Уравнение Больцмана и его свойства

[amon]

Red_Herring в сообщении #1305417 писал(а):

Математическую теорию таких уравнений начал изучать Торстен Карлеман, такие уравнения появляются при изучении разреженного газа

А у меня такое (наверно, неправильное) впечатление, что всякие математическо-существовательно-едиственные свойства уравнения Больцмана по крайней мере не уступают таковым для Навье-Стокса, поскольку Навье-Стокс это Больцман в гидродинамическом пределе. Но про всякие премии за доказательства чего-либо для уравнения Больцмана я не слышал. Возможно, что интерес к этому уравнению у математиков отбил Пуанкаре, который кинетику объявил лженаукой (не без оснований), а Больцмана - фриком.

Eule_A: Выделено из темы «Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема».

[Red_Herring]

amon в сообщении #1305420 писал(а):

А у меня такое (наверно, неправильное) впечатление, что всякие математическо-существовательно-едиственные свойства уравнения Больцмана по крайней мере не уступают таковым для Навье-Стокса,

Только такие теоремы для Н-С начали появляться тоже не то чтобы совсем давно (О.А.Ладыженская). А Карлеман написал свою работу в 1933

amon в сообщении #1305420 писал(а):

поскольку Навье-Стокс это Больцман в гидродинамическом пределе.

Только этот предельный переход обосновать нужно. И это очень нетривиальная математическая задача.

[Munin]

amon в сообщении #1305420 писал(а):

кинетику объявил лженаукой (не без оснований)

Я понимаю, что офтопик, но что за основания?

[g______d]

amon в сообщении #1305420 писал(а):

Но про всякие премии за доказательства чего-либо для уравнения Больцмана я не слышал.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cedric_Villani

Цитата:

Villani received the Fields Medal for his work on Landau damping and the Boltzmann equation.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1305424 писал(а):

amon в сообщении #1305420

писал(а):
А у меня такое (наверно, неправильное) впечатление, что всякие математическо-существовательно-едиственные свойства уравнения Больцмана по крайней мере не уступают таковым для Навье-Стокса, Только такие теоремы для Н-С начали появляться тоже не то чтобы совсем давно (О.А.Ладыженская). А Карлеман написал свою работу в 1933

Но ведь первую теорему существования для Навье-Стокса доказал Лере тоже в районе 1933. Слабые решения, единственность не доказана.
В этом смысле воз и ныне там, в 3D по крайней мере. Кстати, почему-то всегда вспоминают про Навье-Стокса, а ведь с уравнением Эйлера таже ситуация

-- 19.04.2018, 12:14 --

кажется я офтопить начинаю...

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1305480 писал(а):

Слабые решения, единственность не доказана.

Уже вроде доказана неединственность слабых решений https://dxdy.ru/topic126078.html (надо аккуратно посмотреть--каких)

[amon]

g______d, спасибо! Развеяли темноту и невежество.

Munin в сообщении #1305438 писал(а):

что за основания?

Те самые, что указал Red_Herring перед Вашим сообщением - доказывать надо. А у Больцмана в работах на месте доказательств часто стояли длинные словесные рассуждения, видимо и взбесившие Пуанкаре. Точно не помню, но по моему, последний придумал точно решаемую модель (одномерный газ), частично опровергавшую рассуждения Больцмана. Однако, по прошествии времени в физике фамилия Больцман встречается не реже, а может и чаще фамилии Пуанкаре.

[Munin]

amon в сообщении #1305541 писал(а):

доказывать надо

Простите, доказывать что? Одно дело - доказательство связи с Навье-Стоксом, и совсем другое - объявление кинетики "лженаукой" самой по себе.

Впрочем, как я понял, вашу фразу следует читать так: "у Пуанкаре основания были, но в сегодняшней физике они основаниями больше не являются". Я вспомнил, что на тот момент, конец 19 - начало 20 века, даже существование атомов было не окончательно доказано.

[amon]

Munin в сообщении #1305564 писал(а):

Впрочем, как я понял, вашу фразу следует читать так: "у Пуанкаре основания были, но в сегодняшней физике они основаниями больше не являются".

Я бы чуть осторожнее сказал. Сейчас появилось понимание того, что дело это (вывод уравнений кинетики) непростое, и что сами уравнения подтверждаются экспериментом (во времена Пуанкаре такой уверенности не было, уравнение Больцмана научились решать где-то в 20-х годах).

-- 19.04.2018, 15:54 --

Основное возражение Пуанкаре заключалось в том, что из Т-инвариантных уравнений механики невозможно никакими строгими манипуляциями получить Т-неинвариантное уравнение Больцмана. Этот аргумент не закрыт до сих пор.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1305530 писал(а):

Уже вроде доказана неединственность слабых решений

по-моему они рассматривают более слабые решения, чем у Лере, у Лере решение при почти всех $t$ принадлежит $H^1$, а у них еще слабее.Впрочем я дальше определения 1 не смотрел

[Munin]

amon в сообщении #1305569 писал(а):

сами уравнения подтверждаются экспериментом

Я об этом же.

[warlock66613]

amon в сообщении #1305569 писал(а):

Этот аргумент не закрыт до сих пор.

Вот уж от вас не ожидал. Он давно закрыт и я как раз в ближайшее время (примерно завтра) собираюсь написать как. Но если вкратце, то этот аргумент означает лишь, что 1) уравнение Больцмана не может выполняться всегда, что не мешает ему быть верным для $t \ll t_\text{Возвращения}$, 2) уравнение Больцмана не может быть справедливо для любой траектории. Ни то, ни другое никак не ограничивает применимость кинетического уравнения в физике, так как возраст вселенной мал по сравнению с временем возвращения, и не любая возможная траектория в ней (Вселенной) реализуется.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1305617 писал(а):

Он давно закрыт и я как раз в ближайшее время (примерно завтра) собираюсь написать как.

Вот там и поговорим. Только надо отдельную тему открыть

[Red_Herring]

amon в сообщении #1305642 писал(а):

Только надо отдельную тему открыть

И наверно, гораздо раньше, чем с этого момента. Только если я понял из объяснений, Пуанкаре катил бочку не конкретно на уравнения Больцмана, а на статистическую физику вообще.

[amon]

amon в сообщении #1305642 писал(а):

Вот уж от вас не ожидал. Он давно закрыт

Ну вот, слава модераторам, можно без оффтопа. То, что Вы пишите - про время возврата, это аргументы Больцмана. Пуанкаре возражал против возможности вывода уравнения Больцмана из уравнений классической механики. Возражение было такого сорта (заранее прошу прощения, читал давно, могу слегка приврать). Есть у нас некоторая система уравнений $\hat{H}=0$ (в нашем случае - уравнения Гамильтона). С помощью некоторых операций $\mathfrak{R}\hat{H}$ мы получим другое уравнение $\hat{B}=0$ (уравнение Больцмана). Если уравнения Гамильтона обладают свойством Т-инвариантности (как это было у Больцмана, и как это делается и сейчас), то $T\hat{H}=\hat{H}$ и проделав манипуляции $\mathfrak{R}T\hat{H}$ мы должны получить $T\hat{B}=\hat{B}.$ Поскольку уравнение Больцмана таким свойством не обладают, то либо исходные уравнения не инвариантны относительно обращения времени, либо операция $\mathfrak{R}$ неоднозначна. К времени возврата, флуктуациям и прочее это рассуждение отношения не имеет.