Унитарное преобразование

[AlexDem]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

не каждое взаимодействие можно реализовать на практике

Да, это и есть ответ, но мне бы хотелось знать - почему. То есть это, например, нереализуемо при текущем развитии техники, или же - нереализуемо принципиально. Если второе - может подскажете, где можно поподробнее почитать про эти принципиальные ограничения.

[Аурелиано Буэндиа]

приложения КМ тоже очень разрослась. Ну вот вам пример. Допустим вы решаете задачу по квантам и у вас получилось, что $<\psi|\psi>=0$ значит решение $|\psi>$ не физичное, хотя думаю найдутся и такие которые с этим будут спорить... =)

Добавлено спустя 23 минуты 42 секунды:

некоторые технические сложности будут по-видимому решены в будущем, но принципиальные препятствия, такие как соотношение неопредел. Гейзенберга, по-видимому не преодолеть. Не знаю что вам посоветовать, я серьезно КК не занимаюсь, а вы читали
http://lib.mexmat.ru/books/5567

[AlexDem]

На первый взгляд, это не тот пример... Если операторы у нас унитарные, то они сохраняют норму, поэтому если первоначальное состояние у нас было допустимым, то и конечное - тоже будет. Хотя, возможно, я не уловил суть примера. В любом случае - это математика.

Интересует же исключительно экспериментальная физика - то есть такой случай, когда математически оператор легален, а физически - соответствующий гамильтониан принципиально нереализуем (и соответственно - те принципы, почему не реализуем).

Добавлено спустя 2 минуты 10 секунд:

Аурелиано Буэндиа писал(а):

некоторые технические сложности будут по-видимому решены в будущем, но принципиальные препятствия, такие как соотношение неопредел. Гейзенберга, по-видимому не преодолеть.

Нет, объёмной литературы по КК я не читал, только несколько статей, да и то - довольно давно. Неопределённости Гейзенберга здесь, по-моему, ни при чём - ведь мы не связываемся здесь с процессом измерения.

[Аурелиано Буэндиа]

хорошо, вот вам пример. Оператор

$$ H=-\frac{d^2}{dx^2}+\delta(x) $$

легален, но как его реализовать?

[AlexDem]

Для меня было бы лучше начать с примеров попроще, и привести хотя бы пример оператора, который реализовать можно. А с дельта-функцией - я даже не уверен, будет ли этот оператор линейным. Могу предположить, что он требует некоторой особенности, сингулярности полей - не так?

Кстати, если мы возьмём какой-нибудь конкретный вектор состояния $\varphi = (1\ 0\ 0\ 0)'$ (пусть это будет состояние двух электронов со спинами вверх), то какая матрица может соответствовать такому оператору над этим вектором?

[PSP]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

PSP писал(а):

такие конфигурации, которые гамильтонианом описыватиься не смогут

Конфигурации чего? Полей? Каких именно полей? Приведите пример!

Сейчас навсидку сказать не могу, но точно знаю, что теории с фундаментальной длиной гамильтоновым формализмом описаны быть не могут,только лагранжев формализм работает..
Насколько помню, это есть вроде у Киржица..Поищу..

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

AlexDem писал(а):

Может тогда перенесём прямой вопрос насчёт "конфигураций, которые гамильтонианом описыватиься не смогут" - в отдельную тему?

Согласен.Создать тему?

[AlexDem]

PSP писал(а):

Создать тему?

Если у участников будет много, что сказать - то лучше создать, а то здесь и так непросто разобраться

[Dolopihtis]

В принципе, здесь можно ограничитья и классической механикой. Вот например гамильтониан $H = p^2q^3$.Можно-ли найти реальную систему с таким гамильтонианом ? Мне кажется, что нет.

[Аурелиано Буэндиа]

AlexDem писал(а):

Могу предположить, что он требует некоторой особенности, сингулярности полей - не так?

"полевая сингулярность" это абстракция, на практике не существует способа убедиться ее в существовании...

AlexDem писал(а):

Кстати, если мы возьмём какой-нибудь конкретный вектор состояния $\varphi = (1\ 0\ 0\ 0)'$ (пусть это будет состояние двух электронов со спинами вверх), то какая матрица может соответствовать такому оператору над этим вектором?

Вот здесь есть примеры

Dolopihtis писал(а):

Вот например гамильтониан $H = p^2q^3$.Можно-ли найти реальную систему с таким гамильтонианом ?

А катушка с переменной индуктивностью не подойдет $E=L(q)I^2/2$?

[Dolopihtis]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А катушка с переменной индуктивностью не подойдет $E=L(q)I^2/2$?

Подойдет, но только это уже не механика и даже не электродинамика.

[Freude]

Цитата:

Вот например гамильтониан $H = p^2q^3$.Можно-ли найти реальную систему с таким гамильтонианом ?

