ДУ с обобщенной функцией.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1291511 писал(а):

ны

$$(x-a\pm i0)^{-1}=x^{-1}\mp \pi i\delta (x),$$

в таком виде формула верна лишь при $a=0$ кстати хорошее упражнение для Sicker

-- 10.02.2018, 15:46 --

перепишу

$$\frac{1}{x+i0}=v.p.\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$$

задача: доказать

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291603 писал(а):

в таком виде формула верна лишь при $a=0$ кстати хорошее упражнение для Sicker
задача: доказать

Спасибо, исправил. Sicker, вперед и с песнями!

[amon]

Red_Herring, спасибо!
Я привел это как пример того, что стандартные ограничения (при перемножении обобщенных функций особенности не должны накладываться) для нас, потребителей вашей математической продукции, слишком жесткие. Вы элегантно это объехали на кривой козе, а мы, убогие, в лоб проинтегрируем "по вычетам" исходное выражение, убедимся, что ответ от $a$ и $b$ не зависит и положим их равными нулю. Меня дети периодически мучают вопросом: "Как же так, у Владимирова написано, что обобщенную функцию можно только на бесконечно дифференцируемую умножать, а вы тут всё подряд перемножаете и не краснеете!"

[Red_Herring]

amon в сообщении #1291642 писал(а):

Я привел это как пример того, что стандартные ограничения (при перемножении обобщенных функций особенности не должны накладываться) для нас, потребителей вашей математической продукции, слишком жесткие. Вы элегантно это объехали на кривой козе,

Нет, извините, это Вы на кривой, к к тому же нелицензионной, козе в данном случае объезжаете ...
Безусловно, очень часто стандартные ограничения слишком жесткие для потребителей, но не в этом случае

Ну и умным детям отвечать так надо: "У Владимирова написано общее правило. Но обобщенные функции сингулярности $s$ (т.е. которые по непрерывности распространяются на $C_0^s$), можно умножать на функции из $C^s$. В частности, $\delta$ умножается на функции из $C$, $\delta'$ умножается на функции из $C^1$, и т.д."

Kстати ещё одно хорошее упражнение для Sicker:
Упростить: $x\delta'(x)$
Sicker, вперед и с песнями!

[Sicker]

С радостью!
А что такое $+i0$? Это сдвиг этой функции на бесконечно малую величину вниз по мнимой оси?

[pogulyat_vyshel]

$$\Big(\frac{1}{x+i0},\psi\Big)=\lim_{t\to 0+}\int_\mathbb{R}\frac{1}{x+it}\psi(x)dx,\quad \psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$$

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1291648 писал(а):

Упростить: $x\delta'(x)$

$x\delta'(x)=-\delta(x)$

[Red_Herring]

Sicker

[Sicker]

Red_Herring
очепятка

[Red_Herring]

Цитата:

Вот теперь тебя люблю я,
Вот теперь тебя хвалю я!
Наконец-то ты, грязнуля,
Мойдодыру угодил!

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291603 писал(а):

перепишу

$$\frac{1}{x+i0}=v.p.\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$$

задача: доказать

Итак, поехали!
Что такое $v.p.$? Главное значение? Но функция $\frac{1}{x}$ вроде не многозначна.
Вообщем, тут довольно просто, нужно посмотреть на интеграл от $\frac{1}{z}$, это будет комплексный логарифм, мнимая часть которого равна фазе комплексного числа. Рассмотрим точку, которая удалена от вещественной оси вверх на бесконечно малую величину в положительную сторону мнимой оси. Если мы будем ее двигать к нулю, то угол будет оставаться почти нулевым, а в какой-то бесконечно малой окрестности нуля начнет возрастать, и после прохождения станет $\pi$, и дальше на любом конечном расстоянии от нуля в сторону отрицательных вещественных значений будет постоянным и равным $\pi$. Т.е. получили функцию ступенька, производная от которой - дельта функция.
Т.е. более формально $\frac{1}{x-i0}-\frac{1}{x+i0}=2\pi i\delta(x)$
Или даже $\frac{1}{x-z_1 0}-\frac{1}{x+z_2 0}=2\pi i\delta(x)$, где $z_1$ и $z_2$ лежат в верхней полуплоскости.

[amon]

Sicker в сообщении #1292567 писал(а):

Что такое $v.p.$? Главное значение? Но функция $\frac{1}{x}$ вроде не многозначна.

Определение:

$$vp\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\varphi(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\left(\int\limits_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}\varphi(x)dx+\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{1}{x}\varphi(x)dx\right) $$

[Sicker]

amon
ясно, т.е. эта штука может равняться просто бесконечности?
А как расшифровывается $vp$?

[amon]

Sicker в сообщении #1292570 писал(а):

А как расшифровывается $vp$?

Valeur principale, извините за мой ранцузский.

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1292567 писал(а):

Вообщем, тут довольно просто, нужно посмотреть на интеграл от $\frac{1}{z}$, это будет комплексный логарифм, мнимая часть которого равна фазе комплексного числа. Рассмотрим точку, которая удалена от вещественной оси вверх на бесконечно малую величину в положительную сторону мнимой оси. Если мы будем ее двигать к нулю, то угол будет оставаться почти нулевым, а в какой-то бесконечно малой окрестности нуля начнет возрастать, и после прохождения станет $\pi$, и дальше на любом конечном расстоянии от нуля в сторону отрицательных вещественных значений будет постоянным и равным $\pi$. Т.е. получили функцию ступенька, производная от которой - дельта функция.

Рукомахательство.

(Оффтоп)

Когда я сталкиваюсь на экзамене с такими потоками сознания, то обычно прошу расписать все аккуратно и подробно. И результат всегда один и тот же: чем с большим апломбом студент заявляет , что все просто и произносит какие-то красивые фразы, тем позорней он притыкается на действительно простых деталях.

-- 15.02.2018, 02:20 --

Sicker в сообщении #1292570 писал(а):

ясно, т.е. эта штука может равняться просто бесконечности?

не может