Бесконечность и пара вопросов о ней

[Профессор Снэйп]

shwedka писал(а):

Профессор Снэйп

Цитата:

Рассмотрим функцию $y(x) = \sqrt{x}$, определённую на всех неотрицательных действительных числах. У неё правая производная в нуле равна бесконечности.

производная в нуле, как меня учили, у этой функции не существует.
Кто не согласен, плиз, приведите определение произеодной и вычисления.

Определение. Правой производной функции $f$ в точке $x_0$ называется предел

$$ \lim_{x \to x_0 + 0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} $$

Здесь предел равен $+\infty$.

[shwedka]

Профессор Снэйп
А теперь вспомните определение предела
Ну, хотя бы на языке $\epsilon-\delta$
Я к тому, что в жаргонном

Цитата:

предел равен $+\infty$.

ни одно слово не употребляется в обычном смысле.
Не то, что об'ект, обозначаемый первым словом равен об'екту, обозначаемому третьим словом.

[arqady]

sergmirdin писал(а):

Цитата:

А Вы вообще определение окружности знаете?

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром.

Brukvalub писал(а):

Narn писал(а):

Brukvalub, а что не так с центром?

Не хватает требования: центр является точкой той же плоскости, в которой берется г.м.т.

Кроме замечния Brukvalub в определении данном sergmirdin есть ещё по крайней мере две ошибки.

[Профессор Снэйп]

shwedka писал(а):

Профессор Снэйп
А теперь вспомните определение предела
Ну, хотя бы на языке $\epsilon-\delta$

$$ (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x > x_0)\left( x - x_0 < \delta \rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > \varepsilon\right) $$

Жаргон-то оно, конечно, жаргон. Но в математике всё жаргон.

Если разобраться, то написано, что для любой окрестности точки $+\infty$ её прообраз содержит некоторую правую окрестность точки $x_0$. Раз окрестность берётся от фиксированной точки $\overline{\mathbb{R}}$, то вроде как бесконечность актуальная. Но с другой стороны, раз предел, то мы фактически для любого сколь угодно большого $\varepsilon$ находим подходящее $\delta$ и бесконечность потенциальная. Муть, конечно, но... Боюсь, что все философские рассуждения про актуальную и потенциальную бесконечности --- это изначально муть, которую в принципе невозможно очистить и сделать прозрачной. И мне интересно, как бы Кантор тут рассудил.

Вот Yarkin ход мысли Кантора где-то понимает (ибо он, похоже, в большей степени философ, чем математик, то есть человек, приспособленный ловить рыбку смысла в мутной воде метафизики). Пусть он скажет за Кантора-философа (Кантор-математик --- это совсем другая тема, за него он пусть лучше помолчит )

[ewert]

shwedka писал(а):

А теперь вспомните определение предела
Ну, хотя бы на языке $\epsilon-\delta$

Запросто. Только, с Вашего позволения, для другой степени -- исключительно для того, чтоб не возиться с односторонними окрестностями:

$$\left.{dx^{1/3}\over dx}\right\vert_{x=0}\equiv\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{x^{1/3}-0^{1/3}\over x}=\infty\ \Longleftrightarrow\ (\forall\varepsilon>0)\ \exists\delta>0:\ (\forall x\in N_{\delta}(0))\quad {x^{1/3}-0^{1/3}\over x}\in N_{\varepsilon}(\infty})$$

,

где под $N_r(z)$ понимается окрестность точки $z$ радиуса $r$.

[shwedka]

Все хорошо, но, повторю, выражение типа

$$\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{x^{1/3}-0^{1/3}\over x}=\infty$$

не служит равенством числа слева числу справа, а есть жаргонное выражение отношения. Неразделимое.В отличие от

$$\mathop{\lim}\limits_{x\to}{x^{33}-1^{33}\over x}=33,$$

где лев. и прав. части существуют самостоятельно.

[Yarkin]

Captious писал(а):

Ну и каким образом совместить эти два утверждения?
С одной стороны, нуль и бесконечность (как объекты) не поддаются изображению в тригонометрической форме КЧ, а с другой - предлагаете записать эти же "объекты" в тригонометрической форме КЧ и тогда всё станет понятно...

