Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)

[wrest]

Skipper в сообщении #1302998 писал(а):

2) либо написать программу, которая будет разбивать на прямоугольники и т.д. и всё это считать.

Я думаю, что программу написать будет быстрее
https://www.google.ru/search?num=50&&q= ... 0%B0%D0%BB

[Skipper]

Цитата:

У вас там ошибочка. Должно быть как-то так

О, спасибо!

Я это наконец-то нашёл!!!
Много литературы перекопал, пока наконец вывел зависимость - скорость накопления масс во Вселенной.
И построил такую приблизительную функцию.

И вот что получилось (если кому интересно) -

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B0.1608+*+m%5E(-0.66-0.001+m%5E(1%2F3)(700+%2BLog%5Bm%5D)),%7Bm,0,100%7D%5D

Интеграл с параметрами от $0$ до $100$ должен быть равен $1$.
Отсюда следует нормировочный множитель равный примерно $0.1608$.

Почему от $0$ до $100$ ?
Здесь массы - в массах Солнца. Самые крупные звезды - это звезды с массами до $100$ масс Солнца.

Самые мелкие - $0.07$ масс Солнца (красные карлики).

Следовательно, всё что меньше - это планеты, астероиды и т.д. космическая пыль.
Мне было интересно, какую же долю массы составляют во Вселенной - именно светящиеся звёзды,
т.е. все объекты в промежутке масс $[0.07 .. 100] $

Привели опр. интеграл так, что в промежутке $[0 .. 100] = 1$. (100% всех масс).

А интеграл на промежутке $[0.07 .. 100]$ - с тем же нормировочным множителем равен 0.644.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B0.1608+*+m%5E(-0.66-0.001+m%5E(1%2F3)(700+%2BLog%5Bm%5D)),%7Bm,0.07,100%7D%5D

Следовательно, на долю светящейся массы во Вселенной (звездная масса, или "Stellar Mass") - приходится примерно 64%. (от полной барионной массы).
На долю планет, астероидов и т.д. космической пыли и межзвездного газа - приходится 36%.

Ну и полная барионная масса во Вселенной, "Barion Mass" = 1.5625 умножить на звездную массу "Stellar Mass".
(тёмные энергии и материи не рассматривал).

Всем большое спасибо. Парился я с этим вопросом уже несколько дней.

-- Вт апр 10, 2018 17:34:32 --

А график роста функции, которая первообразная "была бы" - можно построить?

G(m) = $\int\limits_{0}^{m} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot (700 + \ln m)} ) dm$

[wrest]

Skipper в сообщении #1303006 писал(а):

А график роста функции, которая первообразная "была бы" - можно построить?

Как в вольфрам альфе - не знаю. Но при численном интегрировании с каким-то фиксированным шагом оно как бы строится само - вы же постепенно накапливаете сумму идя от нижнего предела к верхнему. В экселе можете построить...

Skipper в сообщении #1303006 писал(а):

G(m) = $\int\limits_{0}^{m} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot (700 + \ln m)} ) dm$

Только записать бы надо бы так:
$G(x) = \int\limits_{0}^{x} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot (700 + \ln m)} ) dm$

[Vince Diesel]

Вольфрам альфа график не строит, но есть еще песочница. Запустить там

Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10},PlotRange->All]

[Skipper]

Цитата:

Вольфрам альфа график не строит, но есть еще песочница. Запустить там

А как там вообще графики строятся? Нажал на плюсик, выбрал Free form input, ввел
x^2
появляется раздел 'plot', его выбираю - вижу график.

Если все то же сделать, но вместо x^2, ввести -

Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10},PlotRange->All]

графика нет. и раздела 'plot' - нет.

Попробовал все другие разделы - тоже ничего.

Попробовал ввести
NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}

пишет функцию, но график не строит.

-- Ср апр 11, 2018 06:54:48 --

Попробовал по аналогии с (Free form input)
Plot[x^2,{x,0,10}]
(есть график),

Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10}]

графика нет. Пишет 'this computation has exceeded the time limit for your plan'

[Vince Diesel]

Исполнение запускается нажатием Shift+Enter.

[kotenok gav]

Надо после того, как вы ввели запрос, нажать "Evaluation" - "Evaluate Cells".

