2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.03.2017, 19:21 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
В теме про летающий волчок topic97216.html
уже обсуждался вопрос об устойчивости точеченого заряда в какой-то малой окрестности пространства с электростатичесим полем.
Я предлагаю здесь обсудить поведение потенциала в окрестности центра правильних многогранников, если в их вершины поместить одинаковые положительные точечные заряды.
Мне уже встречалась задача для ситуации с Гексаэдром (кубом).
В ней доказывается, что по направлению к вершинам потенциал возрастает, а по направлению к центрам граней убывает. То есть уже у случае куба получается некая пространственная розочка. Пока непонятно, как себя ведет потенциал в направлении к центрам ребер.
Можно для определенности поместить центр куба в начало координат, а его ребра вдоль осей координат так, что длина ребра равна 2.
То есть в принципе можно было бы разложить потенциал до степеней второго порядка по всем трем направлениям и посмотреть, какие направления зануляют вторую производную.
То есть выяснить форму поверхностей роста и убывания потенциала в окрестности малой сферы вокруг центра.
Аналогичную задачу можно Решить для остальных 4-х Платоновских тел. Может еще включить в них футбольный мяч в честь надвигающегося ЧМ -2018. Поверхность футбольшого мяча представляет собой сшивку из правильных пяти и шестиугольников.
Так что фигура тоже вполне симметричная.
Будет ли качественно картинка такой же по направлению к вершинам и центрам граней, как в случае с кубом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.03.2017, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65089
Во втором порядке будут нули, очевидно. Чтобы что-то найти, нужно брать высшие порядки.

Отдельно интересна задача, когда в вершинах заряды разных знаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.03.2017, 20:00 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
На самом деле да.
Очевидно.
Предыдущие рассуждения не прошли даром. :D
Вроде пару недель назад это выяснилось, а сейчас, поди ж ты, забыл.
А кто может без вычислений прикинуть, какой порядок остается для каких фигур?
По-моему хорошая "топологическая" задачка.

Насчет задачи с разными знаками, похоже равновесие в центре возможно только для куба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение30.06.2018, 19:11 
Аватара пользователя


08/12/08
247
На мой взгляд более интересна задача о потенциале внутри равномерно заряженного тела Платона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение04.07.2018, 22:46 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
drug39 в сообщении #1323629 писал(а):
На мой взгляд более интересна задача о потенциале внутри равномерно заряженного тела Платона.

Идеологически она ничем неотличается от предложенных мной задач. Просто решается наверняка только с помощью компьютеров. И, наверное, ситуация будет обратной. Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать. Ну, это я скорее гадаю на кофейной гуще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 06:28 


11/12/16
3228
fred1996 в сообщении #1324452 писал(а):
Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать.


По направлению к вершинам потенциал не может падать. По крайней мере вблизи вершин.

Падать потенциал будет падать по направлению или к центрам граней, или к центрам ребер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 06:55 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
EUgeneUS
Ну и чем так хороши вершины?
Мне кажется сходу тут невозможно обойтись без компьютера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 07:04 


11/12/16
3228
fred1996
Так там же точечные заряды. Для каждого $U_0$, найдется такое $R_0$, что в области $r < R_0$ потенциал $U(r)  > U_0$.
Или уже не точечные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 08:48 
Аватара пользователя


08/12/08
247
fred1996 в сообщении #1324452 писал(а):
Идеологически она ничем неотличается от предложенных мной задач. Просто решается наверняка только с помощью компьютеров. И, наверное, ситуация будет обратной. Теперь по направлению к центрам граней потенциал будет расти, а по направлению к вершинам падать. Ну, это я скорее гадаю на кофейной гуще.
отличается тем, что тело с однородной пространственной плотностью заряда. Задача интересна тем, что существуют оси с чисто квадратичным ростом потенциала. Как известно, такие оси есть в равномерно заряженном эллипсоиде. Оказывается, что и в телах Платона такие оси есть. Решается не только с помощью компьютеров, но и аналитически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение05.07.2018, 14:00 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
EUgeneUS
Точечные заряды были в первоначальной постановке.
В предложенной drug39 у нас равномерно заряженные грани.
И потом даже в случае зарядов в вершинах все не так очевидно. Мы ведь исследуем устойчивость в центре фигуры.

-- 05.07.2018, 03:07 --

drug39
Ну это в только в эллипсоиде симметрия будет простая, создавая квадратичный потенциал. У фигур Платона в центре симметрия более высокого порядка. И, соответственно, ромашка потенциала там явно не квадратичная, поскольку осей симметрии гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потенциал внутри правильных многогранников
Сообщение06.07.2018, 19:35 
Аватара пользователя


08/12/08
247
fred1996, я не это имел ввиду. Всё тело Платона имеет однородную плотность заряда. Так вот на осях внутри тела потенциал строго квадратичный. Но только на осях в одном направлении (кроме куба). Зачем это практически надо, не знаю, но мало ли.
Если Вас интересует как создать трёхмерную потенциальную яму, то в пустой области это невозможно, сама область должна обладать пространственной плотностью заряда. Возможно, яма получится в комбинации с гравитационным полем в "платоновой" полости в центре равномерно заряженного шара.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group