Падающая пружина, если кому интересно...

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1300021 писал(а):

Откуда легко сообразить, что

$$\frac{d^l}{dt^l}x_N(0)=0,\quad l=1,\ldots, N+2.$$

Правильно ли я понимаю, что тут написано "в начальный момент самый нижний шарик покоится (первая производная координаты по времени - скорость равна нулю), не ускорятся (вторая производная по времени - ускорение равно нулю) и все последующие производные тоже"?
Или, по-простому, "в нулевой момент времени нижний шарик еще не знает о том, что верхний уже отпустили"?
А это разве не очевидно прям сразу, просто повесив цепочку из трех шариков и двух пружин между ними на нитке за верхний и перерезав нитку в начальный момент, что в начальный момент времени пружина между верхним и средним шариком продолжит прикладывать к ним обоим силу которую прикладывала до этого, так что второй и третий шарики в этот момент будут неподвижны, их ускорения и последующие производные будут нулевые, а у верхнего шарика в начальный момент будет ускорение вниз равное $3g$?

-- 29.03.2018, 13:36 --

amon
Давайте все-таки вернемся вот к этому:

amon в сообщении #1300131 писал(а):

wrest в сообщении #1300126 писал(а):

$k=F/\Delta l=mg/2\Delta l$

Вот это неверно. Разные части пружины растянулись по-разному.

Вы продолжаете настаивать на том, что моя формула неверная?

-- 29.03.2018, 14:07 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1300021 писал(а):

при этом начальные положения $x_i(0)$ таковы, что $\ddot x_j(0)=0,\quad j>1,\quad \ddot x_1(0)\ne 0$.

Чему же равно $\ddot x_1(0)$? Под первым шариком висят $N-1$ таких же шариков. Тогда выходит что $\ddot x_1(0)=N$ так что ускорение первого шарика в первый момент времени при стремлении количества шариков к бесконечности тоже стремится к бесконечности. Наверное катастрофы тут нет, но все-таки получается немножко нефизично.

[amon]

wrest, я с удовольствием с Вами обсужу эту задачку как только будет чуть больше времени. Формула $k=F/\Delta l=mg/2\Delta$ верная, но к делу отношения не имеющая. То $K,$ которое у меня и pogulyat_vyshel и Ваше $k$ это разные величины.

[wrest]

amon
Спасибо, а то я уж было подумал что вы потеряли всякий интерес, а у меня в запасе еще есть некоторые вопросы :)

[amon]

Пока есть полчаса начну, хотя, как я уже говорил, популяризатор из меня хреновый.
wrest, тут у Вас, как я понимаю, есть два вопроса
1. Что такое написал pogulyat_vyshel и
2. Какое это имеет отношение к рассматриваемой задаче.

Начну с первого. Рассмотрим безотносительно к исходной длинной пружине такую задачу. Есть $N+1$ одинаковых шариков соединенных $N$ одинаковыми пружинками. Верхний шарик отпустили. Что будет с нижним шариком. Уравнения движения любого не крайнего шарика будет

$$m\ddot{x}_n=K(x_{n+1}-x_n)-K(x_n-x_{n-1})-mg.$$

Поделим все на $m,$ обозначим $\omega^2=\frac{K}{m}$ и получим

$$\ddot{x}_n=\omega^2(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1})-g$$

Введем новые единицы времени и длины как я написал выше. Это эквивалентно замене переменных $\tilde{t}=\omega t,\;\tilde{x}=\frac{\omega^2 x}{g}.$ Получим уравнения pogulyat_vyshel. Теперь попробуем выяснить как будет двигаться нижний шарик после того, как мы отпустим верхний. Для этого заметим, что $x_{N+1}(t)$ можно попробовать представить рядом Тейлора: $x_{N+1}(t)=x_{N+1}(0)+t\dot{x}_{N+1}(0)+\frac{t^2}{2}\ddot{x}_{N+1}(0)+\dots.$ Теперь заметим, что все производные от $x_{N+1}$ в нуле равны нулю, вплоть до $N+1$-й. Получается это дифференцированием последнего уравнения по времени и подстановкой производных из предыдущих с учетом того, что $\dot{x}_k(0)=0$ для $\forall k,$ а $\ddot{x}_k(0)=0$ для $k>1.$ Это значит, ряд Тейлора для $x_{N+1}$ начинается с $\operatorname{const} \frac{t^{N+2}}{(N+2)!},$ и при большом $N$ и $\omega t<1$ нижний шарик практически не сдвинется.

