Задачи на внутреннюю энергию системы тел

[MakVlad]

EUgeneUS
Энергия получена за счет работы силы $F$, складывается она из кинетической энергии тел и энергии, спрятанной в пружине

[EUgeneUS]

MakVlad

как же так...
А про работу силы трения мы просто так говорили?
И формулой запишите, пожалуйста.

[MakVlad]

EUgeneUS в сообщении #1326294 писал(а):

И формулой запишите, пожалуйста.

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} + \frac{k\Delta x^2}{2} + A_{F_{fric}} = A_F$$

После затухания колебаний $v_1 = v_2$

[EUgeneUS]

Ну, хорошо.

Обозначим $A_{F_{fric}} = Q$ - пар ушел в гудок (работа силы трения в теплоту).
Понятно, что $Q +\frac{k\Delta x^2}{2} = U$ - это внутренняя энергия системы.
Не менее понятно, что после затухания колебаний $v_1 = v_2 = V$, где $V$ скорость центра масс.

Далее есть два способа решения. Пойдем чуть более длинным, но на мой взгляд более понятным.

1. "Если к моменту затухания колебаний тело массы $m_2$ прошло в направлении силы $F$ расстояние $l$", то какое расстояние прошел центр масс системы?

2. Если к системе приложена единственная внешняя сила $F$ и она постоянная, то как двигается центр масс системы?

3. Если знаем, как двигается центр масс системы (закон движения) и перемещение центра масс, то можно ли найти время, которое действует сила?

4. Если знаем сколько времени действует постоянная сила, то можно ли найти скорость?

[MakVlad]

EUgeneUS
1. $S = l - \Delta x$
2. равноускоренно? $a_c = \frac{F}{m_1 + m_2}$?
3. $S = \frac{a_ct^2}{2} \Rightarrow t=\sqrt{\frac{2(l-x)(m_1 + m_2)}{F}}$
4. $v_c = \sqrt{2(l-x)\frac{F}{(m_1 + m_2)}}$
Правильно?

[EUgeneUS]

MakVlad
1. Нет, конечно. Обратите внимание, что тянут за $m_1$, а на $l$ переместился $m_2$. Поэтому $m_1$ переместится на $l_1 = l + \Delta x$. Перемещение ц.м. будет между $l$ и $l+\Delta x$. Нужно посчитать.
2. Да.

3 и 4. Неверно, из-за ошибки в 1.

Можно сразу скорость ц.м. в квадрате искать - она нужна, чтобы кинетическую энергии посчитать.
Для равноускоренного движения (при $v(t=0)=0$): $v^2 = 2aS$

[MakVlad]

EUgeneUS

$$v^2 = (2l + \Delta x)\frac{F}{m_1 + m_2}$$

Верно?

[EUgeneUS]

нет.
Аккуратнее считайте перемещение ц.м. Это же не среднее арифметическое.

------
Кстати, можно даже сразу кинетическую энергию системы считать:

$E_k = \frac{(m_1+m_2)v^2}{2} = (m_1+m_2 )a S_{с} = F S_{c}$

Обратите внимание, $FS_c$ - это работа внешней силы "над центром масс", она отличается от полной работы силы над системой, которая равна $A_F = FS_{m_1}$,
где $S_{m_1}$ - перемещение точки приложения силы, то есть груза $m_1$
Тогда, учитывая формулу отсюда, изменение внутренней энергии:
$U = A_F - E_k = F (S_{m_1} - S_c)$

Это был простой, более короткий путь.

осталось правильно посчитать $S_c$

[MakVlad]

EUgeneUS
Aх, да, точно... Это же центр масс всё-таки)

$$S_c = l +\Delta x\frac{m_1}{m_1 + m_2}$$

$$\Delta W = F\Delta x\frac{m_2}{m_1+m_2}$$

вот так получается

$$\Delta W = \frac{F^2}{k}\frac{m_2^2}{(m_1 + m_2)^2}$$

$$W = \frac{F^2}{2k}\frac{m_2^2}{(m_1 + m_2)^2}$$

$$K = F(l + \frac{F^2}{k}\frac{m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2})$$

[EUgeneUS]

Нет. Торопитесь.
Очевидно, что цм должен уехать на $l$ плюс небольшой добавачек.

-- 12.07.2018, 21:33 --

А изменение внутренней энергии не должно зависеть от $l$ по понятным причинам

[MakVlad]

EUgeneUS
ошибся, когда сообщение набирал. А так, посчитал с $l$. Уже исправил в сообщении

[EUgeneUS]

После слов "вот так получается" проверьте еще

[MakVlad]

EUgeneUS
Да, двойку не в ту дробь поставил

-- 12.07.2018, 21:50 --

EUgeneUS
Спасибо за помощь!

[EUgeneUS]

Там еще с обозначениями беда. Вы одной буквой $W$ разное обозначаете.

-- 12.07.2018, 22:01 --

И в последней формуле один квадрат лишний....

[MakVlad]

Да, вот так будет лучше, поторопился, когда набирал

$$\Delta W = \frac{F^2}{k}\frac{m_2^2}{(m_1 + m_2)^2}$$

$$W_{spring} = \frac{F^2}{2k}\frac{m_2^2}{(m_1 + m_2)^2}$$

$$K = F(l + \frac{F}{k}\frac{m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2})$$