2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 16:07 


02/12/16
60
Приветствую, помогите разобраться:

В лекциях Вавилова по алгебре упоминается, что "классифицировать все конечные группы невозможно, также невозможно классифицировать все p-группы".
Как это можно соотнести с теоремой Кэли, о том, что любая конечная группа $G$ порядка $n$ изоморфна некоторой подгруппе в $S_n$? Тогда получается, что $G \cong \left\langle \pi_1, \dots , \pi_s \right\rangle$ для некоторых $\pi_i$ из $S_n$.

Также хотелось бы узнать, если какие-либо результаты о классификации колец и полей? (также с точностью до изоморфизма)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 17:10 


17/04/18
143
Это теорема о представлении скорее. Вот ещё одна: любая конечная группа $G$ является группой симметрий некоторого выпуклого полиэдра в $\mathbb{R}^{|G|}$. Под классификацией хотелось бы понимать некоторый список всех конечных групп, некоторые строчки которого, возможно, параметризуются каким-то параметром, а не просто то, что они реализуются как подгруппы где-то там.

Про конечные поля известно почти всё.

О классификации всех конечных колец неизвестно почти ничего. Даже в коммутативном случае, там, снова же, есть некоторые частичные результаты о их структуре, вроде того, что они раскладываются в прямую сумму локальных, на каждой локальной есть естественная фильтрация по степеням максимального идеала, и понятно как будет устроено градуированное относительно этой фильтрации кольцо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nya в сообщении #1315346 писал(а):
Вот ещё одна: любая конечная группа $G$ является группой симметрий некоторого выпуклого полиэдра в $\mathbb{R}^{|G|}$.

Ого! А его известно как конструктивно построить?

nya в сообщении #1315346 писал(а):
Под классификацией хотелось бы понимать некоторый список всех конечных групп, некоторые строчки которого, возможно, параметризуются каким-то параметром, а не просто то, что они реализуются как подгруппы где-то там.

Ну, мне кажется, если при этом будут явно перечислены все подгруппы этого "где-то там", задача будет решена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 20:22 


17/04/18
143
Munin в сообщении #1315384 писал(а):
Ого! А его известно как конструктивно построить?

Да, конструкция очень явная: https://mathoverflow.net/a/15903/54337

Munin в сообщении #1315384 писал(а):
Ну, мне кажется, если при этом будут явно перечислены все подгруппы этого "где-то там", задача будет решена?

Зависит от способа описания конечно, но Вавилов имел в виду, что нету столь же явного описания как в случае с простыми конечными группами. Ну и подгруппы в какой-нибудь группе обычно классифицируют с точностью до сопряжения, а группы в каком-нибудь классе групп - с точностью до изоморфизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 20:29 


02/12/16
60
Munin в сообщении #1315384 писал(а):
Ну, мне кажется, если при этом будут явно перечислены все подгруппы этого "где-то там", задача будет решена?

Я как раз об этом и думал, ведь по аналогии с классификацией простых конечных групп
Цитата:
Любая конечная простая группа либо $C_p$, либо $A_n$, $n>4$, либо группа типа Ли, либо одна из 26 спорадических групп

Можно рассматривать следующую классификацию
Цитата:
Любая конечная группа изоморфна одной из:
1. $\{1\}$
2. $\{1\}$, $S_2$
3. $\{1\}$, $\{()(2,3)\}$, $\{()(1,3)\}$,$\{()(1,2)\}$, $A_n$, $S_3$
4. Подгруппы в $S_4$
5. Подгруппы в $S_5$
...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nya в сообщении #1315397 писал(а):
Munin в сообщении #1315384 писал(а):
Ого! А его известно как конструктивно построить?

Да, конструкция очень явная: https://mathoverflow.net/a/15903/54337

Спасибо! Надо вчитаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
xjar1 в сообщении #1315400 писал(а):
Можно рассматривать следующую классификацию


Можно, но только нужно ещё научиться вычёркивать из неё группы, изоморфные уже выписанным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение27.05.2018, 20:43 


17/04/18
143
Это описание более-менее эквивалентно описанию вида "запустим алгоритм перебирающий все конечные таблицы умножения, и каждую найденную таблицу, удовлетворяющую условиям ассоциативности, будем выписывать". Оно не говорит ничего нового и ничего не проясняет: если некоторый класс объектов задается конечным набором информации то всегда почти можно написать алгоритм который перебирает все мыслимые наборы информации и проверяет, задает ли данный набор информации объект из этого самого класса. Описать все простые объекты это уже огромное достижение, потому что любой другой объект получается просто конечным числом операции "расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$ поэтому описание простых групп в некотором смысле проясняет то, как устроены все группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 00:46 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
xjar1
Соотносится с теоремой Кэли так. Представьте, что Вы захотели, с помощью этой теоремы, классифицировать все группы порядка 30 (что на самом деле очень просто). Вы знаете, что любая такая группа является подгруппой в $S_{30}$. И вот мы решили написать программу для компьютера, чтоб она нам перечислила все подгруппы в $S_{30}$ (пусть даже с точностью до некоторой эквивалентности, называемой "изоморфизм групп подстановок"). ... А как конкретно ? Если немного над этим подумать, то увидите, что --- никак, тупик ! В силу огромного объема вычислений. Вот так и соотносится. В принципе можно, а в реальности нельзя. (На самом деле перечислить все подгруппы в $S_{30}$ с точностью до изоморфизма групп подстановок можно, но при этом, наоборот, надо опираться на их структуру как абстрактных групп.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 02:28 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
И кстати.
nya в сообщении #1315409 писал(а):
"расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$ поэтому

Несколько странное утверждение. Не затруднитесь ли привести точную формулировку ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 02:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_ext ... on_problem

-- Вс, 27 май 2018 16:43:01 --

Только $\mathrm{Ext}$ вообще говоря не группа, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 03:00 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
g______d в сообщении #1315446 писал(а):
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_ext ... on_problem

Я, с Вашего позволения, хотел бы получить ответ непосредственно от nya
Цитата:
Только $\mathrm{Ext}$ вообще говоря не группа, конечно.

Что Вы имеете в виду данным утверждением ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vpb в сообщении #1315448 писал(а):
Простите ?


В смысле что $\mathrm{Ext}(H_1,H_2)$ обозначает множество классов эквивалентных расширений (т. е. коротких точных последовательностей, определенных выше, с некоторым естественным отношением эквивалентности), и на этом множестве, вообще говоря, нет естественной структуры группы если $H_1$, $H_2$ не абелевы.

Против ожидания ответа от nya я, конечно, не возражаю, но мне кажется, что в последней фразе абзаца по ссылке довольно точно сформулировано

Цитата:
The classification of finite simple groups gives us a complete list of finite simple groups; so the solution to the extension problem would give us enough information to construct and classify all finite groups in general.


Разумеется, никто не говорит, что эта "extension problem" тривиальна, скорее наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 03:31 


17/04/18
143
Классы эквивалентности расширений $0 \to K \to H \to G \to 0$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с множеством $H^2_{nonab} (G,K):= \{\mathbf{B}G \to \mathbf{B}Aut(K)\}/\text{homotopy equiv}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 03:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну так это не группа, а множество с отмеченной точкой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group