Пройденный путь в физике и его знак

[misha.physics]

Здравствуйте. Маленький вопрос.

Пусть тело движется вдось оси $x$. Его скорость $v=\frac{dx}{dt}$. Говорят, что пройденный путь за время $t$ при постоянной скорости $v$ это $s=vt$. Отсюда видно, что $s$ имеет знак, так как $v$ имеет знак, потому что $dx$ имеет знак.

Теперь пусть тело движется по кривой траектории. Запишем его вектор скорости как $\vec{v}=v\vec{\tau}$ ($\vec{\tau}$- единичный вектор касательной к траектории). $v$ это модуль вектора скорости, он положителен. Говорят, что $v=\frac{ds}{dt}$. Значит $ds$ не может быть отрицательным. Значит, независимо от того, движется ли тело по кривой "вправо" или "влево", $ds$ будет положительным.

Значит в первом и втором примере в $s$ вкладывается разный смысл, да?

С вторым примером, когда модуль скорости $v$ равен $\frac{ds}{dt}$ все понятно, $ds$ это неотрицательна величина, это просто расстояние, измеренное вдоль траектории независимо от направления движения. Может ошибка в первом случае. Я в Сивухине прочитал, что "Пройденный путь $s$ определяется приращением координаты, $s=x-x_0...$". Но понятно, что может быть $x_0>x$ и тогда $s<0$.

[Someone]

misha.physics в сообщении #1321755 писал(а):

Пусть тело движется вдось оси $x$. Его скорость $v=\frac{dx}{dt}$. Говорят, что пройденный путь за время $t$ при постоянной скорости $v$ это $s=vt$. Отсюда видно, что $s$ имеет знак, так как $v$ имеет знак, потому что $dx$ имеет знак.

В первом уравнении $x$ — не путь, а координата. И все рассуждения о знаках относятся к координате, а не к пути. Что касается пути, то $s=\lvert v\rvert t$ (при постоянном $\lvert v\rvert$). Сказанное относится и к криволинейному движению.

Кстати, у физиков обычно подразумевается, что $v=\lvert\vec v\rvert$.

[misha.physics]

Someone,

Someone в сообщении #1321758 писал(а):

В первом уравнении $x$ — не путь, а координата.

Да, в уравнении $v=\frac{dx}{dt}$ под $v$ подразумевается $v_x$. Но потом пишет (в Сивухине) что-то типа $s=vt$, то есть $s=v_xt$. Значит $s$ здесь это как-бы путь со знаком, а во втором случае $s$ это "абсолютный" путь, положительная величина. Мне просто кажется, что это немного запутывает.

[EUgeneUS]

misha.physics
Можно привести более точную ссылку на Сивухина?

[misha.physics]

И ещё я где-то читал что-то типа "Будем считать пройденное расстояние положительным, если оно совершается в положительном направлении (которое мы сначала произвольно выбираем) и отрицательным, если в противоположном направлении". Может это даже где-то в книгах о дифференциальной геометрии кривых я такое прочитал. Что вот у нас есть кривая, выберем на ней любую точку в качества "начала отсчета" и будем измерять вдоль нее расстояние $s$ и дальше идет то, о чем я выше писал, о знаке. Или мне кажется, что я такое где-то мог видеть.

-- 22 июн 2018, 13:29 --

EUgeneUS,

EUgeneUS в сообщении #1321763 писал(а):

Можно привести более точную ссылку на Сивухина?

Сивухин Д. В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т. I. Механика. — 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. - 560 с.

Параграф 3, страница 37.

-- 22 июн 2018, 13:30 --

Могу скрин приложить.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1321763 писал(а):

Можно привести более точную ссылку на Сивухина?

Стр. 30-33 в "Общий курс физики. Том I. Механика" М., 1979.

ИМХО, тут у мэтра неаккуратность.

[misha.physics]

EUgeneUS,
Значит под путем $s$ в физике принято понимать суто неотрицательную величину. Если так, то все хорошо, я понял.

[Munin]

$s$ всегда неотрицательный (и монотонно неубывающая функция времени), а вот буковка $v$ может использоваться немножко по-разному, и не всегда тщательно.

