О центре масс

[Munin]

Чтобы перемножить или разделить два числа, грубо и оценочно до порядка, не нужно много времени и не нужно много сложных выкладок.

[misha.physics]

Munin в сообщении #1316309 писал(а):

Чтобы перемножить или разделить два числа, грубо и оценочно до порядка, не нужно много времени и не нужно много сложных выкладок.

Понимаю, просто другим делом занят. Нет желания сейчас быстро переключатся.

[Walker_XXI]

misha.physics в сообщении #1316290 писал(а):

И "неудобно" что-то дифференцировать, умножать на массы и т. д. Удобнее складывать все векторы просто как стрелки.

На самом деле, что удобнее, становится понятно в конкретной задаче. В конце концов нам всё равно придётся как-то преобразовывать исходные данные.

misha.physics в сообщении #1316290 писал(а):

Это думаю, конечно, можно как-то посчитать. Но вряд ли я сейчас готов к этому :)

Думаю, Вы недооцениваете свои силы :) Юпитер считайте неподвижным, центр масс лежит на прямой, соединяющей... Тут уже и посчитать легко (учитывая, что применив воображаемые весы Вы нашли способ быстро и наглядно посчитать расстояние до ЦМ).

wrest в сообщении #1316293 писал(а):

Совет: если внешних сил нет, отталкиваться можно от самого Юпитера.

Или от самого себя: человек - не материальная точка. Правда, на положение ЦМ это никак не повлияет.

[Dragon27]

misha.physics в сообщении #1316316 писал(а):

Понимаю, просто другим делом занят. Нет желания сейчас быстро переключатся.

Но на форум пишете. А поднапрячься лень :)
А ведь если поднапрячься и сообразить, что делать - то всего-то умножить два числа и поделить на третье.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1316290 писал(а):

Я разместил два тела на концах стержня, и потом подумал, к какой точке стержня снизу нужно приложить опору, чтобы уравновесить эти весы.

Собственно, ровно это и нужно проделать, только с числами.

Если вас пугают выкладки с векторами, то махните (пока) на них рукой. В основе очень простой расчёт.

[misha.physics]

wrest в сообщении #1316305 писал(а):

Масса вас: $m_1=8\cdot 10^1$ кг
Масса Юпитера: $m_2=2 \cdot 10^{27}$ кг
Расстояние между вами и им (сейчас): $l=6 \cdot 10^{11}$ метров
Его радиус $r=7 \cdot 10^7$ метров
Радиус атома водорода $r_H=5 \cdot 10^{-11}$ метров

Расположим начало оси координат $x$ в центре масс Юпитера. И направим вдоль линии, соединяющей массы $m_1$ и $m_2$. Тогда координата центра масс системы:

$$x_0=\frac{m_1l}{m_1+m_2}$$

Поскольку $m_1<<m_2$:

$$x_0\approx\frac{m_1l}{m_2}\sim 10^{-14}$$

$$x_0<r$$

Значит точка центра масс системы лежит внутри Юпитера. Очень близко к его центру масс. Просто масса человека ничтожно мала по сравнению с массой Юпитера, а расстояние между ними слишком мало чтобы вывести центр масс наружу из Юпитера.

Относительно второй задачи:

Munin в сообщении #1316274 писал(а):

Также сравните, насколько будет смещаться этот ц. м. "во время вальса". Это будет смещение больше размера атома, или меньше?

Здесь задача не совсем сформулирована. Я думаю так (первое что приходит в голову). Пусть есть я и Юпитер и я нахожусь на Земле. Можно вычислить центра масс системы "я-Юпитер". Потом я могу оттолкнуться от Земли на некоторое расстояние и оказатся на новом расстоянии от Юпитера (самый простой случай если изменится только расстояние между нами, а линия проходящая через наши центры масс останется той же. Для этого я должен буду двинутся вдоль этой линии). Теперь снова можно вычислить центр масс системы. А потом рассмотреть их разность.
Можно воспользоватся предыдущей задачей. Пусть расстояние $l$ увеличилось на $\Delta l=1$ м. (я оттолкнулся от Земли). Тогда абсолютное смещения центра масс системы в метрах:

$$|\Delta x_0|=\left\lvert\frac{m_1}{m_1+m_2}\right\rvert\approx\left\lvert\frac{m_1}{m_2}\right\rvert\sim10^{-26}$$

Итак:

$$|\Delta x_0|<r_H$$

Значит смещение центра масс меньше радиуса атома водорода.

