесконечно малое приращение, то тогда dx для меня станет тем же самым, что и понятие точки в в геометрии - понятие, у которого вообще нет определения...
Давайте тогда вы сами предложите определение, что же такое dx:
1. Стандартный анализ: dx - это...
2. Нестандартный анализ: dx - это...
И главное - в чём принципиальное отличие?

-- 13.07.2018, 13:38 --

arseniiv в сообщении #1326474 писал(а):
$dx$ — это самый нормальный дифференциал $x$, если не забывать, что сама $x$ является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных — $x$ и $\Delta x\equiv h$, но от $x$ он не зависит никак и равен просто $\Delta x$. В этом смысле $dx = \Delta x$, хотя точнее будет писать, конечно, что $dx(x, \Delta x) = \Delta x$. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что $dx$ использовать удобнее.

Вот где про это можно прочитать максимально подробно, чтобы без фраз "легко видеть", "очевидно", "нетрудно заметить" и т.п. Я понимаю, что для автора учебника с IQ 180 и для 5% интеллектуально одарённых читателей с таким же IQ , которые в уме перемножают пятизначные числа, это, возможно, и так, но для меня - нет. Мне нужно разжевать каждый шаг...

Вбил в гугл "дифференциал"
Первое вылезшее определение "В математике: произвольное бесконечно малое приращение переменной величины."
Без комментариев...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?
Ну вот вы выделяете постоянную часть функции $\Delta x\mapsto f(x + \Delta x)$, а именно $f(x)\equiv A_0$, потом линейную часть: выделили, назвали её $A_1\Delta x$. Если вы теперь хотите записать, что $f(x + \Delta x) = A_0 + A_1\Delta x + \text{что-то}$, то этим чем-то как раз и окажется $o(\Delta x)$.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Зачем выдумывать новое обозначение просто так? Где логика?
Оно выдумано для более широкого применения. Просто здесь вы сталкиваетесь с ним в первый раз. Как уже предлагали, если оно вас расстраивает, просто не пользуйтесь им, и возьмите другие формулы, благо они есть.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Так что же такое dx?! Если я выкину из головы, что это бесконечно малое приращение, то тогда dx для меня станет тем же самым, что и понятие точки в в геометрии - понятие, у которого вообще нет определения...
Давайте тогда вы сами предложите определение, что же такое dx:
1. Стандартный анализ: dx - это...
2. Нестандартный анализ: dx - это...
И главное - в чём принципиальное отличие?
См. выше, $dx$ это дифференциал $x$. И давайте пока некоторое время без нестандартного, его база намного сложнее базы обычного. Хотя и в нём можно ровно так же определить дифференциал, как и в обычном (просто про него можно будет сказать новые интересные вещи).

-- Пт июл 13, 2018 15:40:48 --

[На всякий случай добавлю очевидную вещь, что $dx$ в определении дифференциала не используется, и порочного круга нет.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:41 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?

Давайте я докажу, что производная $f(x)=x^2$ в единице равна пяти.
$f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2=f(1)+5h+g(h)$, где $g(h)=-3h+h^2$.
Все верно? Я так еще могу доказать, что она равна семи, 111 и вообще любому числу, которое Вам нравится.

Вот и подумайте, используется ли этот факт. И где.

-- 13.07.2018, 15:42 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):
Оно выдумано для более широкого применения. Просто здесь вы сталкиваетесь с ним в первый раз.

Не в первый. Он не маленький ужо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:43 


05/09/16
11468
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
Тогда неясно, как КОНЕЧНОЕ приращение $\Delta x$ можно приравнять к БЕСКОНЕЧНО МАЛОМУ приращению $dx$?

Solaris86
Вот что Вы кричите, где Вы тут противоречие увидели? В словах, что ли? Кто Вам сказал, что бесконечно малое = бесконечное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:46 


28/01/15
662
arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):
Ну вот вы выделяете линейную часть функции. Выделили, назвали её $A\Delta x$. Если вы теперь хотите записать, что $f(x + \Delta x) = A\Delta x + \text{что-то}$, то этим чем-то как раз и окажется $o(\Delta x)$.

Я не понял, тут не хватает $f(x)$: $f(x + \Delta x) - f(x)= A\Delta x + \text{что-то}$ или это что-то другое имеется в виду?

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):
Оно выдумано для более широкого применения.

А чем треугольная дельта не устраивает и почему она не подходит для более широкого применения (и какого именно)?

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):
См. выше, $dx$ это дифференциал $x$. И давайте пока некоторое время без нестандартного, его база намного сложнее базы обычного. Хотя и в нём можно ровно так же определить дифференциал, как и в обычном (просто про него можно будет сказать новые интересные вещи).

Хорошо.
dx - дифференциал х.
Дифференциал - произвольное бесконечно малое приращение переменной величины (согласно гуглу)
Munin в сообщении #1326470 писал(а):
А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

Занавес...
Что же такое дифференциал, стало совсем неясно.

-- 13.07.2018, 13:50 --

wrest в сообщении #1326483 писал(а):
Изображение

Да, я понимаю эту картинку. Это пока всё, что мне понятно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Вот где про это можно прочитать максимально подробно, чтобы без фраз "легко видеть", "очевидно", "нетрудно заметить"

Не надо нигде читать. Возьмите функцию $y=x$ и к ней примените определение дифференцируемости в Ваших же обозначениях.
$\Delta y= y(x+\Delta x)-y(x)=\Delta x = $ Вы тут писали $ = dy = dx$, поскольку $y=x$. (нелинейный добавок тут тождественно нулевой).
То есть $dx=\Delta x$.
Все, запомнили и дальше сильно об этом не задумываемся.
Только верно это исключительно для независимой переменной, что дифференциал аргумента равен его приращению.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 221 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group