2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 16:37 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
misha.physics в сообщении #1321815 писал(а):
в физике

В физике если что-то в разных книгах обозначается одной и той же буквой (например, если в первой книге путь обозначен $s$, а во второй обозначение $s$ используется для натурального параметра траектории), это не значит, что это непременно одна и та же величина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 16:42 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
warlock66613, понятно, хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1321815 писал(а):
Тогда получается, что если $ds<0$, то векторы $\vec{\tau}$ и $d\vec{r}$ направлены в противоположные стороны.

Да, такое может быть, но этим лучше не забивать себе голову, а считать, что все дифференциалы независимой переменной - положительные. Иначе будете сбиваться и с трудом считать там, где надо действовать на автоматизме.

misha.physics в сообщении #1321815 писал(а):
И также векторы $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ будут противоположно напрямлены.

Вот вы и сбились. Нет, эти векторы всегда одинаково направлены. Потому что $s(t)$ - всегда монотонно возрастающая функция (точнее, неубывающая), и поэтому производная $\tfrac{ds}{dt},$ которую pogulyat_vyshel обозначил $\dot{s}(t)$ - всегда положительная, (точнее, неотрицательная). А значит, $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ всегда сонаправлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 18:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
misha.physics в сообщении #1321789 писал(а):
А можете объяснить в двух словах, для чего нужно скалярное произведение? В чем суть.
Или это для того, чтобы можно было умножить $\vec{i}dx=\vec{i}v_xdt$ слева и справа на $\vec{i}$ и тем самым избавится от него?
Пока у нас нет скалярного произведения, у нас нет и длины вектора, так что мы можем сопоставлять им числа по-разному, выбирая разные базисные векторы $\vec\imath$, ни один из которых не будет лучше другого. Когда есть, мы можем выбрать единичный: $\vec\imath^2 = 1$. (Ну и тут кандидатов всё ещё останется два противонаправленных, потому нам надо выбрать ориентацию, и останется один.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 18:10 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
arseniiv, стало понятнее, спасибо.

-- 22 июн 2018, 17:16 --

Munin, все-таки, если может быть такое, что векторы $\vec{\tau}$ и $d\vec{r}$ направлены в противоположные стороны, значит из этого следует, что векторы $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ будут противоположно напрямлены, ведь вектор $\vec{v}$ напрямлен туда же, что и вектор $d\vec{r}$.
В общем, понятно становится тогда, когда $ds>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1321844 писал(а):
ведь вектор $\vec{v}$ напрямлен туда же, что и вектор $d\vec{r}$.

Нет, если $dt$ отрицательный. Но это извращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение22.06.2018, 20:45 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1321864 писал(а):
Нет, если $dt$ отрицательный. Но это извращения.

В том-то и дело :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 08:47 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
$\dot s$ может иметь любой знак и менять его по ходу времени

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вот это да!

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
pogulyat_vyshel в сообщении #1322195 писал(а):
$\dot s$ может иметь любой знак и менять его по ходу времени

В общепринятых обозначениях $ds=|d\vec{r}|$. Так что всё-таки $\dfrac{ds}{dt}\geqslant0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 17:26 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Mihr в сообщении #1322288 писал(а):
В общепринятых обозначениях $ds=|d\vec{r}|$. Так что всё-таки $\dfrac{ds}{dt}\geqslant0$.

"Общепринятые обозначения" вы понимаете некорректно. Что, конечно, не моя проблема.

Объясню для топикстартера. Вот у нас есть уравнение кривой в пространстве $\boldsymbol r =\boldsymbol r(s)$. Это можно считать, что у нас какая-то изогнутая провлолочка подвешена в воздухе. Каждой точке проволчки отвечает значение натурального параметра $s$. По проволоке бежит таракан. В момент времени $t$ он находится в точке $s(t)$, или другими словами, радиус-вектор таракана это $\boldsymbol r(s(t))$. Пока таракан бежит в направлении возрастания $s$ мы имеем $\dot s>0$, таракан может остановиться: $\dot s=0$ и поползти в обратную сторону: $\dot s<0$.

UPD при этом таракан может проползти всю проволочку даже если он пару раз развернется назад, а потом снова поползет вперед. Т. е. $\{\boldsymbol r(s)\mid s\in (s_1,s_2)\}$ -- это траектория таракана это кривая, множество точек. А функция $t\mapsto\boldsymbol r(s(t))$ это закон движения таракана по траектории. Закон движения по одной и той же траектории может быть разным

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 17:56 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
pogulyat_vyshel,
pogulyat_vyshel в сообщении #1322299 писал(а):
Пока таракан бежит в направлении возрастания $s$ мы имеем $\dot s>0$, таракан может остановиться: $\dot s=0$ и поползти в обратную сторону: $\dot s<0$.

Да, я понимаю, иначе мы бы не смогли различить точки на кривой равноудаленные от точки, которой отвечает значение $s=0$. Мы бы не смогли сказать, в какую сторону движется таракан. Если у нас ничего "кроме $s$" больше нет.

Вот у меня идея, как можно решить (и может быть так и делают?) эту проблему в физике. В физике можно написать $\vec{v}=\dot s\vec{\tau}$. На $\dot s$ мы можем наложить условие $\frac{ds}{dt}\geqslant 0$. Направление же движения у нас задается единичным вектором $\vec{\tau}=\frac{d\vec{r}}{ds}$ ($ds$ только неотрицательные). В таком случае $\dot s\equiv |\vec{v}|$.
То есть, неважно, будет ли двигатся таракан по кривой влево или вправо, $ds$ будет $ds \geqslant 0$ и $\dot s\geqslant 0$ ($dt$ только неотрицательные). Но направление вектора скорости у нас будет "правильным", потому что оно определяется направлением вектора $d\vec{r}$ (мы ведь решили рассматрывать только неотрицательные $ds$).
В общем, наверное в этом частичном случае физики и в диф. геометрии рассматрывают этот момент (о знаке $\dot s$) по-разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 18:00 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Я сливаю воду, учитесь у Mihr
:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 18:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну, спутали натуральный параметр (траектории) и длину кривой (для траектории — путь), бывает, тем более что действительно их часто обозначают одинаково.

Для ТС: они связаны так: путь — это модуль разности значений натурального параметра на концах интересующего отрезка, и, наоборот, задав на кривой точку отсчёта и ориентацию, можно натурально параметризовать её, беря пути на соответствующих отрезках с соответствующим знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пройденный путь в физике и его знак
Сообщение24.06.2018, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
pogulyat_vyshel Прав, если $s$ обозначает параметр, показывающий положение точки на траектории. Тогда $ds$––изменение параметра--может иметь произвольный знак, равно как и $ds/dt$.
Mihr Прав если $ds$ означает путь, пройденный точкой за время $dt$; тогда $ds/dt \ge 0$.

В частности, если точка движется вдоль траектории с возвратом в начальную точку (причем с той же стороны), то в первом случае $\int_L ds=0$, а во втором $\int_L ds>0$ длина пройденного пути.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group