2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение10.04.2018, 18:09 


05/09/16
11467
Skipper в сообщении #1302998 писал(а):
2) либо написать программу, которая будет разбивать на прямоугольники и т.д. и всё это считать.

Я думаю, что программу написать будет быстрее :mrgreen:
https://www.google.ru/search?num=50&&q= ... 0%B0%D0%BB

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение10.04.2018, 18:10 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
У вас там ошибочка. Должно быть как-то так


О, спасибо!

Я это наконец-то нашёл!!!
Много литературы перекопал, пока наконец вывел зависимость - скорость накопления масс во Вселенной.
И построил такую приблизительную функцию.

И вот что получилось (если кому интересно) -

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B0.1608+*+m%5E(-0.66-0.001+m%5E(1%2F3)(700+%2BLog%5Bm%5D)),%7Bm,0,100%7D%5D

Интеграл с параметрами от $0$ до $100$ должен быть равен $1$.
Отсюда следует нормировочный множитель равный примерно $0.1608$.

Почему от $0$ до $100$ ?
Здесь массы - в массах Солнца. Самые крупные звезды - это звезды с массами до $100$ масс Солнца.

Самые мелкие - $0.07$ масс Солнца (красные карлики).

Следовательно, всё что меньше - это планеты, астероиды и т.д. космическая пыль.
Мне было интересно, какую же долю массы составляют во Вселенной - именно светящиеся звёзды,
т.е. все объекты в промежутке масс $[0.07 .. 100] $

Привели опр. интеграл так, что в промежутке $[0 .. 100]   =  1$. (100% всех масс).

А интеграл на промежутке $[0.07 .. 100]$ - с тем же нормировочным множителем равен 0.644.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B0.1608+*+m%5E(-0.66-0.001+m%5E(1%2F3)(700+%2BLog%5Bm%5D)),%7Bm,0.07,100%7D%5D

Следовательно, на долю светящейся массы во Вселенной (звездная масса, или "Stellar Mass") - приходится примерно 64%. (от полной барионной массы).
На долю планет, астероидов и т.д. космической пыли и межзвездного газа - приходится 36%.

Ну и полная барионная масса во Вселенной, "Barion Mass" = 1.5625 умножить на звездную массу "Stellar Mass".
(тёмные энергии и материи не рассматривал).

Всем большое спасибо. Парился я с этим вопросом уже несколько дней.

-- Вт апр 10, 2018 17:34:32 --

А график роста функции, которая первообразная "была бы" - можно построить?

G(m) = $\int\limits_{0}^{m} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot  (700 + \ln m)} ) dm$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение10.04.2018, 18:58 


05/09/16
11467
Skipper в сообщении #1303006 писал(а):
А график роста функции, которая первообразная "была бы" - можно построить?

Как в вольфрам альфе - не знаю. Но при численном интегрировании с каким-то фиксированным шагом оно как бы строится само - вы же постепенно накапливаете сумму идя от нижнего предела к верхнему. В экселе можете построить...
Skipper в сообщении #1303006 писал(а):
G(m) = $\int\limits_{0}^{m} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot  (700 + \ln m)} ) dm$

Только записать бы надо бы так:
$G(x) = \int\limits_{0}^{x} ( a \cdot m ^ {-0.66 -0.001 \cdot m ^{1/3} \cdot  (700 + \ln m)} ) dm$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение10.04.2018, 19:23 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Вольфрам альфа график не строит, но есть еще песочница. Запустить там
Код:
Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10},PlotRange->All]

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 07:47 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Вольфрам альфа график не строит, но есть еще песочница. Запустить там


А как там вообще графики строятся? Нажал на плюсик, выбрал Free form input, ввел
x^2
появляется раздел 'plot', его выбираю - вижу график.

Если все то же сделать, но вместо x^2, ввести -

Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10},PlotRange->All]

графика нет. и раздела 'plot' - нет.

Попробовал все другие разделы - тоже ничего.

Попробовал ввести
NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}

пишет функцию, но график не строит.

-- Ср апр 11, 2018 06:54:48 --

Попробовал по аналогии с (Free form input)
Plot[x^2,{x,0,10}]
(есть график),

Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10}]

графика нет. Пишет 'this computation has exceeded the time limit for your plan'

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 08:33 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Исполнение запускается нажатием Shift+Enter.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 08:35 


21/05/16
4292
Аделаида
Надо после того, как вы ввели запрос, нажать "Evaluation" - "Evaluate Cells".

