Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[vpb]

Mikhail_K
Спасибо за разъяснение насчет ТеХа. А будут ли представлять сложность задачи, это и посмотрим.


irod
Просмотрел я вновь книжку Гельфанда-Шеня. Интересно, но, видимо, даже обычный школьный курс, а тем более для профильных классов, содержит больше материала.

Вот еще несколько задач.

7) Решить неравенство $|x-1|+|x+3|\leq6$.

8) Какова вероятность того, что случайным образом выбранное натуральное
число из интервала $(5{,}9; 47{,}1)$ делится на 3 ?

9) Найдите $A\cap B$, где $A=(-\infty; 0)$, $B=[-1; +\infty)$.

10) Числа $a$ и $b$ таковы, что система двух уравнений

$$\begin{equation} \begin{cases} 3x+ay=8 \\ (2a+1)x+12y=b \end{cases} \notag \end{equation}$$

имеет бесконечное множество решений. Найти $a$ и $b$ (перечислить все возможности).


11) Найти площадь множества точек на координатной плоскости, удовлетворящих системе неравенств

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

12) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда относятся как $2:3:5$, а площадь поверхности равна $248$. Найти длины ребер.

13) Разложите не множители $x^6y^5-y^8+2x^6-2y^3$.

14) Решить уравнение $x^3-x^2-4x+4=0$.

15) Известно, что $x+y=5$ и $xy=-3$. Найти $x^4+y^4$.

16) Решить уравнение

$$ \frac{x^3-x^2}{x-1}=-2x+3 .$$

17) Решить систему

$$ \begin{equation} \begin{cases} 9y^2-6xy-5x+x^2+15y=0 \\ 3x-4y=20 \end{cases} \notag \end{equation} $$

18) При каких значениях $x$ и $y$ многочлен $x^2+2xy-3y^2-5x-y+1$ принимает наибольшее значение, при дополнительном условии, что $x+y=1$ ?

(это не всё)

[vpb]

Еще несколько задачек, пожалуй.

19) Решить уравнение $x^6+9x^5+27x^4+27x^3=0$.

20) При каких значениях $m$ и $n$ соотношение $(x^2x^m)^n=(x^3x^n)^m:x^6$ --- тождество ?

21) Решить уравнение

$$ \frac{x+2}{2x+1}+\frac{ax+3}{x+1}=5, $$

где $a$ --- параметр.

22) Найдите область существования выражения $3((x^0-(x-1)^{-1})^0-x)^{-1}$.

23) Решить уравнение

$$ \sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7. $$

Пока хватит. (Особо хороший тест составить у меня, видно, не получится.)

[Munin]

Спасибо!

[vpb]

irod
Вообще говоря, мне можно было и не трудиться, Вам это тест составляя. К учебнику Мордкович-Николаев есть задачник, для 7 класса они же авторы, а для 8 и 9 авторы Звавич-Рязановский-Семенов. Так в конце задачника для 9 класса есть набор задач из вступительных экзаменов в вузы (тех времен, когда еще ЕГЭ не было), в пределах программы 7--9 классов по алгебре. По этим задачам Вы в принципе сами можете проверить, достаточно ли знаете школьную алгебру.

[irod]

Я вернулся из поездки и начинаю решать эти школьные задачи. Вот первая порция. В книги не подглядывал.

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

1) Найти $x$, если

$$ \frac{4,22 -28,07:3,5}{(10\frac16+2,5)\cdot1,5}=0,4x+1,2$$

(Ответ)

$-3,5$

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

2) Упростить

$$ \frac{\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}} $$

(Ответ)

$\sqrt{3}$

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

3) При делении натурального числа $n$ на 13 в остатке получилось 11.
Чему равен остаток от деления числа $n^3-n$ на 13 ?

(Ответ)

$7$

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

4) Упростить

$$ \frac{a-3}{a^2+3a}-\frac{12}{9-a^2}+\frac3{3a-a^2}$$

(Ответ)

$\frac{1}{a-3}$

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

5) Сократить дробь

$$ \frac{x^2-4xy+3y^2}{x^2-5xy+4y^2} $$

(Ответ)

$\frac{x-3y}{x-4y}$

vpb в сообщении #1309566 писал(а):

6) Решить систему \begin{equation} \begin{cases} 3x+2y=5\\ 2x-3y=7 \end{cases} \notag \end{equation}

(Ответ)

$x=\frac{29}{13},y=-\frac{11}{13}$

[vpb]

Правильные ответы.

[irod]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

7) Решить неравенство $|x-1|+|x+3|\leq6$.

(Ответ)

$-3\leq x\leq 2$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

8) Какова вероятность того, что случайным образом выбранное натуральное
число из интервала $(5{,}9; 47{,}1)$ делится на 3 ?

(Ответ)

$\frac{1}{3}$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

9) Найдите $A\cap B$, где $A=(-\infty; 0)$, $B=[-1; +\infty)$.

(Ответ)

$[-1;0)$

Задачи 10-12 пока пропускаю.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

13) Разложите не множители $x^6y^5-y^8+2x^6-2y^3$.

(Ответ)

$(x^6-y^3)(y^5+2)$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

14) Решить уравнение $x^3-x^2-4x+4=0$.

(Ответ)

$x_1=1,x_{2,3}=\pm 2$

[warlock66613]

irod, (7) — подставьте в неравенство $x = -3.5$.

[vpb]

Да, в 7) ошибочка, а в 13) тоже недоразложили. Пока, в общем, продолжайте.

