Производная

[Solaris86]

Otta в сообщении #1326426 писал(а):

Вы не поймете определение, которое содержит о-малое, если не знаете, что такое о-малое. Приведите его определение, пожалуйста.

Отвечу цитатой

thething в сообщении #1325457 писал(а):

В данном контексте $o(h)$ -- это функция, которая стремится к нулю при $h\to 0$ быстрее, чем $h$, т.е. $\lim\limits_{h\to 0}^{}\frac{o(h)}{h}=0$.

$o(h)$ стремится к 0 быстрее, чем $h$ при стремлении $h$ к 0.

[gefest_md]

Solaris86 в сообщении #1326439 писал(а):

Отвечу цитатой

Там речь идет о контексте. Определение должно быть для произвольной функции, а не только $\rm{id}(h)=h$.

[Otta]

Solaris86
Хорошо. thething и я приводили доказательство дифференцируемости функции $f(x)=x^2$. Что конкретно в нем непонятно?

[Pphantom]

upgrade, пожалуйста, воздержитесь от вопросов в чужой теме. Если Вам что-то непонятно, заведите свою.

[Solaris86]

Otta в сообщении #1326442 писал(а):

Что конкретно в нем непонятно?

Опять цитирую

thething в сообщении #1325457 писал(а):

Чтобы это осознать, возьмите в своем примере не конкретное $h$, а произвольное, тогда получится, что $f(2+h)-f(2)=(2+h)^2-2^2=4+4h+h^2-4=4h+h^2$. Отсюда видно, что $f'(2)=4$, а $o(h)=h^2$, поскольку, кто бы спорил, что $h^2$ стремится к нулю быстрее, чем $h$ при стремлении самого $h$ к нулю?

Мне удобнее другие обозначения:
$\Delta x = h$
$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x) = dy + o(\Delta x)$
Что непонятно:
1. Что нам даёт тот факт, что $o(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$?
Перефразирую так: я так понял, что приращение функции $\Delta y$ есть сумма линейной части приращения функции - дифференциала функции $dy = A\Delta x$ и нелинейной части приращения функции - $o(\Delta x)$. Так вот почему эту нелинейную часть приращения не обозначить просто другой функцией, например, $g(\Delta x)$, для чего нам именно о-функция, что нам даёт в итоге именно её использование тут?
2. На каком основании приравнивают $\Delta x = dx$?!
$\Delta x$ - это просто приращение аргумента. Насколько я понимаю, есть предел $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta x = 0$
$dx$ - это какое-то непонятное приращение, которое называется дифференциалом аргумента (я который год надеюсь понять, что это, но так и не понимаю). Это типа бесконечно малая величина...
Но тогда, получается, что dx - это числовая функция: $dx = a_n$, при этом $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$
Тогда неясно, как КОНЕЧНОЕ приращение $\Delta x$ можно приравнять к БЕСКОНЕЧНО МАЛОМУ приращению $dx$?

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):

Так вот почему эту нелинейную часть приращения не обозначить просто другой функцией, например, $g(\Delta x)$

Пожалуйста, обозначайте.

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):

для чего нам именно о-функция, что нам даёт в итоге именно её использование тут?

Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "$g(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$".

Если вам это обозначение непонятно, не используйте его.

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):

На каком основании приравнивают $\Delta x = dx$?!
...
$dx$ - это какое-то непонятное приращение...

Вот по определению $dx$ и приравнивают. Это понятное приращение, если понять, что оно попросту другое обозначение для $\Delta x.$

А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

[SomePupil]

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):

для чего нам именно о-функция, что нам даёт в итоге именно её использование тут?

Принципиально важно, чтобы этот остаток был мал по величине. Только при таком условии функция (дифференцируемая) будет "почти" линейной.

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):

2. На каком основании приравнивают $\Delta x = dx$?!

А вот это уже условность, как я понимаю. Здесь подразумевается дифференциал от тождественной функции $-$ обозначение, не более.

[arseniiv]

О том же (начал писать раньше):

$dx$ — это самый нормальный дифференциал $x$, если не забывать, что сама $x$ является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных — $x$ и $\Delta x\equiv h$, но от $x$ он не зависит никак и равен просто $\Delta x$. В этом смысле $dx = \Delta x$, хотя точнее будет писать, конечно, что $dx(x, \Delta x) = \Delta x$. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что $dx$ использовать удобнее.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1326470 писал(а):

Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "$g(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$".

Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?

Munin в сообщении #1326470 писал(а):

Вот по определению $dx$ и приравнивают. Это понятное приращение, если понять, что оно попросту другое обозначение для $\Delta x.$

А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

Зачем выдумывать новое обозначение просто так? Где логика?
Или чисто ради красоты:
$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$
$dy = Adx$
Так что же такое dx?! Если я выкину из головы, что это бесконечно малое приращение, то тогда dx для меня станет тем же самым, что и понятие точки в в геометрии - понятие, у которого вообще нет определения...
Давайте тогда вы сами предложите определение, что же такое dx:
1. Стандартный анализ: dx - это...
2. Нестандартный анализ: dx - это...
И главное - в чём принципиальное отличие?