Поэтому я и предложил записать, чтобы Вы убедились, чо это невозможно. Практика прверяет теоретические рассуждения

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

Вот Yarkin ход мысли Кантора где-то понимает (ибо он, похоже, в большей степени философ, чем математик, то есть человек, приспособленный ловить рыбку смысла в мутной воде метафизики). Пусть он скажет за Кантора-философа (Кантор-математик --- это совсем другая тема, за него он пусть лучше помолчит )

Еще один разобравшийся в Яркине, но не ответивший ни на один его вопрос.

[ewert]

shwedka писал(а):

Все хорошо, но, повторю, выражение типа

$$\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{x^{1/3}-0^{1/3}\over x}=\infty$$

не служит равенством числа слева числу справа, а есть жаргонное выражение отношения.

Вовсе не обязательно жаргонное. Бесконечность -- конечно, не число, но вполне определённый элемент "расширенной числовой прямой". И он именно равен, в буквальном смысле, пределу слева. Вы ведь не стали обзывать жаргонизмом то, что $N_{\varepsilon}(\infty)$ я назвал "окрестностью"?

Другой вопрос, что всё это можно назвать игрой словами. Но она полезна, т.к. помогает унифицировать разные формулировки.

[AGu]

shwedka писал(а):

Все хорошо, но, повторю, выражение типа

$$\mathop{\lim}\limits_{x\to0}{x^{1/3}-0^{1/3}\over x}=\infty$$

не служит равенством числа слева числу справа, а есть жаргонное выражение отношения.

Верно, так как либо (а) в этом выражении слева и справа стоят не числа, либо (б) левая и правая части этого выражения вообще не имеют самостоятельного смысла.

Присоединяюсь к мнению ewert. Упомянутое выражение запросто может стать равенством объектов (множеств), если не полениться и таки придать самостоятельный смысл символу $\infty$ (а также, разумеется, не обделить смыслом и левую часть). На этом пути обычно ${-}\infty$ и ${+}\infty$ четко не определяют и просто говорят, что, мол, зафиксируем какие-нибудь множества ${-}\infty$ и ${+}\infty$, не являющиеся числами (т.е. не принадлежащие ${\mathbb R}$), положим $\overline{\mathbb R}:={\mathbb R}\cup\{{-}\infty,{+}\infty\}$ и распространим топологию с ${\mathbb R}$ на $\overline{\mathbb R}$, объявив окрестностями ${+}\infty$ множества, содержащие подмножества вида $\{x\in{\mathbb R} : x>a\}$, $a\in{\mathbb R}$ (аналогично для ${-}\infty$). При желании ${-}\infty$ и ${+}\infty$ можно четко определить, причем как именно это сделать -- совершенно неважно, лишь бы ${-}\infty$ и ${+}\infty$ были различны и не оказались числами. Например, можно положить ${-}\infty := {\mathbb R}$, ${+}\infty := {\mathbb R}^{\mathbb R}$ (включаем фантазию).

[Captious]

Yarkin писал(а):

Поэтому я и предложил записать, чтобы Вы убедились, что это невозможно. Практика проверяет теоретические рассуждения

Вспомним, с чего всё началось (стр. 4)

Yarkin писал(а):

AD писал(а):

Вот Yarkin о ней много знает. *

Математика не занимается "научным изучением реально существующего объекта $\infty$".

С потолка взяли? Попробуйте записать "нуль" и "бесконечность" в тригонометрической форме комплексного числа. И исе станет понятно.

