Дурацкая задача.
Как я писал "нормальная задача на понимание", т.е. "учебная задача". Кстати, нигде функции от обобщенных функций не фигурируют. Функции от кусочно-гладких (в частности, кусочно-постоянных)--да. То, что преобразование неэквивалентное--факт тривиальный и наблюдаемый в изрядном количестве задач. Например при изучении Бюргерса (без вязкости)
, а точнее
которое на функциях с разрывами дополнено экстра условием
При этом (*) эквивалентно (**) с равенством (только) на непрерывных функциях.
Более того, предполагаемое вами исходное уравнение
имеет много решений. Если функция
монотонна, то решениями будут
при
, при условии, что
.
А вот при немонотонной
лезет очень много решений: решение может "перескочить" с
на
в произвольной точке
, при условии, что
. T.e. будет слишком много решений, и если это задача из физики, то следует добавить некоторые условия, отсеивающие лишние решения. А без него будет "нормальная задача на понимание", т.е. "учебная задача". И на экзамене за потерянные решения (случаи) студенту бы больше "половинки" не светило бы :(.