Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1305192 писал(а):

Прежде всего теорема Лиувилля для физиков: если имеется движение по траекториям дифференциальных уравнений $\frac{d\mathbf{z}}{dt}= \mathbf{v}$, и нет стоков и истоков, то
\begin{align}
\frac{d\rho}{dt}:= \frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\rho = - \rho \nabla\cdot \mathbf{v}\iff
\tag{1}\\
\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla\cdot (\rho\mathbf{v})=0.
\tag{2}
\end{align}

Стоки и истоки по-моему тут ни при чем, при такой постановке вопроса. Задача Коши

$$\rho_t+\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}=0,\quad \rho\mid_{t=0}=\hat \rho(x)$$

имеет решение при любом векторном поле $v=v(x)$

$$\rho(t,x)=\Big|\frac{\partial g^{-t}}{\partial x}(g^{-t}(x))\Big|\hat\rho (g^{-t}(x)).$$

(для простоты я считаю, что $v$ не зависит от $t$)

[Munin]

amon в сообщении #1305392 писал(а):

траектории будут характеристиками этого уравнения

А, ну да, это я подразумевал. Но с использованием этого - следствие всё же?

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1305399 писал(а):

Стоки и истоки по-моему тут ни при чем,

Двусмысленность терминологии... Вы понимаете под стоками и истоками особенности поля $\mathbf{v}$, я же нарушение закона сохранения:

$$\frac{d\rho}{dt}+\rho \nabla\cdot \mathbf{v} = f_{source}-f_{sink},$$

где $f_{source}(\mathbf{z},t)$, $f_{sink}(\mathbf{z},t)$ соответствующие плотности: в объеме $dV$ за время $dt$ рождается/исчезает $f_*(\mathbf{z},t)dVdt$ соответствующего "вещества". Например, в результате химической реакции соответствующеее химическое соединение рождается/исчезает, или тепловая энергия, или количество нейтронов в реакторе (какие-то рождаются при делении какие-то поглощаются).

(коварство «вставки»)

Да, кстати, на форуме "вставку" математических выражений (в отличие от "цитаты") надо дорабатывать напильником -- таги math /math исчезают.

[amon]

Munin в сообщении #1305400 писал(а):

Но с использованием этого - следствие всё же?

В приведенной здесь "математической" формулировке - следствие, и довольно простое. А у Ландау в первом томе доказательство состоит из двух утверждений
1. Канонические преобразования сохраняют фазовый объем
2. Фазовый поток - каноническое преобразование.
и тут догадаться, что функция распределения на траектории не меняется уже не так просто.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1305392 писал(а):

Уравнение Больцмана отличается от уравнения Лиувилля тем, что в правую часть добавлен член (интеграл столкновений), который равен нулю на равновесных функциях распределения

Ну это и пример к источникам и стокам: https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_equation $z=(\mathbf{x},\mathbf{p})$ и $\mathbf{v}=(\mathbf{p},0)$ (так что дивергенция равна $0$), но происходят мгновенные столкновения с перераспределением моментов молекул, находящихся в одном и том же месте $\mathbf{x}$.

Математическую теорию таких уравнений начал изучать Торстен Карлеман, такие уравнения появляются при изучении разреженного газа (как объяснял 45 лет назад в своем спецкурсе С.К.Годунов, это важно при расчете боеголовок, в верхних слоях атмосферы), ну и существуют ряд математических работ о том, как при немалых (пространственных, по $\mathbf{x}$) плотностях газа (и малых длинах пробега) законен предельный переход от Б. к газодинамике.

[Eule_A]

Обсуждение свойств уравнения Больцмана выделено в тему «Уравнение Больцмана и его свойства».