Вопрос о классификации групп (и не только групп)

[xjar1]

Приветствую, помогите разобраться:

В лекциях Вавилова по алгебре упоминается, что "классифицировать все конечные группы невозможно, также невозможно классифицировать все p-группы".
Как это можно соотнести с теоремой Кэли, о том, что любая конечная группа $G$ порядка $n$ изоморфна некоторой подгруппе в $S_n$? Тогда получается, что $G \cong \left\langle \pi_1, \dots , \pi_s \right\rangle$ для некоторых $\pi_i$ из $S_n$.

Также хотелось бы узнать, если какие-либо результаты о классификации колец и полей? (также с точностью до изоморфизма)

[nya]

Это теорема о представлении скорее. Вот ещё одна: любая конечная группа $G$ является группой симметрий некоторого выпуклого полиэдра в $\mathbb{R}^{|G|}$. Под классификацией хотелось бы понимать некоторый список всех конечных групп, некоторые строчки которого, возможно, параметризуются каким-то параметром, а не просто то, что они реализуются как подгруппы где-то там.

Про конечные поля известно почти всё.

О классификации всех конечных колец неизвестно почти ничего. Даже в коммутативном случае, там, снова же, есть некоторые частичные результаты о их структуре, вроде того, что они раскладываются в прямую сумму локальных, на каждой локальной есть естественная фильтрация по степеням максимального идеала, и понятно как будет устроено градуированное относительно этой фильтрации кольцо.

[Munin]

nya в сообщении #1315346 писал(а):

Вот ещё одна: любая конечная группа $G$ является группой симметрий некоторого выпуклого полиэдра в $\mathbb{R}^{|G|}$.

Ого! А его известно как конструктивно построить?

nya в сообщении #1315346 писал(а):

Под классификацией хотелось бы понимать некоторый список всех конечных групп, некоторые строчки которого, возможно, параметризуются каким-то параметром, а не просто то, что они реализуются как подгруппы где-то там.

Ну, мне кажется, если при этом будут явно перечислены все подгруппы этого "где-то там", задача будет решена?

[nya]

Munin в сообщении #1315384 писал(а):

Ого! А его известно как конструктивно построить?

Да, конструкция очень явная: https://mathoverflow.net/a/15903/54337

Munin в сообщении #1315384 писал(а):

Ну, мне кажется, если при этом будут явно перечислены все подгруппы этого "где-то там", задача будет решена?

Зависит от способа описания конечно, но Вавилов имел в виду, что нету столь же явного описания как в случае с простыми конечными группами. Ну и подгруппы в какой-нибудь группе обычно классифицируют с точностью до сопряжения, а группы в каком-нибудь классе групп - с точностью до изоморфизма.

[xjar1]

Munin в сообщении #1315384 писал(а):

Ну, мне кажется, если при этом будут явно перечислены все подгруппы этого "где-то там", задача будет решена?

Я как раз об этом и думал, ведь по аналогии с классификацией простых конечных групп

Цитата:

Любая конечная простая группа либо $C_p$, либо $A_n$, $n>4$, либо группа типа Ли, либо одна из 26 спорадических групп

Можно рассматривать следующую классификацию

Цитата:

Любая конечная группа изоморфна одной из:
1. $\{1\}$
2. $\{1\}$, $S_2$
3. $\{1\}$, $\{()(2,3)\}$, $\{()(1,3)\}$,$\{()(1,2)\}$, $A_n$, $S_3$
4. Подгруппы в $S_4$
5. Подгруппы в $S_5$
...

[Munin]

nya в сообщении #1315397 писал(а):

Munin в сообщении #1315384 писал(а):

Ого! А его известно как конструктивно построить?

Да, конструкция очень явная: https://mathoverflow.net/a/15903/54337

Спасибо! Надо вчитаться.

[g______d]

xjar1 в сообщении #1315400 писал(а):

Можно рассматривать следующую классификацию

Можно, но только нужно ещё научиться вычёркивать из неё группы, изоморфные уже выписанным.

[nya]

Это описание более-менее эквивалентно описанию вида "запустим алгоритм перебирающий все конечные таблицы умножения, и каждую найденную таблицу, удовлетворяющую условиям ассоциативности, будем выписывать". Оно не говорит ничего нового и ничего не проясняет: если некоторый класс объектов задается конечным набором информации то всегда почти можно написать алгоритм который перебирает все мыслимые наборы информации и проверяет, задает ли данный набор информации объект из этого самого класса. Описать все простые объекты это уже огромное достижение, потому что любой другой объект получается просто конечным числом операции "расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$ поэтому описание простых групп в некотором смысле проясняет то, как устроены все группы.

[vpb]

xjar1
Соотносится с теоремой Кэли так. Представьте, что Вы захотели, с помощью этой теоремы, классифицировать все группы порядка 30 (что на самом деле очень просто). Вы знаете, что любая такая группа является подгруппой в $S_{30}$. И вот мы решили написать программу для компьютера, чтоб она нам перечислила все подгруппы в $S_{30}$ (пусть даже с точностью до некоторой эквивалентности, называемой "изоморфизм групп подстановок"). ... А как конкретно ? Если немного над этим подумать, то увидите, что --- никак, тупик ! В силу огромного объема вычислений. Вот так и соотносится. В принципе можно, а в реальности нельзя. (На самом деле перечислить все подгруппы в $S_{30}$ с точностью до изоморфизма групп подстановок можно, но при этом, наоборот, надо опираться на их структуру как абстрактных групп.)

[vpb]

И кстати.

nya в сообщении #1315409 писал(а):

"расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$ поэтому

Несколько странное утверждение. Не затруднитесь ли привести точную формулировку ?

[g______d]

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_ext ... on_problem

-- Вс, 27 май 2018 16:43:01 --

Только $\mathrm{Ext}$ вообще говоря не группа, конечно.

[vpb]

g______d в сообщении #1315446 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_ext ... on_problem

Я, с Вашего позволения, хотел бы получить ответ непосредственно от nya

Цитата:

Только $\mathrm{Ext}$ вообще говоря не группа, конечно.

Что Вы имеете в виду данным утверждением ?

[g______d]

vpb в сообщении #1315448 писал(а):

Простите ?

В смысле что $\mathrm{Ext}(H_1,H_2)$ обозначает множество классов эквивалентных расширений (т. е. коротких точных последовательностей, определенных выше, с некоторым естественным отношением эквивалентности), и на этом множестве, вообще говоря, нет естественной структуры группы если $H_1$, $H_2$ не абелевы.

Против ожидания ответа от nya я, конечно, не возражаю, но мне кажется, что в последней фразе абзаца по ссылке довольно точно сформулировано

Цитата:

The classification of finite simple groups gives us a complete list of finite simple groups; so the solution to the extension problem would give us enough information to construct and classify all finite groups in general.

Разумеется, никто не говорит, что эта "extension problem" тривиальна, скорее наоборот.

[nya]

Классы эквивалентности расширений $0 \to K \to H \to G \to 0$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с множеством $H^2_{nonab} (G,K):= \{\mathbf{B}G \to \mathbf{B}Aut(K)\}/\text{homotopy equiv}$

[g______d]

Ну так это не группа, а множество с отмеченной точкой.