Пройденный путь в физике и его знак

[warlock66613]

misha.physics в сообщении #1321815 писал(а):

в физике

В физике если что-то в разных книгах обозначается одной и той же буквой (например, если в первой книге путь обозначен $s$, а во второй обозначение $s$ используется для натурального параметра траектории), это не значит, что это непременно одна и та же величина.

[misha.physics]

warlock66613, понятно, хорошо.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1321815 писал(а):

Тогда получается, что если $ds<0$, то векторы $\vec{\tau}$ и $d\vec{r}$ направлены в противоположные стороны.

Да, такое может быть, но этим лучше не забивать себе голову, а считать, что все дифференциалы независимой переменной - положительные. Иначе будете сбиваться и с трудом считать там, где надо действовать на автоматизме.

misha.physics в сообщении #1321815 писал(а):

И также векторы $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ будут противоположно напрямлены.

Вот вы и сбились. Нет, эти векторы всегда одинаково направлены. Потому что $s(t)$ - всегда монотонно возрастающая функция (точнее, неубывающая), и поэтому производная $\tfrac{ds}{dt},$ которую pogulyat_vyshel обозначил $\dot{s}(t)$ - всегда положительная, (точнее, неотрицательная). А значит, $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ всегда сонаправлены.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1321789 писал(а):

А можете объяснить в двух словах, для чего нужно скалярное произведение? В чем суть.
Или это для того, чтобы можно было умножить $\vec{i}dx=\vec{i}v_xdt$ слева и справа на $\vec{i}$ и тем самым избавится от него?

Пока у нас нет скалярного произведения, у нас нет и длины вектора, так что мы можем сопоставлять им числа по-разному, выбирая разные базисные векторы $\vec\imath$, ни один из которых не будет лучше другого. Когда есть, мы можем выбрать единичный: $\vec\imath^2 = 1$. (Ну и тут кандидатов всё ещё останется два противонаправленных, потому нам надо выбрать ориентацию, и останется один.)

[misha.physics]

arseniiv, стало понятнее, спасибо.

-- 22 июн 2018, 17:16 --

Munin, все-таки, если может быть такое, что векторы $\vec{\tau}$ и $d\vec{r}$ направлены в противоположные стороны, значит из этого следует, что векторы $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ будут противоположно напрямлены, ведь вектор $\vec{v}$ напрямлен туда же, что и вектор $d\vec{r}$.
В общем, понятно становится тогда, когда $ds>0$.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1321844 писал(а):

ведь вектор $\vec{v}$ напрямлен туда же, что и вектор $d\vec{r}$.

Нет, если $dt$ отрицательный. Но это извращения.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1321864 писал(а):

Нет, если $dt$ отрицательный. Но это извращения.

В том-то и дело

[pogulyat_vyshel]

$\dot s$ может иметь любой знак и менять его по ходу времени

[Munin]

Вот это да!

[Mihr]

pogulyat_vyshel в сообщении #1322195 писал(а):

$\dot s$ может иметь любой знак и менять его по ходу времени

В общепринятых обозначениях $ds=|d\vec{r}|$. Так что всё-таки $\dfrac{ds}{dt}\geqslant0$.

[pogulyat_vyshel]

Mihr в сообщении #1322288 писал(а):

В общепринятых обозначениях $ds=|d\vec{r}|$. Так что всё-таки $\dfrac{ds}{dt}\geqslant0$.

"Общепринятые обозначения" вы понимаете некорректно. Что, конечно, не моя проблема.

Объясню для топикстартера. Вот у нас есть уравнение кривой в пространстве $\boldsymbol r =\boldsymbol r(s)$. Это можно считать, что у нас какая-то изогнутая провлолочка подвешена в воздухе. Каждой точке проволчки отвечает значение натурального параметра $s$. По проволоке бежит таракан. В момент времени $t$ он находится в точке $s(t)$, или другими словами, радиус-вектор таракана это $\boldsymbol r(s(t))$. Пока таракан бежит в направлении возрастания $s$ мы имеем $\dot s>0$, таракан может остановиться: $\dot s=0$ и поползти в обратную сторону: $\dot s<0$.

UPD при этом таракан может проползти всю проволочку даже если он пару раз развернется назад, а потом снова поползет вперед. Т. е. $\{\boldsymbol r(s)\mid s\in (s_1,s_2)\}$ -- это траектория таракана это кривая, множество точек. А функция $t\mapsto\boldsymbol r(s(t))$ это закон движения таракана по траектории. Закон движения по одной и той же траектории может быть разным

[misha.physics]

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1322299 писал(а):

Пока таракан бежит в направлении возрастания $s$ мы имеем $\dot s>0$, таракан может остановиться: $\dot s=0$ и поползти в обратную сторону: $\dot s<0$.

Да, я понимаю, иначе мы бы не смогли различить точки на кривой равноудаленные от точки, которой отвечает значение $s=0$. Мы бы не смогли сказать, в какую сторону движется таракан. Если у нас ничего "кроме $s$" больше нет.

Вот у меня идея, как можно решить (и может быть так и делают?) эту проблему в физике. В физике можно написать $\vec{v}=\dot s\vec{\tau}$. На $\dot s$ мы можем наложить условие $\frac{ds}{dt}\geqslant 0$. Направление же движения у нас задается единичным вектором $\vec{\tau}=\frac{d\vec{r}}{ds}$ ($ds$ только неотрицательные). В таком случае $\dot s\equiv |\vec{v}|$.
То есть, неважно, будет ли двигатся таракан по кривой влево или вправо, $ds$ будет $ds \geqslant 0$ и $\dot s\geqslant 0$ ($dt$ только неотрицательные). Но направление вектора скорости у нас будет "правильным", потому что оно определяется направлением вектора $d\vec{r}$ (мы ведь решили рассматрывать только неотрицательные $ds$).
В общем, наверное в этом частичном случае физики и в диф. геометрии рассматрывают этот момент (о знаке $\dot s$) по-разному.

[pogulyat_vyshel]

Я сливаю воду, учитесь у Mihr
:)

[arseniiv]

Ну, спутали натуральный параметр (траектории) и длину кривой (для траектории — путь), бывает, тем более что действительно их часто обозначают одинаково.

Для ТС: они связаны так: путь — это модуль разности значений натурального параметра на концах интересующего отрезка, и, наоборот, задав на кривой точку отсчёта и ориентацию, можно натурально параметризовать её, беря пути на соответствующих отрезках с соответствующим знаком.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel Прав, если $s$ обозначает параметр, показывающий положение точки на траектории. Тогда $ds$––изменение параметра--может иметь произвольный знак, равно как и $ds/dt$.
Mihr Прав если $ds$ означает путь, пройденный точкой за время $dt$; тогда $ds/dt \ge 0$.

В частности, если точка движется вдоль траектории с возвратом в начальную точку (причем с той же стороны), то в первом случае $\int_L ds=0$, а во втором $\int_L ds>0$ длина пройденного пути.