2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 14:34 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1291511 писал(а):
ны
$$(x-a\pm i0)^{-1}=x^{-1}\mp \pi i\delta (x),$$

в таком виде формула верна лишь при $a=0$ кстати хорошее упражнение для Sicker

-- 10.02.2018, 15:46 --

перепишу
$$\frac{1}{x+i0}=v.p.\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$$
задача: доказать

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1291603 писал(а):
в таком виде формула верна лишь при $a=0$ кстати хорошее упражнение для Sicker
задача: доказать

Спасибо, исправил. Sicker, вперед и с песнями!

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring, спасибо!
Я привел это как пример того, что стандартные ограничения (при перемножении обобщенных функций особенности не должны накладываться) для нас, потребителей вашей математической продукции, слишком жесткие. Вы элегантно это объехали на кривой козе, а мы, убогие, в лоб проинтегрируем "по вычетам" исходное выражение, убедимся, что ответ от $a$ и $b$ не зависит и положим их равными нулю. Меня дети периодически мучают вопросом: "Как же так, у Владимирова написано, что обобщенную функцию можно только на бесконечно дифференцируемую умножать, а вы тут всё подряд перемножаете и не краснеете!"

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
amon в сообщении #1291642 писал(а):
Я привел это как пример того, что стандартные ограничения (при перемножении обобщенных функций особенности не должны накладываться) для нас, потребителей вашей математической продукции, слишком жесткие. Вы элегантно это объехали на кривой козе,

Нет, извините, это Вы на кривой, к к тому же нелицензионной, козе в данном случае объезжаете ...
Безусловно, очень часто стандартные ограничения слишком жесткие для потребителей, но не в этом случае

Ну и умным детям отвечать так надо: "У Владимирова написано общее правило. Но обобщенные функции сингулярности $s$ (т.е. которые по непрерывности распространяются на $C_0^s$), можно умножать на функции из $C^s$. В частности, $\delta$ умножается на функции из $C$, $\delta'$ умножается на функции из $C^1$, и т.д."

Kстати ещё одно хорошее упражнение для Sicker:
Упростить: $x\delta'(x)$
Sicker, вперед и с песнями!

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 22:11 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
С радостью! :D
А что такое $+i0$? Это сдвиг этой функции на бесконечно малую величину вниз по мнимой оси?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 22:45 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
$$\Big(\frac{1}{x+i0},\psi\Big)=\lim_{t\to 0+}\int_\mathbb{R}\frac{1}{x+it}\psi(x)dx,\quad \psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 23:51 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1291648 писал(а):
Упростить: $x\delta'(x)$

$x\delta'(x)=-\delta(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Sicker
:facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение10.02.2018, 23:53 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring
очепятка :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение11.02.2018, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Цитата:
Вот теперь тебя люблю я,
Вот теперь тебя хвалю я!
Наконец-то ты, грязнуля,
Мойдодыру угодил!

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:01 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
pogulyat_vyshel в сообщении #1291603 писал(а):
перепишу
$$\frac{1}{x+i0}=v.p.\frac{1}{x}-i\pi\delta(x)$$
задача: доказать

Итак, поехали!
Что такое $v.p.$? Главное значение? Но функция $\frac{1}{x}$ вроде не многозначна.
Вообщем, тут довольно просто, нужно посмотреть на интеграл от $\frac{1}{z}$, это будет комплексный логарифм, мнимая часть которого равна фазе комплексного числа. Рассмотрим точку, которая удалена от вещественной оси вверх на бесконечно малую величину в положительную сторону мнимой оси. Если мы будем ее двигать к нулю, то угол будет оставаться почти нулевым, а в какой-то бесконечно малой окрестности нуля начнет возрастать, и после прохождения станет $\pi$, и дальше на любом конечном расстоянии от нуля в сторону отрицательных вещественных значений будет постоянным и равным $\pi$. Т.е. получили функцию ступенька, производная от которой - дельта функция.
Т.е. более формально $\frac{1}{x-i0}-\frac{1}{x+i0}=2\pi i\delta(x)$
Или даже $\frac{1}{x-z_1 0}-\frac{1}{x+z_2 0}=2\pi i\delta(x)$, где $z_1$ и $z_2$ лежат в верхней полуплоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1292567 писал(а):
Что такое $v.p.$? Главное значение? Но функция $\frac{1}{x}$ вроде не многозначна.
Определение:
$$vp\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}\varphi(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\left(\int\limits_{-\infty}^{-\varepsilon}\frac{1}{x}\varphi(x)dx+\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{1}{x}\varphi(x)dx\right)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:13 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon
ясно, т.е. эта штука может равняться просто бесконечности?
А как расшифровывается $vp$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #1292570 писал(а):
А как расшифровывается $vp$?
Valeur principale, извините за мой ранцузский.

 Профиль  
                  
 
 Re: ДУ с обобщенной функцией.
Сообщение15.02.2018, 01:16 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Sicker в сообщении #1292567 писал(а):
Вообщем, тут довольно просто, нужно посмотреть на интеграл от $\frac{1}{z}$, это будет комплексный логарифм, мнимая часть которого равна фазе комплексного числа. Рассмотрим точку, которая удалена от вещественной оси вверх на бесконечно малую величину в положительную сторону мнимой оси. Если мы будем ее двигать к нулю, то угол будет оставаться почти нулевым, а в какой-то бесконечно малой окрестности нуля начнет возрастать, и после прохождения станет $\pi$, и дальше на любом конечном расстоянии от нуля в сторону отрицательных вещественных значений будет постоянным и равным $\pi$. Т.е. получили функцию ступенька, производная от которой - дельта функция.

Рукомахательство.

(Оффтоп)

Когда я сталкиваюсь на экзамене с такими потоками сознания, то обычно прошу расписать все аккуратно и подробно. И результат всегда один и тот же: чем с большим апломбом студент заявляет , что все просто и произносит какие-то красивые фразы, тем позорней он притыкается на действительно простых деталях.


-- 15.02.2018, 02:20 --

Sicker в сообщении #1292570 писал(а):
ясно, т.е. эта штука может равняться просто бесконечности?

не может

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group