2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 10:21 


24/03/09
245
Минск
Попробовал более простые варианты.

$\int\limits_{}^{} (  m ^ {-0.66 -  (\ln m)} ) dm$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B+m%5E(-0.66+-+(Log%5Bm%5D)),%7Bm%7D%5D
Integrate[ m^(-0.66 - (Log[m])),{m}]

действительно не выражается в элементарных.

Однако если заменить 'минус' на умножить -

$\int\limits_{}^{} (  m ^ {-0.66 \cdot  (\ln m)} ) dm$
Integrate[ m^(-0.66 * (Log[m])),{m}]

то интеграл берется, хотя и не в элементарных, но с помощью 'функции ошибок' Лапласа, $erf$

$-1.59323 erf(0.615457 - 0.812404 log(m)) + СConst $

а как она себя ведёт - известно.

Вот парадокс, операция 'минус' вместо 'умножить' - так усложняет функцию, что она не берется уже и с помощью
'функции ошибок' Лапласа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 11:55 


24/03/09
245
Минск
Я бы добавил новое понятие.
1) Есть "множество простейших элементарных функций".
2) Расширенное будет - "множество элементарных функций" - (содержит функции, которые есть - всевозможные сочетания, операции над множеством простейших элементарных функций).

3) Добавим "множество простейших определяемых функций".

содержит функции, которые есть - всевозможные сочетания, операции над множеством простейших элементарных функций + может содержать один интеграл.
Вот эта функция - и принадлежит к множеству простейших определяемых функций - т.к. мы её определили с помощью привлечения одного интеграла.

G(m) = $\int\limits_{0}^{m} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot (700 + \ln m)} ) dm$

4) Расширенное будет - "множество определяемых функций".
Функции которые выражаются операциями с конечным числом интегралов от элементарных функций.

И насколько я понимаю, все остальные функции, т.к. невозможно определить явно (можно только неявно - например в дифференциальном или функциональном уравнении, которое невозможно решить, сведя ответ к "множеству определяемых функций") - становятся автоматически невычислимыми.

В самом деле, рассмотрим какое-нибудь функциональное уравнение. Решить его не получается, т.е. нельзя найти явно функцию.
Следовательно, раз функция неизвестна, то невозможно даже численными методами (с помощью машины Тьюринга), найти, чему равно её значение в любых точках.

Существует ли теория, которая позволяет сказать - решается ли некое дифференциальное уравнение в виде "определяемой функции" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 15:01 


24/03/09
245
Минск
Вот и глюк песочницы нашел

Plot[NIntegrate[0.0558 * w^(-1.55-0.001 w^(1/4)(1000 +Log[w])),{w,0,m}],{m,0.07,2.1},PlotRange->All]

выдает какую то ерунду. Должен быть график с ростом до 1.
так как этот же интеграл равен примерно 1.


https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B+0.0558+*+m%5E(-1.55-0.001+m%5E(1%2F4)(1000+%2BLog%5Bm%5D)),%7Bm,0.07,2.1%7D%5D

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22322
Уфа
Skipper в сообщении #1303135 писал(а):
Существует ли теория, которая позволяет сказать - решается ли некое дифференциальное уравнение в виде "определяемой функции" ?
Может быть, дифференциальная теория Галуа.

Skipper в сообщении #1303169 писал(а):
выдает какую то ерунду
Не ерунду, а сообщение о том, что численное интегрирование сходится слишком медленно, конкретно в окрестностях нуля. И если менять нижний предел интегрирования с нуля на чуть бо́льшие значения, видно, что чем ближе к нулю, тем больше там набегает.

-- Ср апр 11, 2018 17:18:33 --

Вам следовало нижним пределом интегрирования вообще брать $0{,}07$ (как у $m$). Тогда будет вам та почти единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 15:38 


24/03/09
245
Минск
Plot[NIntegrate[0.0558 * w^(-1.55-0.001 w^(1/4)(1000 +Log[w])),{w,0.07,m}],{m,0.07,2.1},PlotRange->All]

Так ?
Спасибо.
Только на wolframalpha.com он был посчитан и от нуля - т.к. площадь там ограничена (т.е. конечна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22322
Уфа
Нет, не от нуля. Если приглядитесь к штрихам на оси абсцисс, увидите, что левый край области чуть меньше $0{,}1$.