Чтобы ц. м. сдвинулся на расстояние $r_H$ нужно чтобы:

$$|\Delta x_0|\approx\left\lvert\frac{m_1}{m_2}\Delta l\right\rvert=r_H$$

Значит $\Delta l$ должно быть порядка:

$$\Delta l\sim 10^{15}$$

Все длины брались в метрах и массы в килограмах. Может где-то ошибся с расчётами, а может это всё и неправильно

-- 30 май 2018, 21:48 --

Walker_XXI,

Walker_XXI в сообщении #1316326 писал(а):

Думаю, Вы недооцениваете свои силы :) Юпитер считайте неподвижным, центр масс лежит на прямой, соединяющей... Тут уже и посчитать легко (учитывая, что применив воображаемые весы Вы нашли способ быстро и наглядно посчитать расстояние до ЦМ).

Да, я имел ввиду, что не был готов считать это сразу в тот момент. Идея как это сделать у меня была сразу, просто небыло какого-то желания :)

-- 30 май 2018, 21:51 --

Dragon27,

Dragon27 в сообщении #1316331 писал(а):

Но на форум пишете. А поднапрячься лень :)
А ведь если поднапрячься и сообразить, что делать - то всего-то умножить два числа и поделить на третье.

Да, вы правы, просто я об другом думал, не хотел смешивать

[Munin]

Вальс обычно танцуют вдоль поверхности Земли :-) В остальном замечаний нет.

Чтобы набрать единицу измерения в формуле, можно использовать \text{ ... } :

$10^{-14}\text{ м},10^{-26}\text{ м},10^{15}\text{ м}.$

[misha.physics]

Munin, и ещё:

Munin в сообщении #1316341 писал(а):

Собственно, ровно это и нужно проделать, только с числами.
Если вас пугают выкладки с векторами, то махните (пока) на них рукой. В основе очень простой расчёт.

Вы, наверное, хотели, чтобы я посчитал центр масс как точку где будут "уравновешиватся два моменты сил" Что-то такое? Но я решил воспользоватся формулой для центра масс.

-- 30 май 2018, 21:56 --

Munin,

Munin в сообщении #1316371 писал(а):

Вальс обычно танцуют вдоль поверхности Земли В остальном замечаний нет.

Да, точно :)

Munin в сообщении #1316371 писал(а):

Чтобы набрать единицу измерения в формуле, можно использовать \text{ ... }

Точно, спасибо. В латехе так и делаю, а здесь забыл почему-то.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1316374 писал(а):

Вы, наверное, хотели, чтобы я посчитал центр масс как точку где будут "уравновешиватся два моменты сил" Что-то такое? Но я решил воспользоватся формулой для центра масс.

Вам осталось разобраться, что это одно и то же. $\mathbf{R}=\dfrac{\sum m\mathbf{r}}{\sum m}.$

[wrest]

misha.physics в сообщении #1316370 писал(а):

Значит точка центра масс системы лежит внутри Юпитера. Очень близко к его центру масс.

Да, на расстоянии порядка одной тысячной радиуса атома водорода. А значит чтобы ц.м. вышел хотя бы за этот радиус, расстояние до вас надо увеличить в 1000 раз, что сразу даёт ответ на вопрос про вальс, без дополнительных рассчетов Ну а поскольку вы с кафедры астрофизики, то при таком раскладе сразу же скажете, что для смещения ц.м. на радиус атома водорода, вам надо переместиться далеко за пределы солнечной системы.

[misha.physics]

Как-то интересно из моих формул получается. Получается, что смещение ц. м. (при $m_1<<m_2$):

$$|\Delta x_0|\approx\left\lvert\frac{m_1}{m_2}\Delta l\right\rvert$$

не зависит от расстояния $l$ между $m_1$ и $m_2$, а только от смещения $|\Delta l|$ одной из масс.
То есть, неважно на каком расстоянии я буду находится от Юпитера, все-равно если я сделаю один шаг назад (или вперед) на один метр, то ц. м. сместится на величину:

$$|\Delta x_0|\approx\left\lvert\frac{m_1}{m_2}\right\rvert$$

Все верно?

wrest,

wrest в сообщении #1316439 писал(а):

расстояние до вас надо увеличить в 1000 раз

Вы имели ввиду, что в 1000 раз нужно увеличить расстояние $\Delta l$, я правильно понял?

Хотя интуитивно мне казалось, что если мы увеличим расстояние между массами $l$, то после смещения одной из них на расстояние $1\ \text{м}$, то ц. м. сместится уже на большее расстояние чем это было бы если бы $l$ было другим (меньше). Интересно, что формула для $|\Delta x_0|$ не зависит от $l$.