Второй пункт позже посмотрим.

[wrest]

amon в сообщении #1300473 писал(а):

Получается это дифференцированием последнего уравнения по времени и подстановкой производных из предыдущих с учетом того, что $\dot{x}_k(0)=0$ для $\forall k,$ а $\ddot{x}_k(0)=0$ для $k>1.$

Вот это неясный момент. То что скорости в начальный момент нулевые - это ясно, насчет ускорений - ясно из физических соображений но не очень ясно из математики. Но поверю. Тогда правильно ли я понимаю, что

amon в сообщении #1300473 писал(а):

что все производные от $x_{N+1}$ в нуле равны нулю, вплоть до $N+1$-й.

обобщается на любой шарик кроме первых двух? То есть что все производные от $x_{k}$ в нуле равны нулю, вплоть до $k$-й для $k>2$.

[amon]

wrest в сообщении #1300503 писал(а):

обобщается на любой шарик кроме первых двух?

Вообще на любой: для первого отлична от нуля вторая производная, для второго - четвертая и т.д.

[wrest]

amon в сообщении #1300509 писал(а):

Вообще на любой: для первого отлична от нуля вторая производная, для второго - третья и т.д.

Тогда, чтобы сделать вывод о "практической неподвижности" нижнего, достаточно рассмотреть цепочку из двух шариков (например неравной массы, нижний в $N$ раз тяжелее верхнего)?

[amon]

wrest в сообщении #1300513 писал(а):

цепочку из двух шариков

Два все-таки маловато будет, хотя эффект частично сохранится. Отличия видны, если нарисовать $t^4$ и, скажем, $t^{10}$ на промежутке от 0 до 1. Я там третью производную на четвертую поправил. Третья нулем будет, а Вы меня не поймали, значит сами не проверили ;)

[wrest]

amon в сообщении #1300640 писал(а):

а Вы меня не поймали, значит сами не проверили ;)

Да, в разложении только четные производные остаются.
Я нашел еще статью (написано что статья для математиков, думаю вам и pogulyat_vyshel понравится) где это расписывается : https://www.princeton.edu/~rvdb/WebGL/slinky.pdf

[amon]

wrest в сообщении #1300716 писал(а):

Я нашел еще статью (написано что статья для математиков)

Ну, это они загнули. Статья (и задача) для студентов 3-го курса. Единственный забавный факт - неподвижность нижнего витка, получается элементарными средствами. Раз такая пьянка пошла, выведу то, что из Вас вынуть хотел - переход к волновому уравнению, заодно спинной мозг потренируете.

Итак, есть длинная тяжелая пружинка. Если разбить её на кусочки и каждый кусочек длиной $\Delta$ заменить на его массу $m$ и пружинку жесткостью $K,$ то получится уравнение

$$m\ddot{x}_n=K(x_{n+1}-x_n)-K(x_n-x_{n-1})-mg.$$

С ним такая сложность. Величины $m$ и $K$ зависят от того, на сколько кусочков я разрежу пружинку, причем $m$ пропорциональна $\Delta,$ а $K$ обратно пропорциональна, и $\Delta$ из уравнения не уходит. Тогда перейдем от масс и жёсткостей, к плотности и модулю Юнга: $m=\rho\Delta,\,K=\frac{E}{\Delta}$ ($E$ определяется из $\frac{\Delta l}{l}=\frac{F}{E}$). Получим

$$\ddot{x}_n=\frac{E}{\rho}\frac{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}{\Delta^2}-g\rho$$