-- 13.07.2018, 13:38 --

arseniiv в сообщении #1326474 писал(а):

$dx$ — это самый нормальный дифференциал $x$, если не забывать, что сама $x$ является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных — $x$ и $\Delta x\equiv h$, но от $x$ он не зависит никак и равен просто $\Delta x$. В этом смысле $dx = \Delta x$, хотя точнее будет писать, конечно, что $dx(x, \Delta x) = \Delta x$. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что $dx$ использовать удобнее.

Вот где про это можно прочитать максимально подробно, чтобы без фраз "легко видеть", "очевидно", "нетрудно заметить" и т.п. Я понимаю, что для автора учебника с IQ 180 и для 5% интеллектуально одарённых читателей с таким же IQ , которые в уме перемножают пятизначные числа, это, возможно, и так, но для меня - нет. Мне нужно разжевать каждый шаг...

Вбил в гугл "дифференциал"
Первое вылезшее определение "В математике: произвольное бесконечно малое приращение переменной величины."
Без комментариев...

[arseniiv]

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):

Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?

Ну вот вы выделяете постоянную часть функции $\Delta x\mapsto f(x + \Delta x)$, а именно $f(x)\equiv A_0$, потом линейную часть: выделили, назвали её $A_1\Delta x$. Если вы теперь хотите записать, что $f(x + \Delta x) = A_0 + A_1\Delta x + \text{что-то}$, то этим чем-то как раз и окажется $o(\Delta x)$.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):

Зачем выдумывать новое обозначение просто так? Где логика?

Оно выдумано для более широкого применения. Просто здесь вы сталкиваетесь с ним в первый раз. Как уже предлагали, если оно вас расстраивает, просто не пользуйтесь им, и возьмите другие формулы, благо они есть.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):

Так что же такое dx?! Если я выкину из головы, что это бесконечно малое приращение, то тогда dx для меня станет тем же самым, что и понятие точки в в геометрии - понятие, у которого вообще нет определения...
Давайте тогда вы сами предложите определение, что же такое dx:
1. Стандартный анализ: dx - это...
2. Нестандартный анализ: dx - это...
И главное - в чём принципиальное отличие?

См. выше, $dx$ это дифференциал $x$. И давайте пока некоторое время без нестандартного, его база намного сложнее базы обычного. Хотя и в нём можно ровно так же определить дифференциал, как и в обычном (просто про него можно будет сказать новые интересные вещи).

-- Пт июл 13, 2018 15:40:48 --

[На всякий случай добавлю очевидную вещь, что $dx$ в определении дифференциала не используется, и порочного круга нет.]

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):

Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?

Давайте я докажу, что производная $f(x)=x^2$ в единице равна пяти.
$f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2=f(1)+5h+g(h)$, где $g(h)=-3h+h^2$.
Все верно? Я так еще могу доказать, что она равна семи, 111 и вообще любому числу, которое Вам нравится.

Вот и подумайте, используется ли этот факт. И где.

-- 13.07.2018, 15:42 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):

Оно выдумано для более широкого применения. Просто здесь вы сталкиваетесь с ним в первый раз.

Не в первый. Он не маленький ужо.

[wrest]

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):

Тогда неясно, как КОНЕЧНОЕ приращение $\Delta x$ можно приравнять к БЕСКОНЕЧНО МАЛОМУ приращению $dx$?

Solaris86
Вот что Вы кричите, где Вы тут противоречие увидели? В словах, что ли? Кто Вам сказал, что бесконечно малое = бесконечное?

[Solaris86]

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):

Ну вот вы выделяете линейную часть функции. Выделили, назвали её $A\Delta x$. Если вы теперь хотите записать, что $f(x + \Delta x) = A\Delta x + \text{что-то}$, то этим чем-то как раз и окажется $o(\Delta x)$.

Я не понял, тут не хватает $f(x)$: $f(x + \Delta x) - f(x)= A\Delta x + \text{что-то}$ или это что-то другое имеется в виду?

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):

Оно выдумано для более широкого применения.

А чем треугольная дельта не устраивает и почему она не подходит для более широкого применения (и какого именно)?

arseniiv в сообщении #1326480 писал(а):

См. выше, $dx$ это дифференциал $x$. И давайте пока некоторое время без нестандартного, его база намного сложнее базы обычного. Хотя и в нём можно ровно так же определить дифференциал, как и в обычном (просто про него можно будет сказать новые интересные вещи).

Хорошо.
dx - дифференциал х.
Дифференциал - произвольное бесконечно малое приращение переменной величины (согласно гуглу)

Munin в сообщении #1326470 писал(а):

А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

Занавес...
Что же такое дифференциал, стало совсем неясно.

-- 13.07.2018, 13:50 --

wrest в сообщении #1326483 писал(а):

Да, я понимаю эту картинку. Это пока всё, что мне понятно)

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):

Вот где про это можно прочитать максимально подробно, чтобы без фраз "легко видеть", "очевидно", "нетрудно заметить"

Не надо нигде читать. Возьмите функцию $y=x$ и к ней примените определение дифференцируемости в Ваших же обозначениях.
$\Delta y= y(x+\Delta x)-y(x)=\Delta x = $ Вы тут писали $ = dy = dx$, поскольку $y=x$. (нелинейный добавок тут тождественно нулевой).
То есть $dx=\Delta x$.
Все, запомнили и дальше сильно об этом не задумываемся.
Только верно это исключительно для независимой переменной, что дифференциал аргумента равен его приращению.