Если вам нужна скорость разных знаков и немонотонная её первообразная, то пользуйтесь проекцией на ось (обозначение $v_x$), а вместо пути - координатой $x.$

Общий принцип: будьте аккуратнее, чем в учебнике или в лекциях. Себе они ляпы простят, а вам - снизят оценку.

И в частности, приведённые вами формулы верны только для постоянной скорости, а на самом деле

$$\Delta x=\int\limits_{\ldots}^{\ldots} v_x\,dt,\qquad s=\int\limits_{\ldots}^{\ldots} |\vec{v}|\,dt.$$

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1321767 писал(а):

Если так, то все хорошо, я понял.

Опять же ИМХО, в этом месте у Сивухина надо зачеркнуть слово путь и написать вместо него перемещение, которое в одномерном случае не вектор, а разница координат.

[arseniiv]

В одномерном тоже вектор, просто там будет в присутствии скалярного произведения изоморфизм с полем скаляров.

[misha.physics]

Понял, со всем согласен. Всем спасибо. Просто иногда бывает такое чувство, что вроде бы видишь ошибку в учебнике, понимаешь как должно быть, но все же сомневаешся в своей правоте.

-- 22 июн 2018, 13:51 --

arseniiv, да, в одномерном тоже вектор. Просто там возможны только два направления и их выделяют знаком :) То есть, чтобы не писать $\vec{i}dx=\vec{i}v_xdt$ пишут просто $dx=v_xdt$, как я понимаю.

[arseniiv]

Правильно понимаете. А я не дописал, кроме скалярного произведения нужно ещё зафиксировать ориентацию, иначе остаётся произвол, в какую сторону от нуля откладывать единицу.

[misha.physics]

arseniiv,
А можете объяснить в двух словах, для чего нужно скалярное произведение? В чем суть.
Или это для того, чтобы можно было умножить $\vec{i}dx=\vec{i}v_xdt$ слева и справа на $\vec{i}$ и тем самым избавится от него?

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1321755 писал(а):

Теперь пусть тело движется по кривой траектории

Пусть ,только сделаем это по-человечески. И так траектория задана параметрически $\boldsymbol r=\boldsymbol r(s)$, где $s$ -- натуральный параметр (посмотрите что это такое, скажем во втором томе Смирнова "Курс высшей математики") Разумеется натуральный параметр может быть и положительным и отрицательным в зависимости от того в какую сторону от начальной точки $s=0$ на кривой вы движетесь и отсчитываете длину дуги.
Единичный касательный вектор к траектории $\boldsymbol\tau=\frac{d\boldsymbol r}{ds}$. Пусть $s=s(t)$ -- закон движения точки по траектории, тогда $\boldsymbol v=\dot s\boldsymbol\tau$

[misha.physics]

pogulyat_vyshel,

pogulyat_vyshel в сообщении #1321801 писал(а):

Разумеется натуральный параметр может быть и положительным и отрицательным в зависимости от того в какую сторону от начальной точки $s=0$ на кривой вы движетесь и отсчитываете длину дуги.

Вот, это я и имел ввиду, когда говорил о знаке $s$.

pogulyat_vyshel в сообщении #1321801 писал(а):

Единичный касательный вектор к траектории $\boldsymbol\tau=\frac{d\boldsymbol r}{ds}$. Пусть $s=s(t)$ -- закон движения точки по траектории, тогда $\boldsymbol v=\dot s\boldsymbol\tau$

Тогда получается, что если $ds<0$, то векторы $\vec{\tau}$ и $d\vec{r}$ направлены в противоположные стороны. И также векторы $\vec{v}$ и $\vec{\tau}$ будут противоположно напрямлены. Но так как $\dot s<0$, то векторы $\vec{v}$ и $d\vec{r}$ будут напрямлены в одну сторону. Проблем нет.

Но вот вопрос. После вашего замечания, что "натуральный параметр может быть и положительным и отрицательным", что можно сказать об этом вопросе в физике. Там у нас $s$ только неотрицателен, как уже было сказано, да?