Потенциал внутри правильных многогранников

[fred1996]

В теме про летающий волчок topic97216.html
уже обсуждался вопрос об устойчивости точеченого заряда в какой-то малой окрестности пространства с электростатичесим полем.
Я предлагаю здесь обсудить поведение потенциала в окрестности центра правильних многогранников, если в их вершины поместить одинаковые положительные точечные заряды.
Мне уже встречалась задача для ситуации с Гексаэдром (кубом).
В ней доказывается, что по направлению к вершинам потенциал возрастает, а по направлению к центрам граней убывает. То есть уже у случае куба получается некая пространственная розочка. Пока непонятно, как себя ведет потенциал в направлении к центрам ребер.
Можно для определенности поместить центр куба в начало координат, а его ребра вдоль осей координат так, что длина ребра равна 2.
То есть в принципе можно было бы разложить потенциал до степеней второго порядка по всем трем направлениям и посмотреть, какие направления зануляют вторую производную.
То есть выяснить форму поверхностей роста и убывания потенциала в окрестности малой сферы вокруг центра.
Аналогичную задачу можно Решить для остальных 4-х Платоновских тел. Может еще включить в них футбольный мяч в честь надвигающегося ЧМ -2018. Поверхность футбольшого мяча представляет собой сшивку из правильных пяти и шестиугольников.
Так что фигура тоже вполне симметричная.
Будет ли качественно картинка такой же по направлению к вершинам и центрам граней, как в случае с кубом?

[Munin]

Во втором порядке будут нули, очевидно. Чтобы что-то найти, нужно брать высшие порядки.

Отдельно интересна задача, когда в вершинах заряды разных знаков.

[fred1996]

На самом деле да.
Очевидно.
Предыдущие рассуждения не прошли даром.
Вроде пару недель назад это выяснилось, а сейчас, поди ж ты, забыл.
А кто может без вычислений прикинуть, какой порядок остается для каких фигур?
По-моему хорошая "топологическая" задачка.

Насчет задачи с разными знаками, похоже равновесие в центре возможно только для куба.

[drug39]

На мой взгляд более интересна задача о потенциале внутри равномерно заряженного тела Платона.

[fred1996]

drug39 в сообщении #1323629 писал(а):

На мой взгляд более интересна задача о потенциале внутри равномерно заряженного тела Платона.

Идеологически она ничем неотличается от предложенных мной задач. Просто решается наверняка только с помощью компьютеров. И, наверное, ситуация будет обратной. Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать. Ну, это я скорее гадаю на кофейной гуще.

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1324452 писал(а):

Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать.

По направлению к вершинам потенциал не может падать. По крайней мере вблизи вершин.

Падать потенциал будет падать по направлению или к центрам граней, или к центрам ребер.

[fred1996]

EUgeneUS
Ну и чем так хороши вершины?
Мне кажется сходу тут невозможно обойтись без компьютера.

[EUgeneUS]

fred1996
Так там же точечные заряды. Для каждого $U_0$, найдется такое $R_0$, что в области $r < R_0$ потенциал $U(r) > U_0$.
Или уже не точечные?

[drug39]

fred1996 в сообщении #1324452 писал(а):

Идеологически она ничем неотличается от предложенных мной задач. Просто решается наверняка только с помощью компьютеров. И, наверное, ситуация будет обратной. Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать. Ну, это я скорее гадаю на кофейной гуще.

отличается тем, что тело с однородной пространственной плотностью заряда. Задача интересна тем, что существуют оси с чисто квадратичным ростом потенциала. Как известно, такие оси есть в равномерно заряженном эллипсоиде. Оказывается, что и в телах Платона такие оси есть. Решается не только с помощью компьютеров, но и аналитически.

[fred1996]

EUgeneUS
Точечные заряды были в первоначальной постановке.
В предложенной drug39 у нас равномерно заряженные грани.
И потом даже в случае зарядов в вершинах все не так очевидно. Мы ведь исследуем устойчивость в центре фигуры.

-- 05.07.2018, 03:07 --

drug39
Ну это в только в эллипсоиде симметрия будет простая, создавая квадратичный потенциал. У фигур Платона в центре симметрия более высокого порядка. И, соответственно, ромашка потенциала там явно не квадратичная, поскольку осей симметрии гораздо больше.

[drug39]

fred1996, я не это имел ввиду. Всё тело Платона имеет однородную плотность заряда. Так вот на осях внутри тела потенциал строго квадратичный. Но только на осях в одном направлении (кроме куба). Зачем это практически надо, не знаю, но мало ли.
Если Вас интересует как создать трёхмерную потенциальную яму, то в пустой области это невозможно, сама область должна обладать пространственной плотностью заряда. Возможно, яма получится в комбинации с гравитационным полем в "платоновой" полости в центре равномерно заряженного шара.