-- Ср апр 11, 2018 18:50:36 --

Skipper в сообщении #1303198 писал(а):
Plot[NIntegrate[0.0558 * w^(-1.55-0.001 w^(1/4)(1000 +Log[w])),{w,0.07,m}],{m,0.07,2.1},PlotRange->All]

Так ?
Да. Кстати, в будущем окружайте небольшие куски кода типа этого тегами tt (как я сделал в цитате), лучше смотрится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 17:16 


05/09/16
3183
Skipper в сообщении #1303198 писал(а):
Только на wolframalpha.com он был посчитан и от нуля - т.к. площадь там ограничена (т.е. конечна).

Нет, теперь этот интеграл расходится, потому что вместо $-0,66$ вы поставили $-1,55$

Вы же в курсе что
$\int\limits_{0}^{x_0} x ^ {-a}dx$ расходится при $a\ge1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение12.04.2018, 02:29 


24/03/09
245
Минск
wrest в сообщении #1303225 писал(а):
Skipper в сообщении #1303198 писал(а):
Только на wolframalpha.com он был посчитан и от нуля - т.к. площадь там ограничена (т.е. конечна).

Нет, теперь этот интеграл расходится, потому что вместо $-0,66$ вы поставили $-1,55$

Вы же в курсе что
$\int\limits_{0}^{x_0} x ^ {-a}dx$ расходится при $a\ge1$ ?


Я это понимаю так - $ x ^ {-a}dx$ при $a>0$ - график "прижимается" как к оси $X$, так и к оси $Y$.
Обе площади будут бесконечные, только в том случае, если $a=1$ .
Если $a>1$ - тогда бесконечна только площадь между осью $Y$, и графиком.
Если $a<1$ - тогда бесконечна только площадь между осью $X$, и графиком.

В данном случае, $a=1,55$, следовательно, бесконечна площадь между осью $Y$, и графиком.
А я хочу посчитать эту площадь, как определенный интеграл с диапазоном начиная от $0$.
На
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B+m%5E(-1.55),%7Bm,0.1,1%7D%5D
он действительно график строит, но не считает сам интеграл (бесконечность должна быть).

Кстати, после более подробного анализа масс Вселенной, всё таки изменил функцию скорости накопления масс. Уточнённая она такая -

K(m) = ( a \cdot  m ^ {-0.55 -0.0005 \cdot m ^{1/3} \cdot (1000 + \ln m)} ) dm$

Вот теперь уже окончательно, точно.
Сути не меняет - интеграл в любом случае неберущийся. Из этого распределения масс, последовало много интересных выводов,
к примеру что среднестатистическая звезда в Галактиках примерно $0.4$ массы Солнца (т.е. если звездная масса нашей Галактики Млечный Путь
$80$ миллиардов солнечных, то всего звезд в галактике $200$ миллиардов). Ну и много других выводов. Построил теорию,
и описал многие вещи. (если все звёзды в Галактиках заменить звездой с $0.4$ массы Солнца - то масса Галактики останется прежней).
Ну и Солнце - это не такой уже и "карлик" - т.к. масса больше среднеарифметической.

А степень $-1.55 $ возникает (вместо $-0.55$) - если мы хотим перейти от функции скорости накопления масс -
к функции скорости накопления числа звезд и дозвёздных объектов - планеты, астероиды и т.д.

-- Чт апр 12, 2018 01:46:32 --

Цитата:
Может быть, дифференциальная теория Галуа.


Насколько я помню, читал раньше, что дифференциальная теория Галуа - позволяет определить, берущийся ли интеграл или нет.
Неужели с помощью этой теории, можно определить, можно ли вообще найти функцию - как решение дифференциального уравнения ?

Но можно и дифференциальное уравнение для этого не писать, я думаю, что можно написать обычное "функциональное уравнение",
такое, что невозможно будет найти функцию - её решение.
Т.е. это должна быть "функциональная теория Галуа", а не диференциальная. А построили такую?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение12.04.2018, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22322
Уфа
Может, и построили, но класс произвольных функциональных уравнений уж очень широк, так что чтобы применить её, если она есть, вам всё равно наверняка придётся попотеть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение12.04.2018, 21:10 


05/09/16
3183
Skipper в сообщении #1303414 писал(а):
Я это понимаю так - $ x ^ {-a}dx$ при $a>0$ - график "прижимается" как к оси $X$, так и к оси $Y$.

Это не надо понимать как-то по своему, куда там чего прижимается, есть же четкие понятия "собственный" (proper) интеграл, "несобственный" (improper), "сходится" (converge), "расходится" (diverge) и т.п.