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 08:37 


24/03/09
505
Минск
Спасибо. Теперь всё понял. И раздел (Free form input) не надо выбирать, просто копипастом
Plot[NIntegrate[0.1608 * m^(-0.66-0.001 m^(1/3)(700 +Log[m])),{m,0,x}],{x,0,10},PlotRange->All]

и Shift+Enter - получаем график. (или "Evaluation" - "Evaluate Cells" после ввода).

Да уж, хорошо разработали. Можно даже видеть графики функций, которые содержат неберущиеся интегралы..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 08:39 


21/05/16
4292
Аделаида
График получается похожим на натуральный логарифм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 09:39 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
График получается похожим на натуральный логарифм.


Да, так в принципе и должно быть. Если бы степень $-0.66$ оставалась на всех диапазонах, то функция росла бы как степенная,
если бы степень максимум уходила бы до $-1$, тогда функция росла бы со скоростью логарифмической, а т.к. степень уходит
в значения $< -1$, то функция становится и вовсе - ограниченной.

Почему так трудно вычислить неопределенный интеграл? 1) переменная в степени, 2) степень - в свою очередь сама зависит от переменной.
Трудность именно оттого, что в степени присутствует $m$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Skipper в сообщении #1303112 писал(а):
Почему так трудно вычислить неопределенный интеграл?

Не то, чтобы трудно, а невозможно (находясь в классе элементарных функций).. В классе неэлементарных Вы же уже видели его график, назовите это каким-то новым именем и будет Вам новая функция..

Или Ваш вопрос -- почему интеграл неберущийся? Ну так по природе своей он такой.. Различать, берется интеграл или нет, приходит с опытом. Выше я приводил "простой" пример.. Вот по той же причине и Ваш интеграл не берется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 09:50 


05/09/16
11467
Skipper в сообщении #1303112 писал(а):
Почему так трудно вычислить неопределенный интеграл?

Потому что набор так называемых "элементарных функций" весьма ограничен. Для часто встречающихся интегралов, которые не выражаются через элементарные функции, придумывают "специальные функции", просто ваш в их число не попал. Ну это касается не только интегралов, много чего "не выражается в элементарных функциях": https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0 ... 0%B8%D0%B8

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 09:55 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
Объем ничего не говорит. Вот Вам пример $\int\limits_{}^{}m^mdm$ (также известный, как "мечта второкурсника").


А если расширить множество элементарных функций. Скажем добавим в нему (наиболее популярные) -
интегральный логарифм, интегральный синус, функцию Лапласа.
В таком множестве интересно, берется он или нет.

Кто определил что "множество элементарных функций" будет именно таким? Т.е. интересно, почему
считается что допустим функция синус - элементарная, а вот функция Лапласа - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Skipper в сообщении #1303118 писал(а):
В таком множестве интересно, берется он или нет.

Только вот зачем? Неэлементарных функций -- континуум, а это просто одна из них.. Тангенс тоже можно выразить через косинус, но пользуемся-то мы тангенсом :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти интеграл (интересный имеет прикладное значение)
Сообщение11.04.2018, 10:02 


05/09/16
11467
thething в сообщении #1303114 писал(а):
Различать, берется интеграл или нет, приходит с опытом.

Мне кажется, что для неспециалистов по матану в качестве замены опыту вполне достаточно вбить интеграл в вольфрам альфу, если оно его не решает в элементарных (и специальных) функциях, значит так оно и есть.

Skipper
Но даже если бы ваш интеграл выразился ну скажем через какие-нибудь там интегральные синусы, как бы это облегчило вашу жизнь? Просто вот про обычный синус вы знаете как он себя ведет, где у него корни, где максимумы и минимумы и так далее, а про интегральный?

-- 11.04.2018, 10:05 --

Skipper в сообщении #1303118 писал(а):
Скажем добавим в нему (наиболее популярные) -
интегральный логарифм, интегральный синус, функцию Лапласа.
В таком множестве интересно, берется он или нет.

Нет, не берется, иначе бы вольфрам альфа это показала :)

Skipper в сообщении #1303118 писал(а):
то определил что "множество элементарных функций" будет именно таким? Т.е. интересно, почему
считается что допустим функция синус - элементарная, а вот функция Лапласа - нет.

Тут на форуме было обсуждение этого где-то, поищите.
Вот, например: «Опять про элементарные функции»
Например уравнение $\sin(x)=x-a$ не решается "в элементарных функциях" в общем случае, но для каких-то $a$ - решается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group