Вопрос о классификации групп (и не только групп)

[vpb]

g______d в сообщении #1315449 писал(а):

В смысле что $\mathrm{Ext}(H_1,H_2)$ обозначает

Если не секрет, в какой книжке используется такое обозначение ? И что Вы имеете в виду под

g______d в сообщении #1315449 писал(а):

коротких точных последовательностей, определенных выше

коли уж Вы взялись отвечать ?

[nya]

g______d в сообщении #1315454 писал(а):

Ну так это не группа, а множество с отмеченной точкой.
Ну так это не группа, а множество с отмеченной точкой.

это да, по инерции группой назвал, потому что привык к абелевым контекстам

[vpb]

nya в сообщении #1315453 писал(а):

Классы эквивалентности расширений $0 \to K \to H \to G \to 0$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с множеством $H^2_{nonab} (G,K):= \{\mathbf{B}G \to \mathbf{B}Aut(K)\}/\text{homotopy equiv}$

Это совсем не то, что я Вас просил пояснить. Я просил пояснить фразу

nya в сообщении #1315409 писал(а):

"расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$

[nya]

Нижняя фраза - это менее аккуратная формулировка верхней фразы.

[vpb]

Отнюдь. В этих двух фразах вообще используются разные понятия, и все такое прочее. Верхняя фраза --- это что-то из алгебраической топологии, про классифицирующие пространства (я, прямо скажем, не знаю, что это такое) и т.д.
А нижняя -- использует, по видимости, чисто алгебраические понятия. Вот я Вас и просил аккуратно сформулировать нижнюю.

[g______d]

vpb в сообщении #1315455 писал(а):

И что Вы имеете в виду под

В статье вики по ссылке, как мне кажется, довольно подробно описано отношение эквивалентности на точных последовательностях. Или Вам нужно определение точной последовательности?

См. также Браун, "Когомологии групп" глава IV параграф 1 (определение расширения и отношения эквивалентности) или Маклейн "Гомология" глава IV параграф 3.

Используется ли где-то обозначение $\mathrm{Ext}$ для множества классов эквивалентности всех расширений в неабелевом случае -- я с ходу не знаю, но не уверен, что это принципиальный момент.

[nya]

Значок $Ext^1$ буквально используют как замену длинного словосочетания "классы эквивалентности всех расширений" где "расширение" понимается соответствующим контексту образом. Всё что я хотел донести, что есть высокая алгебраическая теория, которая иногда довольно задёшево даёт препятствия к существованию каких-то расширений, а в хороших случаях позволяет вообще все их посчитать - если расширение центральное, скажем.

[g______d]

vpb, ещё посмотрите Rotman, Introduction to the Theory of Groups, глава 7.

Там странице 155 написано

Цитата:

We could thus survey all finite groups if we knew all finite simple groups and if we could solve the extension problem.

Указанная теорема про соответствие между классами эквивалентных расширений и 2-коциклами -- это теорема 7.34.

-- Вс, 27 май 2018 18:56:42 --

vpb в сообщении #1315459 писал(а):

классифицирующие пространства (я, прямо скажем, не знаю, что это такое)

Один из способов определить когомологии групп (это чисто алгебраический объект) -- как раз через классифицирующие пространства.

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_coh ... ying_space

Если нужны ссылки на конкретные места из книг, я могу привести.

Когомологии групп (а именно, $H^2$) фигурируют в вышецитированной теореме 7.34.

[Munin]

Я несколько отстал от разговора.

И у меня ещё вопрос, может быть, в сторону. Я до недавнего времени думал, что есть прямые произведения и полупрямые произведения групп, но наткнулся на ещё более "кривые" варианты произведений. Во-первых, как я понял, короткая точная последовательность может не быть даже полупрямым произведением. Во-вторых, наткнулся на какой-то wreath product.

Где всё это почитать на элементарном уровне? Мой уровень сложности - Кострикин максимум.

[nya]

Тут например

https://math.stackexchange.com/question ... t-products

https://math.stackexchange.com/question ... extensions

Wreath выглядит очень специальной конструкцией, не думаю что она имеет какое-то важное общетеоретическое значение.

[Munin]

Кажется, она мне попалась, когда я перебирал примеры малых конечных групп ("малых" в бытовом смысле - перечисленных в https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups ). Или вру, там только полупрямое.

Спасибо за ссылки!

-- 28.05.2018 17:11:40 --

Скажем так. На этих примерах конечных групп я могу легко поупражняться и разобраться в структуре групп, являющихся полупрямыми произведениями. Например,
- группы диэдра $\mathrm{Dih}_n\cong Z_n\rtimes Z_2,$ где $Z_2$ действует инверсиями;
- отдельные группы $G_{12}^1\cong Z_3\rtimes Z_4,\quad G_{21}^1\cong Z_7\rtimes Z_3,\quad G_{24}^1\cong Z_3\rtimes Z_8,\ldots$
Можно ли в этом же списке указать группы, являющиеся примерами расширений, но не полупрямых произведений?

[nya]

Munin в сообщении #1315562 писал(а):

Можно ли в этом же списке указать группы, являющиеся примерами расширений, но не полупрямых произведений?

$Z_2 \to Z_4 \to Z_2$ подойдёт.

[Munin]

Спасибо! Буду читать пояснения, оглядываясь на этот пример.

[vpb]

g______d в сообщении #1315460 писал(а):

В статье вики по ссылке, как мне кажется, довольно подробно описано отношение эквивалентности на точных последовательностях. Или Вам нужно определение точной последовательности?

См. также Браун, "Когомологии групп" глава IV параграф 1 (определение расширения и отношения эквивалентности) или Маклейн "Гомология" глава IV параграф 3.

Используется ли где-то обозначение $\mathrm{Ext}$ для множества классов эквивалентности всех расширений в неабелевом случае -- я с ходу не знаю, но не уверен, что это принципиальный момент.

Спасибо, но, боюсь, Вы меня неправильно поняли. Я не просил снабдить меня общими ссылками относительно теории расширений групп, на книжки или Интернет-ресурсы, так как мне этот предмет до некоторой степени неплохо известен. Я спрашивал, каков точный смысл и точная формулировка некоего предложения из поста nya. Я даже намекал, что это предложение ошибочно, но этот намек не был понят. Видите ли Вы сейчас, в чем там ошибка ? (Вы, насколько я понимаю, специалист, и где там ошибка, должно быть очевидным, имхо.)

[g______d]

vpb в сообщении #1315621 писал(а):

Я спрашивал, каков точный смысл и точная формулировка некоего предложения из поста nya.

Я привёл два места, где эта точная формулировка приведена. Сомневаюсь, что имелось в виду что-то другое.

vpb в сообщении #1315621 писал(а):

Видите ли Вы сейчас, в чем там ошибка ?

Про одну я уже сказал (не группа). Вторая в словах "по подгруппе" (правильно "расширение группы $H_2$ при помощи $H_1$", или наоборот). Ну и после одной такой операции $H_1$ перестанет быть простой, но это скорее неточность.