Yarkin писал(а):
Поэтому я и предложил записать, чтобы Вы убедились, что это невозможно. Практика проверяет теоретические рассуждения
Вспомним, с чего всё началось (стр. 4)
Yarkin писал(а):
AD писал(а):
Вот
Yarkin о ней много знает.
*
Математика
не занимается "научным изучением реально существующего объекта
".
С потолка взяли? Попробуйте записать "нуль" и "бесконечность" в тригонометрической форме комплексного числа. И исе станет понятно.
Здесь Вы вроде как возражаете против утверждения г-на
AD, о том что матем-ка не изучает бесконечность как "реально существующий объект".
Не так ли, г-н Yarkin ? А теперь вдруг оказывается, что всё наоборот...
Ну и что такого "криминального" в том, что "объект" по имени бесконечность нельзя записать в тригонометрической форме КЧ? Чем вас не устраивает общепринятое изображение этого "объекта", т.е.
?
Неужели запись не позволяет заниматься его(её) изучением?
Вот
AD правильно писал, что
<< В символ
разные разделы математики вкладывают разный смысл. >>
Бесконечности самой по себе не бывает, это обязательно бесконечность "чего-то", например, колич-ва элементов множ-ва. То есть, бесконечность это не "объект", а концепция, подход...
___________________________
А теперь попробуем ответить на "детский вопрос" автора топика о том, можно ли
"увеличить бесконечность" прибавляя к ней 1.
Как мы помним (стр.4) бесконечность бывает потенциальной и актуальной.
Что с ними произойдёт при "прибавлении" единицы?
Вспомним, как можно сравнивать множ-ва, содержащие бесконечное количество элементов.
Как известно, в теории множеств равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов. Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.
Различные элементы какого-либо множества имеют и разные имена. Процедура пересчета элементов множ-ва по существу есть присвоение каждому элементу множества некого уникального имени-номера. В случае конечных множеств пересчет всегда заканчивается присвоением номера некоторому «последнему» элементу множества. Таким образом, конечные множ-ва можно сравнивать по номерам их последних элементов.
В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе. Для сравнения «объема» таких множеств вместо счета применяется процедура взаимно однозначного соответствия (отображения). Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.
Выделим из бесконечного множ-ва натуральных чисел N подмнож-во четных чисел и установим между его элементами и элементами всего множ-ва N
1-1 соответствие по правилу 2n <--> n
Как мы видим, в подмнож-ве четных чисел отсутствуют некоторые элементы(нечетные числа), которые есть во всём множ-ве N.
Т.е., так же как и в случае конечных множеств, «часть» входит в состав «целого»
и «не равна» целому.
Но наша процедура «пересчета» элементов бесконечного множества этот факт «качественной неэквивалентности» множеств не отражает: вместо отсутствующих элементов номера-имена получают «следующие» за ними элементы, которые в силу отсутствия «последнего элемента» всегда находятся.
Таким образом, «парадокс» бесконечных множеств – «часть равна целому» связан с выбором противоречивых критериев «равенства» множеств, то бишь, связан с различием целевых установок.
С содержательной точки зрения бесконечное подмнож-во четных чисел неэквивалентно всему множ-ву, так как элементы этих множеств разные по свойствам.
А вот с точки зрения 1-1 соответствия эти множ-ва эквивалентны, равномощны.
Создатель "наивной" теории множеств Г. Кантор отмечал, что «существенное различие между конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множ-во представляет одно и то же количество для любой последовательности, которую можно придать его элементам. Наоборот, множ-ву, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности, придаваемой элементам».