[wrest]

misha.physics в сообщении #1316537 писал(а):

Вы имели ввиду, что в 1000 раз нужно увеличить расстояние $\Delta l$, я правильно понял?

Нет, не правильно. Вы сейчас на Земле. Ц.м. системы вы-Юпитер отстоит от "центра" Юпитера на тысячную долю радиуса атома водорода. Чтобы этот ц.м. вышел за пределы радиуса атома водорода от центра Юпитера, надо увеличить расстояние между вами и им в тысячу раз, т.е. вам придется покинуть солнечную систему.

misha.physics в сообщении #1316537 писал(а):

То есть, неважно на каком расстоянии я буду находится от Юпитера,

Да. Вот есть еще такая детская загадка. Землю обмотали веревкой в один оборот так что мышь не пролезт (между веревкой и Землей). А потом вставили один метр веревки и равномерно растянули. А теперь -- пролезет ли мышь? А кот? А вы пролезете?

-- 31.05.2018, 17:04 --

misha.physics в сообщении #1316537 писал(а):

Интересно, что формула для $|\Delta x_0|$ не зависит от $l$.

А чего тут интересного? Ну смотрите, допустим есть два груза одинаковой массы. Их ц.м. находится ровно посредине между ними. Если вы один груз сместили на метр, ц.м. сместился на полметра. Независимо от того какое расстояние между грузами было.

А, ну если поближе к матану, то производная линейной функции $f(x)=ax+b$ -- константа равная $a$, и она не зависит от переменной $x$.

[misha.physics]

wrest,

wrest в сообщении #1316539 писал(а):

Нет, не правильно. Вы сейчас на Земле. Ц.м. системы вы-Юпитер отстоит от "центра" Юпитера на тысячную долю радиуса атома водорода. Чтобы этот ц.м. вышел за пределы радиуса атома водорода от центра Юпитера, надо увеличить расстояние между вами и им в тысячу раз, т.е. вам придется покинуть солнечную систему.

Я понял. Вы говорите о формуле:

$$x_0\approx\frac{m_1l}{m_2}$$

Понял, спасибо.

-- 31 май 2018, 16:15 --

wrest в сообщении #1316539 писал(а):

Вот есть еще такая детская загадка. Землю обмотали веревкой в один оборот так что мышь не пролезт (между веревкой и Землей). А потом вставили один метр веревки и равномерно растянули. А теперь -- пролезет ли мышь? А кот? А вы пролезете?

У меня получается:

$$\Delta=\frac{1}{2\pi}\approx 0.16\ \text{м}$$

Не уверен, что я пролезу :)

-- 31 май 2018, 16:19 --

wrest в сообщении #1316539 писал(а):

А чего тут интересного? Ну смотрите, допустим есть два груза одинаковой массы. Их ц.м. находится ровно посредине между ними. Если вы один груз сместили на метр, ц.м. сместился на полметра. Независимо от того какое расстояние между грузами было.

Да, понял, хороший пример.

wrest в сообщении #1316539 писал(а):

А, ну если поближе к матану, то производная линейной функции $f(x)=ax+b$ -- константа равная $a$, и она не зависит от переменной $x$.

Да, аналогия может для меня не очень близкая, но уловить что-то можно

-- 31 май 2018, 16:24 --

misha.physics в сообщении #1316542 писал(а):

У меня получается:

$$\Delta=\frac{1}{2\pi}\approx 0.16\ \text{м}$$

Согласен, результат немного поражает. Казалось бы, всего-то один метр добавили, какой это может внести вклад к "большому кругу" Земли.

А, я понял главное, результат не зависит от радиуса Земли. Это ещё больше должно поражать.

[Dragon27]

Так что там с Андромедой и Юпитером, всё-таки?

Munin в сообщении #1316261 писал(а):

Кстати, точка и вправду будет внутри Юпитера. А вот будет ли она внутри Юпитера, если сам Юпитер будет в галактике Андромеды?..

[misha.physics]

Dragon27,

Dragon27 в сообщении #1316577 писал(а):

Так что там с Андромедой и Юпитером, всё-таки?

Если принять, что расстояние между мной и Андромедой (значит и Юпитером): $l\sim 10^{22}\ \text{м}$, то:

$$x_0\sim 10^{-4}\ \text{м}$$

Т. е. точка ц. м. будет все ещё внутри Юпитера.

(Оффтоп)

Кстати, формулы как-то по-разному отображаются, некоторые четко, а некоторые как бы замылено. Уже несколько дней такое замечаю.

И не подскажите, как дать название "Оффтопу"? Чтобы писало не "Оффтоп", а например, "Об отображении формул".