2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение18.04.2018, 21:16 
Аватара пользователя


31/08/17
04/11/19
1547
Red_Herring в сообщении #1305192 писал(а):
Прежде всего теорема Лиувилля для физиков: если имеется движение по траекториям дифференциальных уравнений $\frac{d\mathbf{z}}{dt}= \mathbf{v}$, и нет стоков и истоков, то
\begin{align}
\frac{d\rho}{dt}:= \frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\rho = - \rho \nabla\cdot \mathbf{v}\iff
\tag{1}\\
\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla\cdot (\rho\mathbf{v})=0.
\tag{2}
\end{align}


Стоки и истоки по-моему тут ни при чем, при такой постановке вопроса. Задача Коши
$$\rho_t+\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}=0,\quad \rho\mid_{t=0}=\hat \rho(x)$$
имеет решение при любом векторном поле $v=v(x)$
$$\rho(t,x)=\Big|\frac{\partial g^{-t}}{\partial x}(g^{-t}(x))\Big|\hat\rho (g^{-t}(x)).$$
(для простоты я считаю, что $v$ не зависит от $t$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение18.04.2018, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
13/11/19
71141
amon в сообщении #1305392 писал(а):
траектории будут характеристиками этого уравнения

А, ну да, это я подразумевал. Но с использованием этого - следствие всё же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение18.04.2018, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9373
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1305399 писал(а):
Стоки и истоки по-моему тут ни при чем,
Двусмысленность терминологии... Вы понимаете под стоками и истоками особенности поля $\mathbf{v}$, я же нарушение закона сохранения:
$$\frac{d\rho}{dt}+\rho \nabla\cdot \mathbf{v} = f_{source}-f_{sink},$$ где $f_{source}(\mathbf{z},t)$, $f_{sink}(\mathbf{z},t)$ соответствующие плотности: в объеме $dV$ за время $dt$ рождается/исчезает $f_*(\mathbf{z},t)dVdt$ соответствующего "вещества". Например, в результате химической реакции соответствующеее химическое соединение рождается/исчезает, или тепловая энергия, или количество нейтронов в реакторе (какие-то рождаются при делении какие-то поглощаются).

(коварство «вставки»)

Да, кстати, на форуме "вставку" математических выражений (в отличие от "цитаты") надо дорабатывать напильником -- таги math /math исчезают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение18.04.2018, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3833
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1305400 писал(а):
Но с использованием этого - следствие всё же?
В приведенной здесь "математической" формулировке - следствие, и довольно простое. А у Ландау в первом томе доказательство состоит из двух утверждений
1. Канонические преобразования сохраняют фазовый объем
2. Фазовый поток - каноническое преобразование.
и тут догадаться, что функция распределения на траектории не меняется уже не так просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение18.04.2018, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9373
Hogtown
amon в сообщении #1305392 писал(а):
Уравнение Больцмана отличается от уравнения Лиувилля тем, что в правую часть добавлен член (интеграл столкновений), который равен нулю на равновесных функциях распределения

Ну это и пример к источникам и стокам: https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_equation $z=(\mathbf{x},\mathbf{p})$ и $\mathbf{v}=(\mathbf{p},0)$ (так что дивергенция равна $0$), но происходят мгновенные столкновения с перераспределением моментов молекул, находящихся в одном и том же месте $\mathbf{x}$.

Математическую теорию таких уравнений начал изучать Торстен Карлеман, такие уравнения появляются при изучении разреженного газа (как объяснял 45 лет назад в своем спецкурсе С.К.Годунов, это важно при расчете боеголовок, в верхних слоях атмосферы), ну и существуют ряд математических работ о том, как при немалых (пространственных, по $\mathbf{x}$) плотностях газа (и малых длинах пробега) законен предельный переход от Б. к газодинамике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема
Сообщение19.04.2018, 21:44 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
928
 i  Обсуждение свойств уравнения Больцмана выделено в тему «Уравнение Больцмана и его свойства».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group