2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.03.2017, 19:21 
Аватара пользователя


09/10/15
3391
Torrance, California, USA
В теме про летающий волчок topic97216.html
уже обсуждался вопрос об устойчивости точеченого заряда в какой-то малой окрестности пространства с электростатичесим полем.
Я предлагаю здесь обсудить поведение потенциала в окрестности центра правильних многогранников, если в их вершины поместить одинаковые положительные точечные заряды.
Мне уже встречалась задача для ситуации с Гексаэдром (кубом).
В ней доказывается, что по направлению к вершинам потенциал возрастает, а по направлению к центрам граней убывает. То есть уже у случае куба получается некая пространственная розочка. Пока непонятно, как себя ведет потенциал в направлении к центрам ребер.
Можно для определенности поместить центр куба в начало координат, а его ребра вдоль осей координат так, что длина ребра равна 2.
То есть в принципе можно было бы разложить потенциал до степеней второго порядка по всем трем направлениям и посмотреть, какие направления зануляют вторую производную.
То есть выяснить форму поверхностей роста и убывания потенциала в окрестности малой сферы вокруг центра.
Аналогичную задачу можно Решить для остальных 4-х Платоновских тел. Может еще включить в них футбольный мяч в честь надвигающегося ЧМ -2018. Поверхность футбольшого мяча представляет собой сшивку из правильных пяти и шестиугольников.
Так что фигура тоже вполне симметричная.
Будет ли качественно картинка такой же по направлению к вершинам и центрам граней, как в случае с кубом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.03.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71595
Во втором порядке будут нули, очевидно. Чтобы что-то найти, нужно брать высшие порядки.

Отдельно интересна задача, когда в вершинах заряды разных знаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.03.2017, 20:00 
Аватара пользователя


09/10/15
3391
Torrance, California, USA
На самом деле да.
Очевидно.
Предыдущие рассуждения не прошли даром. :D
Вроде пару недель назад это выяснилось, а сейчас, поди ж ты, забыл.
А кто может без вычислений прикинуть, какой порядок остается для каких фигур?
По-моему хорошая "топологическая" задачка.

Насчет задачи с разными знаками, похоже равновесие в центре возможно только для куба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.06.2018, 19:11 
Аватара пользователя


08/12/08
302
На мой взгляд более интересна задача о потенциале внутри равномерно заряженного тела Платона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение04.07.2018, 22:46 
Аватара пользователя


09/10/15
3391
Torrance, California, USA
drug39 в сообщении #1323629 писал(а):
На мой взгляд более интересна задача о потенциале внутри равномерно заряженного тела Платона.

Идеологически она ничем неотличается от предложенных мной задач. Просто решается наверняка только с помощью компьютеров. И, наверное, ситуация будет обратной. Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать. Ну, это я скорее гадаю на кофейной гуще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 06:28 


11/12/16
6175
fred1996 в сообщении #1324452 писал(а):
Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать.


По направлению к вершинам потенциал не может падать. По крайней мере вблизи вершин.

Падать потенциал будет падать по направлению или к центрам граней, или к центрам ребер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 06:55 
Аватара пользователя


09/10/15
3391
Torrance, California, USA
EUgeneUS
Ну и чем так хороши вершины?
Мне кажется сходу тут невозможно обойтись без компьютера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 07:04 


11/12/16
6175
fred1996
Так там же точечные заряды. Для каждого $U_0$, найдется такое $R_0$, что в области $r < R_0$ потенциал $U(r)  > U_0$.
Или уже не точечные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 08:48 
Аватара пользователя


08/12/08
302
fred1996 в сообщении #1324452 писал(а):
Идеологически она ничем неотличается от предложенных мной задач. Просто решается наверняка только с помощью компьютеров. И, наверное, ситуация будет обратной. Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать. Ну, это я скорее гадаю на кофейной гуще.
отличается тем, что тело с однородной пространственной плотностью заряда. Задача интересна тем, что существуют оси с чисто квадратичным ростом потенциала. Как известно, такие оси есть в равномерно заряженном эллипсоиде. Оказывается, что и в телах Платона такие оси есть. Решается не только с помощью компьютеров, но и аналитически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 14:00 
Аватара пользователя


09/10/15
3391
Torrance, California, USA
EUgeneUS
Точечные заряды были в первоначальной постановке.
В предложенной drug39 у нас равномерно заряженные грани.
И потом даже в случае зарядов в вершинах все не так очевидно. Мы ведь исследуем устойчивость в центре фигуры.

-- 05.07.2018, 03:07 --

drug39
Ну это в только в эллипсоиде симметрия будет простая, создавая квадратичный потенциал. У фигур Платона в центре симметрия более высокого порядка. И, соответственно, ромашка потенциала там явно не квадратичная, поскольку осей симметрии гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение06.07.2018, 19:35 
Аватара пользователя


08/12/08
302
fred1996, я не это имел ввиду. Всё тело Платона имеет однородную плотность заряда. Так вот на осях внутри тела потенциал строго квадратичный. Но только на осях в одном направлении (кроме куба). Зачем это практически надо, не знаю, но мало ли.
Если Вас интересует как создать трёхмерную потенциальную яму, то в пустой области это невозможно, сама область должна обладать пространственной плотностью заряда. Возможно, яма получится в комбинации с гравитационным полем в "платоновой" полости в центре равномерно заряженного шара.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group