[irod]

Нашел ошибку в 7) - решал методом интервалов и потерял знак в одном из неравенств. Правильный ответ такой:

(Ответ)

$-4\leq x\leq 2$

Следующие задачи.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

12) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда относятся как $2:3:5$, а площадь поверхности равна $248$. Найти длины ребер.

(Ответ)

$a=4,b=6,c=10$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

15) Известно, что $x+y=5$ и $xy=-3$. Найти $x^4+y^4$.

(Ответ)

$943$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

16) Решить уравнение

$$ \frac{x^3-x^2}{x-1}=-2x+3 .$$

(Ответ)

$x=-3$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

17) Решить систему

$$ \begin{equation} \begin{cases} 9y^2-6xy-5x+x^2+15y=0 \\ 3x-4y=20 \end{cases} \notag \end{equation} $$

(Ответ)

$y=4,x=12$ или $y=1,x=8$

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

19) Решить уравнение $x^6+9x^5+27x^4+27x^3=0$.

(Ответ)

$x_1=0,x_2=-3$

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

20) При каких значениях $m$ и $n$ соотношение $(x^2x^m)^n=(x^3x^n)^m:x^6$ --- тождество ?

(Ответ)

$m=\frac{2n+6}{3}$

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

21) Решить уравнение

$$ \frac{x+2}{2x+1}+\frac{ax+3}{x+1}=5, $$

где $a$ --- параметр.

(Ответ)

$x_1=0$ при любом $a$, и $x_2=\frac{6-a}{2a-9}$ при $a\neq 4.5$

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

22) Найдите область существования выражения $3((x^0-(x-1)^{-1})^0-x)^{-1}$.

(Ответ)

$x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1,2\}$

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

23) Решить уравнение

$$ \sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7. $$

(Ответ)

$x_1=97,x_2=6$

-- 08.05.2018, 06:56 --

Итак, за мной еще задачи 10,11,18 и

vpb в сообщении #1310705 писал(а):

13) тоже недоразложили

хотя я пока не вижу, что в 13 еще можно сделать.

[iifat]

irod в сообщении #1310896 писал(а):

пока не вижу, что в 13 еще можно сделать

То есть, с $x^3-y^3$ знаете, что делать, а с $x^6-y^3$ — не?

[irod]

В 23) у меня явная ошибка: $x_1$ не подходит, перерешаю.

[irod]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

13) Разложите не множители $x^6y^5-y^8+2x^6-2y^3$.

iifat в сообщении #1310897 писал(а):

То есть, с $x^3-y^3$ знаете, что делать, а с $x^6-y^3$ — не?

Спасибо

(Новый ответ)

$x^6-y^3=(x^2-y)(x^2(x^2+y)+y)$. Итого, ответ $(x^2-y)(x^2(x^2+y)+y)(y^5+2)$

-- 08.05.2018, 16:14 --

По оставшимся задачам у меня возникли вопросы/затруднения, поэтому напишу сначала свои мысли перед попытками решения.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

10) Числа $a$ и $b$ таковы, что система двух уравнений

$$\begin{equation} \begin{cases} 3x+ay=8 \\ (2a+1)x+12y=b \end{cases} \notag \end{equation}$$

имеет бесконечное множество решений. Найти $a$ и $b$ (перечислить все возможности).

(Мысли)

Повспоминаю линал. Что вообще показывает эта СЛАУ на плоскости: отдельные уравнения - это прямые, решить СЛАУ - означает найти точку (или точки) их пересечения. Когда есть бесконечно много решений (т.е. точек пересечения) - когда все строки СЛАУ задают одну и ту же прямую, т.е. когда строки СЛАУ линейно зависимы (пропорциональны друг другу).
Линейная зависимость в нашем случае означает вот это равенство:

$$ \frac{3}{2a+1}=\frac{a}{12}=\frac{8}{b} $$

Верно?

-- 08.05.2018, 16:20 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

18) При каких значениях $x$ и $y$ многочлен $x^2+2xy-3y^2-5x-y+1$ принимает наибольшее значение, при дополнительном условии, что $x+y=1$ ?

(Мысли)

Я знаю, что в точках экстремума значение производной равно нулю. Максимум или минимум в экстремуме - определяет знак второй производной. Итак, в этой задаче надо найти производную (как находить производную функции, заданной неявно, было расписано в Зельдовиче, формула $\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x,y)}{dx}}{\frac{\partial F(x,y)}{dy}}$). Итак, я нахожу производную по этой формуле, приравниваю ее к нулю, нахожу все локальные максимумы и проверяю для каждого условия $x+y=1$, так? Наверное нет, как-то не для школьников получается, с частными производными-то.

-- 08.05.2018, 16:23 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

11) Найти площадь множества точек на координатной плоскости, удовлетворящих системе неравенств

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

(Мысли)

Тут у меня пока нет идей, кроме как попробовать нарисовать эту фигуру и посмотреть на нее. Тут явно надо ангем использовать, но пока не знаю как.

[iifat]

irod в сообщении #1311000 писал(а):

ответ $(x^2-y)(x^2(x^2+y)+y)(y^5+2)$

Во-первых (ну, это моё личное мнение), не стоит вот так $x^2(x^2+y)+y$ записывать сомножитель. Если он, по-вашему, не разлагается на множители, то не оставляйте скобок. Во-вторых, уверен, что и с $y^5+2$ вы можете что-нибудь сделать (вы помните, по каких ор можно разложить многочлен от одной переменной?)

irod в сообщении #1311000 писал(а):

попробовать нарисовать эту фигуру и посмотреть на нее

И?

[Munin]

Ну давайте ещё $(x^2-y)$ разложим.