При $\Delta\to0$ справа стоит вторая производная по координате и получается волновое уравнение. Это все выполняется везде, кроме последних звеньев.. Там будет $\rho\Delta\ddot{x}=E\frac{x_{N+1}-x_{N}}{\Delta}$ и аналогично на другом конце. В результате получим (координата вдоль "длинной тяжелой пружины" обозначена за $y$)

$$ \begin{align} \frac{\partial^2x}{\partial t^2}&=\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2x}{\partial y^2}-g\rho\\ \frac{\partial x(t,0)}{\partial y}&=\frac{\partial x(t,L)}{\partial y}=0\\ x(0,y)&=\frac{\rho g}{E}(2yL-y^2). \end{align} $$

Вот и вся премудрость. К стати, в приеденной Вами статье на пятой странице сверху, по-моему, какой-то бред написан.

[wrest]

amon
У растянутой под собственным весом пружины "линейная плотность" существенно меняется от верха к низу, а вы как режете (это мне не понятно) -- на кусочки одинаковой длины или одинаковой массы? Тогда и переход к модулю Юнга вместо жесткости, по-моему, требует пояснений.

[wrest]

amon
Помогите пож-ста разобраться со статьями

https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17301
M. G. Calkin, “Motion of a falling spring,” Am. J. Phys. 61, 261–264 (1993)

и

https://arxiv.org/abs/1208.4629
R. C. Cross, M. S. Wheatland, "Modeling a falling slinky"

Вторая ссылается на первую.
Там вводят непонятную координату $\xi$ следующим образом

Цитата:

We denote points on the spring by a dimansionless variable $\xi$, with $\xi=0$ at the upper end, $\xi=1$ at the lower end, and the difference in $\xi$ between any two point equal to the fraction of the mass of the spring between the two points. The motion of the spring is then described by giving the location $y(\xi,t)$ of all points $\xi$ of the spring as functions of time $t$. The variable $y(\xi,t)$ is measured positive downward from the initial point of support.

Я не понимаю что такое это $\xi$
В момент времени $t=0$ еще понятно: $\xi=0$ обозначает точку подвеса, $\xi=1$ обозначает нижний конец растянутой пружины. Даже понятно, что точка $\xi=1/2$ должна указывать на центр масс пружины. Но потом там пишут что типа "Как хорошо известно, функция $y(\xi,t)$ удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
$m\dfrac{\partial ^2y}{\partial t^2}=k\dfrac{\partial ^2y}{\partial \xi ^2}+mg$

У вас тоже есть неясное место

amon в сообщении #1300772 писал(а):

координата вдоль "длинной тяжелой пружины" обозначена за $y$

Если $y$ это координата вдоль пружины, то что тогда $x$?

[amon]

wrest в сообщении #1302931 писал(а):

Если $y$ это координата вдоль пружины, то что тогда $x$?

Продолжаем тренировку спинного мозга. Пусть у нас для простоты не пружинка, а резинка. Пока резинка не растянута, я каждую ее точку "пронумерую" координатой этой точки $y.$ Теперь я растянул резинку. Каждая точка нерастянутой резинки $y$ переместилась в точку $x(y).$ Буковка $y$ в такой записи как-то "нумерует" точки резинки, а $x(y,t)$ показывает дальнейшую судьбу пронумерованных таким способом точек. Это называется Лагранжевыми координатами. Можно поступить по-другому, и ввести Эйлеровы координаты. Для этого я приложу резинку к неподвижной линейке и буду следить за скоростями, плотностями и т.п. на фиксированном делении линейки. В первом (Лагранжевом) случае я раскрасил резинку, а во втором - пространство. Ясно, что одно можно выразить через другое. В статье в качестве Лагранжевой координаты принята величина $\xi,$ определенная как относительная координата нерастянутой пружины.

[wrest]

amon
То есть, $\xi=1/2$ это НЕ центр масс пружины?

[amon]

wrest в сообщении #1303052 писал(а):

То есть, $\xi=1/2$ это НЕ центр масс пружины?

Какой пружины? Если не растянутой, то центр, а если растянутой, то вообще говоря, нет. Разные половинки растянулись по-разному, и центр масс уехал. $\xi=1/2$ означает, что масса части с $\xi>1/2$ равна массе с $\xi<1/2,$ но растянуты эти части могут быть по всякому.