Здесь Вы вроде как возражаете против утверждения г-на AD, о том что матем-ка не изучает бесконечность как "реально существующий объект".
Не так ли, г-н Yarkin ? А теперь вдруг оказывается, что всё наоборот...
Ну и что такого "криминального" в том, что "объект" по имени бесконечность нельзя записать в тригонометрической форме КЧ? Чем вас не устраивает общепринятое изображение этого "объекта", т.е. $\infty$?
Неужели запись не позволяет заниматься его(её) изучением?
Вот AD правильно писал, что
<< В символ $\infty$ разные разделы математики вкладывают разный смысл. >>
Бесконечности самой по себе не бывает, это обязательно бесконечность "чего-то", например, колич-ва элементов множ-ва. То есть, бесконечность это не "объект", а концепция, подход...
___________________________
А теперь попробуем ответить на "детский вопрос" автора топика о том, можно ли
"увеличить бесконечность" прибавляя к ней 1.
Как мы помним (стр.4) бесконечность бывает потенциальной и актуальной.
Что с ними произойдёт при "прибавлении" единицы?
Вспомним, как можно сравнивать множ-ва, содержащие бесконечное количество элементов.
Как известно, в теории множеств равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов. Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.
Различные элементы какого-либо множества имеют и разные имена. Процедура пересчета элементов множ-ва по существу есть присвоение каждому элементу множества некого уникального имени-номера. В случае конечных множеств пересчет всегда заканчивается присвоением номера некоторому «последнему» элементу множества. Таким образом, конечные множ-ва можно сравнивать по номерам их последних элементов.
В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе. Для сравнения «объема» таких множеств вместо счета применяется процедура взаимно однозначного соответствия (отображения). Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.
Выделим из бесконечного множ-ва натуральных чисел N подмнож-во четных чисел и установим между его элементами и элементами всего множ-ва N
1-1 соответствие по правилу 2n <--> n
Как мы видим, в подмнож-ве четных чисел отсутствуют некоторые элементы(нечетные числа), которые есть во всём множ-ве N.
Т.е., так же как и в случае конечных множеств, «часть» входит в состав «целого»
и «не равна» целому.
Но наша процедура «пересчета» элементов бесконечного множества этот факт «качественной неэквивалентности» множеств не отражает: вместо отсутствующих элементов номера-имена получают «следующие» за ними элементы, которые в силу отсутствия «последнего элемента» всегда находятся.
Таким образом, «парадокс» бесконечных множеств – «часть равна целому» связан с выбором противоречивых критериев «равенства» множеств, то бишь, связан с различием целевых установок.
С содержательной точки зрения бесконечное подмнож-во четных чисел неэквивалентно всему множ-ву, так как элементы этих множеств разные по свойствам.
А вот с точки зрения 1-1 соответствия эти множ-ва эквивалентны, равномощны.

Создатель "наивной" теории множеств Г. Кантор отмечал, что «существенное различие между конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множ-во представляет одно и то же количество для любой последовательности, которую можно придать его элементам. Наоборот, множ-ву, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности, придаваемой элементам».

[AD]

Captious писал(а):

Как мы помним (стр.4) бесконечность бывает потенциальной и актуальной.

Как мы помним, никто из тех, кто делал на нашем форуме такое заявление, не удосужился привести определение того и другого.

[Yarkin]

Captious писал(а):

Здесь Вы вроде как возражаете против утверждения г-на AD, о том что матем-ка не изучает бесконечность как "реально существующий объект".
Не так ли, г-н Yarkin ?

Именно так. Любой реально существующий объект имеет модель. Ничего и его обратная сущность никаких моделей не имеют.

[AD]

Yarkin ... ваше последнее и предпоследнее предложения как-то относятся к предпредпоследнему и к приведенной цитате? Кто там есть кто?

[Captious]

AD писал(а):

Captious писал(а):

Как мы помним (стр.4) бесконечность бывает потенциальной и актуальной.
Как мы помним, никто из тех, кто делал на нашем форуме такое заявление, не удосужился привести определение того и другого.

А чем вас не устраивают определения самого Г. Кантора, которые процитированы на стр.4 этого топика?
_________________

Yarkin писал(а):

Любой реально существующий объект имеет модель. Ничего и его обратная сущность никаких моделей не имеют.

Наверняка вы имеете в виду математические модели? Не так ли?
Повторяю: бесконечность это не "объект" или "ничего"...
Можно сказать что это есть математическая модель, которая как и все матмодели получается в результате абстрагирования, идеализации и формализации свойств и отношений реальных объектов .
И некоторые объекты реальности вполне можно с определенной погрешностью считать интерпретацией такой модели.
Загляните хотя бы в учебник физики - там очень часто "достаточно большое" считается "бесконечным"...

[AD]

Captious писал(а):

А чем вас не устраивают определения самого Г. Кантора, которые процитированы на стр.4 этого топика? Shocked

Это не определения, а бессмысленное размахивание руками. Для Кантора сойдет, а для этого, как вы его там, "конструктивного обсуждения" совершенно несъедобно. Если вы считаете их "вполне четкими" - пожалуйста, выпишите здесь перевод на какой-нибудь понятный язык, например, в терминах ZFC.