Геометрия и топология грассманиана

[Munin]

Грассманиан - https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmannian

- это множество (многообразие) всех подпространств данной размерности данного линейного пространства.

Например, множество всех прямых, проходящих на плоскости через $O.$ Множество всех плоскостей в пространстве, проходящих через $O.$ И так далее.

Первый грассманиан, не являющийся проективным пространством (которые, множества всех прямых, устроены понятно как: как полусферы $S^n/2$), - это $\mathrm{Gr}(2,4)$ - грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном пространстве. Я пытаюсь понять, как устроен $\mathrm{Gr}(2,4)$ над $\mathbb{R},$ и для развлечения - над конечными полями. Потом, может быть, попытаюсь обобщить это понимание до $\mathrm{Gr}(k,n).$

Munin писал(а):

Понял, что это множество больших кругов в 3-(полу)сфере, которую уже довольно легко наловчился представлять. Как их сообразить? Двойственный ему - тоже круг, так что тут помощи не жди. По сути, наша задача - примерно множество всех прямых в 3-мерном евклидовом пространстве.

Помещая полюс $S^3$ в "центр мира", играем так: большой круг как-то проходит по (полу)сфере, и где-то имеет точку, ближайшую к полюсу. Отметим её. Первый параметр: расстояние этой точки от полюса. Вторые два параметра: где эта точка на сфере $r=\mathrm{const}.$ И наконец, в каком направлении наш большой круг касается этой сферы - ещё один угол.

Неприятно, что для больших кругов, проходящих через "центр мира", нужно использовать другую параметризацию: два угла, задающих направление. Но можно опереться на это, и сказать так (для любой точки): первые два параметра: углы, задающие направление в точке касания сферы $r=\mathrm{const}.$ А остальные два: положение этой точки на $S^2$-сечении, перпендикулярном этому направлению. По сути, тоже углы на сфере.

Munin писал(а):

Кажется, я осознал топологию $\mathrm{Gr}(2,4)$: по написанному мной выше, это получается $\mathbb{RP}^2$ направлений, над каждой точкой которого строится слой $\mathbb{RP}^2$ "сдвигов от полюса". В целом получается не прямое произведение, но расслоение (похожее на полупрямое произведение групп) типа короткой точной последовательности $1\to\mathbb{RP}^2\to\mathrm{Gr}(2,4)\to\mathbb{RP}^2\to 1$ (я бы использовал значок $\rtimes,$ но он только за группами занят).

В общем, получается какой-то "закрученный тор".

Есть ошибки?

[vpb]

Munin
То, что Вы написали, я представить как-то не могу. Грассманиан $G(4,2)$ вкладывается, естественным образом, в проективное пространство ${\mathbb R}P^5$ , и в подходящих однородных координатах есть квадрика с уравнением
$x_1x_2+x_3x_4+x_5x_6=0$. Отсюда и геометрия, и топология его более-менее понятны. (Привет от ПСА... ). См. книжку Кострикина-Манина.

-- 12.06.2018, 16:10 --

P.S. Впрочем, нет, не понятны... Понятны в том смысле, что если припрет, я с этим разберусь, чего и Вам желаю.

[Munin]

Вот естественное вложение я пока не смотрел, и указанную вами квадрику не знаю как достать. (Кстати, а верна ли она в конечных полях? Если да, это тоже полезно.)

В Кострикине-Манине - где?

[vpb]

2-е издание, гл.4, параграф 6.

[g______d]

Munin в сообщении #1319312 писал(а):

В общем, получается какой-то "закрученный тор".

Есть ошибки?

Близко. Сравните с

https://math.stackexchange.com/question ... -manifolds

(там снизу конкретно про $(2,4)$ написано).

[Munin]

Спасибо! Отличная ссылка. Жаль, что тема мало разработана.

Не очень понял, как строятся матрицы со звёздочками в первом ответе.

[g______d]

Munin в сообщении #1319501 писал(а):

Не очень понял, как строятся матрицы со звёздочками в первом ответе.

Вроде просто метод Гаусса.

[Munin]

Тогда звёздочек не хватает.

[g______d]

Это с обратным ходом (по-английски — reduced echelon form).

Она записана не совсем в стандартном виде (столбцы вместо строк, и нулевая строка внизу вместо вверху). Впрочем, я точно не помню, как именно принято записывать её в столбцовом варианте.

[iifat]

g______d в сообщении #1319512 писал(а):

нулевая строка внизу вместо вверху

Нулевая строка у меня лично вызывает некие подозрения. Нулевая строка означает, что подпространство перпендикулярно некоему (первому ли, последнему) вектору базиса, не? А такого ж, как я понял, по постановке задачи быть не должно.

[g______d]

iifat в сообщении #1319519 писал(а):

Нулевая строка у меня лично вызывает некие подозрения. Нулевая строка означает, что подпространство перпендикулярно некоему (первому ли, последнему) вектору базиса, не? А такого ж, как я понял, по постановке задачи быть не должно.

Я так понимаю, что это не весь грассманиан, а одна клетка Шуберта (Schubert cell). Типа $(1,3,5)$, если я не ошибаюсь.

[vpb]

Munin в сообщении #1319501 писал(а):

Жаль, что тема мало разработана

Я не в курсе, но вообще грассманианы --- это после квадрик самые "разработанные" многообразия, вроде бы.

[nya]

Munin
На грассманиане есть естественные проективные координаты - плюккеровы. Они строятся очень легко, вы берёте плоскость $\Pi \subset W$ берёте любые два лин. независимых вектора $e_1,e_2$ в $\Pi$ и делаете $e_1 \wedge e_2$ - это вектор в $\bigwedge^2 W$ определенный с точностью до умножения на константу, а значит корректно определенная точка в $\mathbb{P} (\bigwedge^2 W)$ это более менее доказательство того, что $Gr(2,4)$ проективное алг. многообразие.

Клетки Шуберта тоже гораздо удобнее понимать без координат. Зафиксируем флаг $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$. Для любой плоскости $\Pi \in Gr(2,4)$ рассмотрим набор чисел $(s_1<...<s_4)$ $s_i = min \{ k | \operatorname{dim}(\Pi \cap \mathbb{R}^k) = i\}$. Назовём этот набор символом плоскости $\sigma(\Pi)$. Тогда клетка Шуберта для $\sigma$ это
$U_\sigma = \{\Pi \in Gr(2,4) | \sigma(\Pi) = \sigma\}$
можете легко проверить что $U_\sigma$ гомеоморфно $\mathbb{R}^{|\sigma|}$ где $|\sigma| = \sum_i (s_i - i)$ и что граница $U_\sigma$ содержит $U_\tau$ для всех $\tau < \sigma$ . Это даёт хорошее представление о том как устроен грассманиан.

[Munin]

Всем спасибо, займусь не раньше выходных.

[Munin]

В общем, пока получается, что я недостаточно хорошо понимаю $\bigwedge^n V.$ Я могу представить себе ненулевые компоненты тензоров, но как это геометрически заплетается - увы, нет.