[Skipper]

Спасибо. Теперь всё понял. И раздел (Free form input) не надо выбирать, просто копипастом
Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10},PlotRange->All]

и Shift+Enter - получаем график. (или "Evaluation" - "Evaluate Cells" после ввода).

Да уж, хорошо разработали. Можно даже видеть графики функций, которые содержат неберущиеся интегралы..

[kotenok gav]

График получается похожим на натуральный логарифм.

[Skipper]

Цитата:

График получается похожим на натуральный логарифм.

Да, так в принципе и должно быть. Если бы степень $-0.66$ оставалась на всех диапазонах, то функция росла бы как степенная,
если бы степень максимум уходила бы до $-1$, тогда функция росла бы со скоростью логарифмической, а т.к. степень уходит
в значения $< -1$, то функция становится и вовсе - ограниченной.

Почему так трудно вычислить неопределенный интеграл? 1) переменная в степени, 2) степень - в свою очередь сама зависит от переменной.
Трудность именно оттого, что в степени присутствует $m$ ?

[thething]

Skipper в сообщении #1303112 писал(а):

Почему так трудно вычислить неопределенный интеграл?

Не то, чтобы трудно, а невозможно (находясь в классе элементарных функций).. В классе неэлементарных Вы же уже видели его график, назовите это каким-то новым именем и будет Вам новая функция..

Или Ваш вопрос -- почему интеграл неберущийся? Ну так по природе своей он такой.. Различать, берется интеграл или нет, приходит с опытом. Выше я приводил "простой" пример.. Вот по той же причине и Ваш интеграл не берется.

[wrest]

Skipper в сообщении #1303112 писал(а):

Почему так трудно вычислить неопределенный интеграл?

Потому что набор так называемых "элементарных функций" весьма ограничен. Для часто встречающихся интегралов, которые не выражаются через элементарные функции, придумывают "специальные функции", просто ваш в их число не попал. Ну это касается не только интегралов, много чего "не выражается в элементарных функциях": https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0 ... 0%B8%D0%B8

[Skipper]

Цитата:

Объем ничего не говорит. Вот Вам пример $\int\limits_{}^{}m^mdm$ (также известный, как "мечта второкурсника").

А если расширить множество элементарных функций. Скажем добавим в нему (наиболее популярные) -
интегральный логарифм, интегральный синус, функцию Лапласа.
В таком множестве интересно, берется он или нет.

Кто определил что "множество элементарных функций" будет именно таким? Т.е. интересно, почему
считается что допустим функция синус - элементарная, а вот функция Лапласа - нет.

[thething]

Skipper в сообщении #1303118 писал(а):

В таком множестве интересно, берется он или нет.

Только вот зачем? Неэлементарных функций -- континуум, а это просто одна из них.. Тангенс тоже можно выразить через косинус, но пользуемся-то мы тангенсом

[wrest]

thething в сообщении #1303114 писал(а):

Различать, берется интеграл или нет, приходит с опытом.

Мне кажется, что для неспециалистов по матану в качестве замены опыту вполне достаточно вбить интеграл в вольфрам альфу, если оно его не решает в элементарных (и специальных) функциях, значит так оно и есть.

Skipper
Но даже если бы ваш интеграл выразился ну скажем через какие-нибудь там интегральные синусы, как бы это облегчило вашу жизнь? Просто вот про обычный синус вы знаете как он себя ведет, где у него корни, где максимумы и минимумы и так далее, а про интегральный?

-- 11.04.2018, 10:05 --

Skipper в сообщении #1303118 писал(а):

Скажем добавим в нему (наиболее популярные) -
интегральный логарифм, интегральный синус, функцию Лапласа.
В таком множестве интересно, берется он или нет.

Нет, не берется, иначе бы вольфрам альфа это показала :)

Skipper в сообщении #1303118 писал(а):

то определил что "множество элементарных функций" будет именно таким? Т.е. интересно, почему
считается что допустим функция синус - элементарная, а вот функция Лапласа - нет.

Тут на форуме было обсуждение этого где-то, поищите.
Вот, например: «Опять про элементарные функции»
Например уравнение $\sin(x)=x-a$ не решается "в элементарных функциях" в общем случае, но для каких-то $a$ - решается.