Что то подобное используется в теории эффективной массы:

$$H=\frac{p^2}{2m(q)}$$

Но он не всегда эрмитов, поэтому вместо него используют вот что:

$$H=p \frac{1}{2m(q)} p$$

или

$$H=p^2 \frac{1}{4m(q)} + \frac{1}{4m(q)} p^2 $$

Т.е. процесс следующий - носитель заряда движется в полупроводнике с переменной эффективной массой, например в гетероструктуре. Про эти гамильтонианы много статей понаписано. Дело в том, что существует много возможных аппроксимаций и не знали долго какую выбрать.

[AlexDem]

Freude, а есть какой-нибудь способ определить, эрмитов оператор или нет, кроме как по матрице? То есть - я по приведённой записи оператора совершенно не вижу, чем отличаются в плане эрмитовости два Ваших варианта.

Добавлено спустя 24 минуты 43 секунды:

И та же линейность...

Аурелиано Буэндиа писал(а):

хорошо, вот вам пример.

$$ H=-\frac{d^2}{dx^2}+\delta(x) $$

У меня получилось так:

$$\left[-\frac{d^2}{dx^2}+\delta(x)\right]\left(f(x) + g(x)\right)$$

=

$$-\frac{d^2f(x)}{dx^2} -\frac{d^2g(x)}{dx^2} + \delta(x)$$

что не равно:

$$\left[-\frac{d^2}{dx^2}+\delta(x)\right]\left(f(x)\right) + \left[-\frac{d^2}{dx^2}+\delta(x)\right]\left(g(x)\right)$$

=

$$-\frac{d^2f(x)}{dx^2} -\frac{d^2g(x)}{dx^2} + 2\delta(x)$$

То есть $H(f + g) \ne H(f) + H(g)$... Это, конечно, потому, что я таких примеров не решал, потому как и в общем случае для одной частицы гамильтониан записывается как:

$$H = -\frac{1}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(q)$$

, но куда девается эта двойка в последнем случае?

[Freude]

Лично я это по матрице определял, после того, как записал эти оператры в соответствующей системе базисных функций.

Небольшая поправка к записи. Изначально оператор такой:

$$H=\frac{1}{2m(q)} p^2$$

[AlexDem]

Freude писал(а):

Лично я это по матрице определял, после того, как записал эти оператры в соответствующей системе базисных функций.

А это сложно делается? Где бы подсмотреть

[Freude]

Придумал как проверить. Обозначим $\frac{1}{2m(q)}=A$ Предположим, мы знаем собственные вектора оператора импульса $|i>$ и его собственные значения $p_i$ , тогда гамильтониан в представлении этих векторов будет иметь вид:

$H=\sum_i p_i^2 A |i><i||i><i|=\sum_i p_i^2 A |i><i|$

Теперь можно его проверить на эрмитовость следующим образом, воспользовавшись свойством из определения http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1% ... 0%BE%D1%80


$<n|H|m>=\sum_i p_i^2 <n|A|i><i|m> = \sum_i p_i^2 <n|A|i> \delta_{im}=$
$=p_i^2 <n|A|i>$
$<m|H|n>=\sum_i p_i^2 <m|A|i><i|n> = \sum_i p_i^2 <m|A|i> \delta_{in}=$
$=p_i^2 <m|A|i>$

Таким образом, он необязательно эрмитов потому что $<n|A|i>=<m|A|i>$ не справедливо во всех случаях.

Берем следующий оператор:

$H=\sum_i p_i^2 |i><i| A |i><i|$

$<n|H|m>=\sum_i p_i^2 <n |i> <i| A |i><i|m>=<i| A |i>$
$<m|H|n>=\sum_i p_i^2 <m |i> <i| A |i><i|n>=<i| A |i>$

Очевидно он эрмитов при любых А. Точно так же можно проверить для третьего.

Единственное, я проверял на эрмитовость в пространстве собственных векторов оператора импульса, поэтому пользовался тем, что $<i|j>=\delta_{ij}$

Добавлено спустя 8 минут 24 секунды:

Посмотреть о таких операторах можно тут:

Цитата:

Yung K.C. and Yee J.H., "Derivation of the modified Schroedinger equation for a particle with a spatially varying mass through path integrals," Phys Rev B, v 50, 104 (1994)
Dekar L et al, "Wave function for smooth potential and mass step," Phys Rev B, v 59, 107 (1999)

Там ссылки в конце на более ранние работы, где показывается проблема с эрмитовостью. В этих работах говорят, что особенно все плохо, когда координатная зависимость эффективной массы имеет особенность.

Добавлено спустя 19 минут 51 секунду:

Цитата:

А это сложно делается?

Думаю изначально это получили методом научного тыка. Т.е. записали гамильтониан $H$ с переменной массой. Выбрали какой-то базис $|1>....|N>$, получили численную матрицу $<i|H|j>$, начали диагонализировать, а сосбственные значения оказались комплексными. Вот тут и началось.