ДУ с обобщенной функцией.

[amon]

Sicker в сообщении #1292570 писал(а):

эта штука может равняться просто бесконечности?

$\varphi$ - очень приличная, уважающая себя функция, ограниченная в нуле. Поэтому никакой бесконечности не будет, как бы того не домогались.

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1292573 писал(а):

Рукомахательство.

Щас распишу все подробно, но я вроде понятно объяснил.

-- 15.02.2018, 01:55 --

amon в сообщении #1292574 писал(а):

$\varphi$ - очень приличная, уважающая себя функция, ограниченная в нуле.

Если $\varphi$ в нуле ноль, тогда и дельта от нуля даст ноль. Т.е. что прибавляй дельту, что нет, это один и тот же функционал получается.

[amon]

Sicker в сообщении #1292576 писал(а):

Если $\varphi$ в нуле ноль

Вы разницу между ограниченной в нуле и равной нулю в нуле ощущаете?

[Sicker]

amon в сообщении #1292578 писал(а):

Вы разницу между ограниченной в нуле и равной нулю в нуле ощущаете?

А что тогда такое "ограничена в нуле"?

[Sicker]

ясно понятно

[pogulyat_vyshel]

Если $\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ и $D\subset \mathbb{R}$ -- любое ограниченное множество, содержащее носитель $\psi$ то верна формула

$$\psi(x)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\psi^{(k)}(0)x^k\chi_D(x)+\rho(x)\chi_D(x),$$

где
$\chi_D$ -- индикатор множества $D$, а функция $\rho\in C^\infty(\mathbb{R})$ такова, что $|\rho(x)\chi_D(x)|\le const\cdot|x|^{n+1},\quad \forall x$

[Red_Herring]

Подсказка: записать $\int _{\infty} ^\infty (x+i\varepsilon)^{-1}\phi(x)\dx$ как $\int_{\Gamma_\varepsilon} z^{-1}\phi (\Re z)\, dz$, затем продеформировать контур до $\Gamma'_\varepsilon$. Разумеется, $z^{-1}\phi (\Re z)$ неаналитична, но можно воспользоваться формулой Грина $\oint_L F(x,y)\,dz =2i \iint_D \partial_{\bar{z}}F \, dxdy$, где $\partial_{\bar{z}}= \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)$.

\begin{tikzpicture} \draw[ultra thin,->] (-3.5,0)--(3.5,0); \draw[ultra thin,->] (0,-2)--(0,2); \draw[blue,thick] (-3,.5)--(3,.5) node[above] {$\Gamma_\varepsilon}$}; \draw [red,thick] (-3,0)--(-.5,0) arc (180:00:.5) --(3,0) node[below] {$\Gamma'_\varepsilon}$};; \end{tikzpicture}

[pogulyat_vyshel]

по-моему так проще:

$$\int_\mathbb{R}\frac{\psi(x)}{x+i\epsilon}dx=\int_\mathbb{R}\frac{x\psi(x)}{x^2+\epsilon^2}dx-i\epsilon\int_\mathbb{R}\frac{\psi(x)}{x^2+\epsilon^2}dx$$

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1292625 писал(а):

по-моему так проще:

Для дельты--да. Получение же v.p. не вполне очевидно. Ну, и обобщение а произвольные аналитические тем более. Впрочем, там вместо $\phi (x)$ надо брать более сложное "почти аналитическое" продолжение, т.ч. $|\partial_{\bar{z}} \tilde{\phi}|\le C |\Im z|^M$

[v_n]

Дурацкая задача. И хотя по Red_Herring решение формально правильное оно все равно оставляет тебя в недоумении. А если это задача из физики и ты задумался а откуда она взялась, то могло быть так. Первичное уравнение $\frac{dg(x(t))}{dt}=a(t)$, где все функции гладкие привели к виду $x'(t)=f(x(t))a(t), f(x(t))=1/g'(x(t))$. Вроде бы вполне эквивалентное преобразование. А потом вдруг сказали а давайте решим это уравнение если $a(t)=\delta(t)$. И получили бы решение Red_Herring. А верное ли это решение для первичного уравнения? Конечно нет. Первичное уравнение с $a(t)=\delta(t)$, как легко видеть имеет решение $x(t)=c\theta(t)$, где $c$ решение уравнения $g(c)-g(0)=1$. Где же мы проколись. Ах да, даже если мы можем придать какой-то смысл функции от обобщенной функции, то не надо забывать, что тогда правило дифференцирования сложной функции скорее всего не будет работать.

[Red_Herring]

v_n в сообщении #1292630 писал(а):

Дурацкая задача.

Как я писал "нормальная задача на понимание", т.е. "учебная задача". Кстати, нигде функции от обобщенных функций не фигурируют. Функции от кусочно-гладких (в частности, кусочно-постоянных)--да. То, что преобразование неэквивалентное--факт тривиальный и наблюдаемый в изрядном количестве задач. Например при изучении Бюргерса (без вязкости) $u_t+u u_x=0$, а точнее

\begin{equation*} u_t +\frac{1}{2}(u^2)_x=0,\tag{*} \end{equation*}

которое на функциях с разрывами дополнено экстра условием

\begin{equation*} \frac{1}{2}(u^2)_t +\frac{1}{3}(u^3)_x\le 0.\tag{**} \end{equation*}

При этом (*) эквивалентно (**) с равенством (только) на непрерывных функциях.

Более того, предполагаемое вами исходное уравнение $\partial_x g(x(t))=\delta(t)$ имеет много решений. Если функция $g$ монотонна, то решениями будут $x(t)=c_\pm$ при $x \gtrless 0$, при условии, что $g(c_+)-g(c_-)=1$.

А вот при немонотонной $g$ лезет очень много решений: решение может "перескочить" с $c$ на $c'$ в произвольной точке $T$, при условии, что $g(c)=g(c')$. T.e. будет слишком много решений, и если это задача из физики, то следует добавить некоторые условия, отсеивающие лишние решения. А без него будет "нормальная задача на понимание", т.е. "учебная задача". И на экзамене за потерянные решения (случаи) студенту бы больше "половинки" не светило бы :(.