Унитарное преобразование

[AlexDem]

Ага, идея проверки (и, похоже, разложения по базису) ясна, с нюансами постараюсь разобраться...

Всё же беспокоит тот вопрос насчёт линейности - где у меня прокол.

[Freude]

Вы в первом случае дельта-функцию, когда вносили в скобку, не умножили на второе слагаемое.

Добавлено спустя 50 секунд:

Да и умножили как-то странно.

$$\left[-\frac{d^2}{dx^2}+\delta(x)\right]\left(f(x) + g(x)\right)$$

=

$$-\frac{d^2f(x)}{dx^2} -\frac{d^2g(x)}{dx^2} + \delta(x)f(x)+\delta(x)g(x)$$

Пустяковая описка

[AlexDem]

По-моему, там умножения вообще нет - я принимал оператор как "функцию" от функций-аргументов, но что-то как-то не так... А как правильно?

[Freude]

Цитата:

оператор как "функцию" от функций-аргументов

Это мне непонятно. Т.е. понятно, но почему такой результат после умножения (действия оператора) - непонятно. А как у вас определен оператор, обозначенный дельта-функцией? Самый главный вопрос: он линеен вообще?

[AlexDem]

Примерно так:
Пусть у нас есть функция $h(x) = ax + b$, тогда, очевидно, $h(\alpha + \beta) = a(\alpha + \beta) + b = a\alpha + a\beta + b \ne h(\alpha) + h(\beta) = a\alpha + a\beta + 2b$

То же самое - в случае операторов, это же Функции над функциями. Только в нашем случае $b$ - уже не константа, а некоторая функция.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Freude писал(а):

А как у вас определен оператор, обозначенный дельта-функцией? Самый главный вопрос: он линеен вообще?

Это не у меня, а у Аурелиано Буэндиа. А линейность как раз я и проверял... Хотя, если дельта-функцию понимать как оператор, то может это и есть причина недоразумения...

[Freude]

Отвечаю по существу темы о том, бывают ли нефизичные операторы. В хорошей теории все принципиальные физические ограничения формулируются математически, либо специально оговариваются области применимости этой теории. В квантовой механике, насколько я знаю, область применимости ничем не ограничена. Все ограничения сформулированы математически. Например эрмитовость оператора. Это не означает, что все, подходящие с точки зрения квантовой механики, операторы могут найти применение. Второй закон Ньютона в классической механике считается верным и никто не вводит каких-либо ограничений. Но, врядли можно придумать физическую реализацию этого закона для массы равной $10^{1000}$ , хотя формально ограничений на массу нет(в классической механике).

Добавлено спустя 10 минут 49 секунд:

Я думаю, что линейный, почему он нелинейным должен быть?

[Freude]

AlexDem писал(а):

Примерно так:
Пусть у нас есть функция $h(x) = ax + b$, тогда, очевидно, $h(\alpha + \beta) = a(\alpha + \beta) + b = a\alpha + a\beta + b \ne h(\alpha) + h(\beta) = a\alpha + a\beta + 2b$
.

При таком определении, в данном случае, получается, что оператор нелинейный.

[AlexDem]

Да, та функция - нелинейная, и подобный оператор тоже будет нелинейным. Только я, похоже, $V(q)$ (или, в том примере - $\delta(x)$) зря счёл функцией. Похоже, это тоже оператор, и тогда всё получается. Не соображу только, куда в этот $V(q)$ пристроить аргумент...

Примеров бы найти простых несколько, было бы проще сообразить...

[Freude]

Вы имеете в виду аргумент, который является функцией, на которую действует оператор? Если да, то, думаю, никуда. Это символическая запись. Т.е. оператор не обязан быть аналитической функцией от функции. Оператор - это всего лишь правило по которому заднной функции (вектору) сопоставляют другую функцию (вектор) из определенного пространства. Например, операторы типа:
$\frac{df(q)}{dq}$, $\int f(q) dq$

В данном случае "аргумент" $f(q)$. Эти операторы не есть аналитические функции от функции.

[AlexDem]

Это понятно. И аналитичности никто и не требует... Функция, кстати, в точности то же самое - одному элементу пространства она ставит в соответствие другой.

Что означает $\delta(x)g(x)$ в нашем случае? Если умножение - то на каком основании?

[Freude]

Цитата:

Что означает $\delta(x)g(x)$ в нашем случае? Если умножение - то на каком основании?

Да, просто умножение слева. Основание - конвенция, т.е. договор. Ну если хотите, вычитайте Только оговорите это вначале. Забавный оператор получится:
$\Delta=\delta(x)-$

Но думаю он избыточен, т.е. можно избежать этого обозначения.

[AlexDem]

Я-то вычту, но ответ будет неверным тогда

[Freude]

Да, будет ошибка, потому что способ действия оператора (в данном случае потенциальной энергии) на функцию в квантовой механике cтрого определен - это умножение cлева. Если вы придумаете свой оператор, то сразу и определите каким образом он действует на функцию и какие его свойства.

[AlexDem]

Если не сложно - ткните меня носом, где это написано, сам я вряд ли найду.

[Freude]

ОК. Пожалуй вот.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0% ... A%D0%B0%29
А именно:

Цитата:

* Оператор потенциальной энергии:

$\hat{U}=U(x,y,z,t).$

Действие оператора здесь сводится к умножению на функцию.

Очень плохая статья, но быстро нашел.
Вы это найдете в учебнике, например
http://lib.mexmat.ru/books/5690

Совет от новичка (в данный момент я пытаюсь освоить методы квантовой механики): уделите время на освоение формализма бра- и кет-векторов. С ними все записи станут компактными. Формализм бра-/кет-векторов, ИМХО, очень удобен и располагает к пониманию.