2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1292570 писал(а):
эта штука может равняться просто бесконечности?
$\varphi$ - очень приличная, уважающая себя функция, ограниченная в нуле. Поэтому никакой бесконечности не будет, как бы того не домогались.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:54 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
pogulyat_vyshel в сообщении #1292573 писал(а):
Рукомахательство.

Щас распишу все подробно, но я вроде понятно объяснил.

-- 15.02.2018, 01:55 --

amon в сообщении #1292574 писал(а):
$\varphi$ - очень приличная, уважающая себя функция, ограниченная в нуле.

Если $\varphi$ в нуле ноль, тогда и дельта от нуля даст ноль. Т.е. что прибавляй дельту, что нет, это один и тот же функционал получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1292576 писал(а):
Если $\varphi$ в нуле ноль
Вы разницу между ограниченной в нуле и равной нулю в нуле ощущаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 02:49 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon в сообщении #1292578 писал(а):
Вы разницу между ограниченной в нуле и равной нулю в нуле ощущаете?

А что тогда такое "ограничена в нуле"?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 04:33 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
:lol1: ясно понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 10:45 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Если $\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ и $D\subset \mathbb{R}$ -- любое ограниченное множество, содержащее носитель $\psi$ то верна формула
$$\psi(x)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\psi^{(k)}(0)x^k\chi_D(x)+\rho(x)\chi_D(x),$$ где
$\chi_D$ -- индикатор множества $D$, а функция $\rho\in C^\infty(\mathbb{R})$ такова, что $|\rho(x)\chi_D(x)|\le const\cdot|x|^{n+1},\quad \forall x$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 11:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Подсказка: записать $\int _{\infty} ^\infty (x+i\varepsilon)^{-1}\phi(x)\dx$ как $\int_{\Gamma_\varepsilon} z^{-1}\phi (\Re z)\, dz$, затем продеформировать контур до $\Gamma'_\varepsilon$. Разумеется, $z^{-1}\phi (\Re z)$ неаналитична, но можно воспользоваться формулой Грина $\oint_L F(x,y)\,dz =2i \iint_D \partial_{\bar{z}}F \, dxdy$, где $\partial_{\bar{z}}= \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)$.

\begin{tikzpicture}
\draw[ultra thin,->] (-3.5,0)--(3.5,0);
\draw[ultra thin,->] (0,-2)--(0,2);

\draw[blue,thick] (-3,.5)--(3,.5) node[above] {$\Gamma_\varepsilon}$};
\draw [red,thick] (-3,0)--(-.5,0) arc (180:00:.5) --(3,0) node[below] {$\Gamma'_\varepsilon}$};;
\end{tikzpicture}

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 11:27 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
по-моему так проще:
$$\int_\mathbb{R}\frac{\psi(x)}{x+i\epsilon}dx=\int_\mathbb{R}\frac{x\psi(x)}{x^2+\epsilon^2}dx-i\epsilon\int_\mathbb{R}\frac{\psi(x)}{x^2+\epsilon^2}dx$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1292625 писал(а):
по-моему так проще:

Для дельты--да. Получение же v.p. не вполне очевидно. Ну, и обобщение а произвольные аналитические тем более. Впрочем, там вместо $\phi (x)$ надо брать более сложное "почти аналитическое" продолжение, т.ч. $|\partial_{\bar{z}} \tilde{\phi}|\le C |\Im z|^M$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 11:52 


13/11/13
28
Дурацкая задача. И хотя по Red_Herring решение формально правильное оно все равно оставляет тебя в недоумении. А если это задача из физики и ты задумался а откуда она взялась, то могло быть так. Первичное уравнение $\frac{dg(x(t))}{dt}=a(t)$, где все функции гладкие привели к виду $x'(t)=f(x(t))a(t), f(x(t))=1/g'(x(t))$. Вроде бы вполне эквивалентное преобразование. А потом вдруг сказали а давайте решим это уравнение если $a(t)=\delta(t)$. И получили бы решение Red_Herring. А верное ли это решение для первичного уравнения? Конечно нет. Первичное уравнение с $a(t)=\delta(t)$, как легко видеть имеет решение $x(t)=c\theta(t)$, где $c$ решение уравнения $g(c)-g(0)=1$. Где же мы проколись. Ах да, даже если мы можем придать какой-то смысл функции от обобщенной функции, то не надо забывать, что тогда правило дифференцирования сложной функции скорее всего не будет работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
v_n в сообщении #1292630 писал(а):
Дурацкая задача.


Как я писал "нормальная задача на понимание", т.е. "учебная задача". Кстати, нигде функции от обобщенных функций не фигурируют. Функции от кусочно-гладких (в частности, кусочно-постоянных)--да. То, что преобразование неэквивалентное--факт тривиальный и наблюдаемый в изрядном количестве задач. Например при изучении Бюргерса (без вязкости) $u_t+u u_x=0$, а точнее

\begin{equation*}
u_t +\frac{1}{2}(u^2)_x=0,\tag{*}
\end{equation*}

которое на функциях с разрывами дополнено экстра условием

\begin{equation*}
\frac{1}{2}(u^2)_t +\frac{1}{3}(u^3)_x\le 0.\tag{**}
\end{equation*}

При этом (*) эквивалентно (**) с равенством (только) на непрерывных функциях.

Более того, предполагаемое вами исходное уравнение $\partial_x g(x(t))=\delta(t)$ имеет много решений. Если функция $g$ монотонна, то решениями будут $x(t)=c_\pm$ при $x \gtrless 0$, при условии, что $g(c_+)-g(c_-)=1$.

А вот при немонотонной $g$ лезет очень много решений: решение может "перескочить" с $c$ на $c'$ в произвольной точке $T$, при условии, что $g(c)=g(c')$. T.e. будет слишком много решений, и если это задача из физики, то следует добавить некоторые условия, отсеивающие лишние решения. А без него будет "нормальная задача на понимание", т.е. "учебная задача". И на экзамене за потерянные решения (случаи) студенту бы больше "половинки" не светило бы :(.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group