Skipper в сообщении #1303414 писал(а):
А степень $-1.55 $ возникает (вместо $-0.55$) - если мы хотим перейти от функции скорости накопления масс -
к функции скорости накопления числа звезд и дозвёздных объектов - планеты, астероиды и т.д.

Я хочу вам сказать, что если у вас интеграл расходится, то значит что-то пошло не так, и это надо как-то объяснить, ну типа что интеграл будем брать не от ровно нуля, а от почти нуля и объяснить чему и почему равно это "почти" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение13.04.2018, 16:55 


24/03/09
245
Минск
Цитата:
Я хочу вам сказать, что если у вас интеграл расходится, то значит что-то пошло не так, и это надо как-то объяснить, ну типа что интеграл будем брать не от ровно нуля, а от почти нуля и объяснить чему и почему равно это "почти"


Да. "Почти от нуля", потому что минимальный объект во Вселенной, который можем считать - это атом водорода. А он имеет ненулевой размер.
Ну или если не нравится атом - тогда, к примеру Электрон+протон.
Но на таких масштабах функция уже неинтересна. Главная её особенность - показать распределение масс объектов, больших размеров нежели атомы водорода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение13.04.2018, 17:18 


05/09/16
3183
Skipper в сообщении #1303920 писал(а):
Главная её особенность - показать распределение масс объектов, больших размеров нежели атомы водорода.

А вы уверены что тогда
Skipper в сообщении #1303006 писал(а):
На долю планет, астероидов и т.д. космической пыли и межзвездного газа - приходится 36%.

У вас же там в солнечных массах считается? Атом водорода это примерно $10^{-60}$ солнечной. Подставьте :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение14.04.2018, 10:31 


24/03/09
245
Минск
Цитата:
На долю планет, астероидов и т.д. космической пыли и межзвездного газа - приходится 36%.


Нет, эту функцию я скорректировал, и стартовая степень там уже не $-0.66$, а $-0.55$. (Более подробно изучил
распределение количеств астероидов по массам, и звёзд ближайшего окружения по массам.)
А потому окончательно вышло,- На долю планет, астероидов и т.д. космической пыли и межзвездного газа - приходится 21%.
Разные исследователи по этой теме, получали разные оценки - от 10%, до 40%. А я нашел, самое точное распределение.

Вторая функция со степенью $-1.55$, показывает скорость роста именно количества объектов. Понятное дело, что её интеграл будет стремиться
к бесконечности, при параметре массы - стремящемся - к нулю. Т.к. атом водорода имеет ненулевой размер, то всё равно бесконечности не возникает.

Первая функция со степенью $-0.55$, показывает скорость роста именно - накопления масс. Её интеграл будет стремиться
к нулю, при параметре массы (объекта) - стремящемся к нулю. А потому, нам неважно, какое там количество малых объектов; интеграл - это все накопленные массы.
Берем к примеру интервал от $0$ до $0.001$ (масса Юпитера), и считаем, какую часть всей барионной массы составляют вся эта мелочь,
космическая пыль+астероиды+планеты, до массы Юпитера включительно.

Цитата:
Атом водорода это примерно $10^{-60}$ солнечной.


Погрешности на промежутке очень малых масс, если и будут, то незначительные.

Так вот, главное в мат-анализе, для человека, это не понимать легко, как взять те или иные неопределенные интегралы, причем в элементарных функциях,
закончили университет, все кто с этим по профессии не занимается - почти всё позабывали со временем.
А главное - понимать как построить нужные функции, и их интегралы, для решения тех или иных прикладных задач.
Если человек это умеет всегда по жизни, значит курс мат-анализа прошёл для него успешно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение17.04.2018, 14:18 


24/03/09
245
Минск
Короче.. Может действительно кому интересно -
http://www.astronomy.ru/forum/index.php ... 293.0.html

"Распределение барионных масс во Вселенной - Исследовательская работа"

Там и все эти функции по-своему отображаются. (просто так копи-паст не получится). Если же я сделал некую глобальную ошибку связанную с понимание мат-анализа, уточните. (Skipper_Norton там - это я, Skipper - на dxdy.ru)
Заранее, спасибо.

Вроде, всё сошлось, со многими экспериментальыми наблюдениями, и примерно такие же результаты, если сравнить с другими научными работами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение20.04.2018, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22322
Уфа
Запостите это в физику или астрономию — разделы, которые плотнее просматривают те, кому оно адресовано.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group