Лиса, Утка и озеро.

[wrest]

grizzly в сообщении #1290542 писал(а):

Вот этот вопрос я уверенно считаю закрытым по типу квадрата с одной стороны или окружности -- с другой.

Тогда в пределе (при стремлении количества сторон к бесконечности) решение должно свестись к уже решенной задаче для круглого озера и максимуму в скорости Лисы равному 4,603. Соответственно, нужна формула для координаты точки принятия решения Лисой, в которую входит количество сторон и чтобы эта точка стремилась к кругу безопасности при увеличении количества сторон.

[Geen]

wrest в сообщении #1290552 писал(а):

Соответственно, нужна формула для координаты точки принятия решения Лисой

Это если такое принятие решения один раз делается...

[grizzly]

wrest в сообщении #1290552 писал(а):

Соответственно, нужна формула для координаты точки принятия решения Лисой,

Начиная с какого-то количества сторон эта точка станет просто начальной позицией.

-- 06.02.2018, 13:27 --

Для правильных нечётноугольников тоже так будет, наверное.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1290526 писал(а):

Но давайте придем к каким-то конвенциям.

Да, эти соглашения вполне устраивают.

Вот что накопал для траектории выхода утки из центра (лиса стартует из $(0;-1)$ против часовой стрелки) для многоугольников $n=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10$, всё нормировано на минимальное расстояние до границы безопасности, т.е. принято $k=1$ т.к. от величины $k$ вид фигуры совершенно не зависит, она лишь линейно масштабируется (всё кликабельно):

Что интересно: для $n=6, 10$ (и все $n=2+4k$), утка и лиса проходят более 90°. Начальный участок траектории утки, до пересечения диагонали (и перехода лисы на другую сторону) совпадает для любых многоугольников (что собственно очевидно). Ну и приближение траектории к окружности видно глазом. Все траектории заканчиваются в точке когда утка больше не может успеть за лисой (угол между ними начинает уменьшаться). Характерно что для всех многоугольников эта точка находится за пределами фигуры безопасности (правда лишь для мелких она достаточно далеко). Возможно это можно как-то использовать в стратегии утки ...

-- 06.02.2018, 14:27 --

Основной цикл расчёта положений утки:

Используется синтаксис Delphi

xU := 0; yU := 0; angle := 0; //Начальное положение утки, угол отсчитывается от вертикали против часовой стрелки
step := 1e-6; //Шаг по углу, в радианах
k := 1; n := 3; //Относительная скорость лисы и количество сторон многоугольника
while angle < 5*2*pi do //Сделаем до 5 оборотов
begin
        i := 1; while angle > i * pi/n do Inc(i, 2); r := angle - (i - 1) * pi/n; //Нормирование угла до ±pi/n
        s := sin(r) / cos(r); //Начальная позиция лисы для угла angle
        angle := angle + step; //Прирост угла
        s2 := sin(r + step) / cos(r + step); //Конечная позиция лисы после увеличения угла (без проверки пересечения угла)
        s := abs(s2 - s) / k; s2 := s * s; //Путь утки и его квадрат
        r := sqrt(xU * xU + yU * yU) * cos(step);
        xa := -r * sin(angle); ya := r * cos(angle); //Ближайшая к утке точка на новом диаметре
        xb := xa - s * sin(angle); yb := ya + s * cos(angle); //Точка на шаг утки дальше от центра
        if (xa - xU) * (xa - xU) + (ya - yU) * (ya - yU) > s2 then break; //А утка успеет хотя бы по перпендикуляру к диаметру?
        while (abs(xa - xb) > 1e-12) or (abs(ya - yb) > 1e-12) do
        begin //Цикл поиска решения для новых координат утки, делением отрезка пополам
                x := (xa + xb) / 2; y := (ya + yb) / 2;
                r := (x - xU) * (x - xU) + (y - yU) * (y - yU);
                if r > s2 then begin
                        xb := x; yb := y;
                end else begin
                        xa := x; ya := y;
                end;
        end;
        xU := (xa + xb) / 2; yU := (ya + yb) / 2; //Если решение найдено, то перемещаем туда утку и повторяем
end;

-- 06.02.2018, 14:44 --

Куда утка может убежать (с угловой скоростью лисы) из угла треугольника и как в него попадает из точки $(0;0{,}19)$, плюс продемонстрировать вид фигуры безопасности, произвольно принято $k=5$ для засовывания фигуры безопасности внутрь синего берега (тоже кликабельно):

[wrest]

Dmitriy40
А в случае треугольника Лиса бежит из вершины? Это для неё мне кажется странно, так бегать.
В случае остальных нечетных многоугольников Лиса тоже бежит из вершины? Лучше бы нечетные тогда
повернуть, чтобы на юге от центра была не вершина, а середина стороны (т.е. чтобы Лиса была на старте поближе к Утке -- на вписанной окружности а не на описанной).

Dmitriy40 в сообщении #1290564 писал(а):

Характерно что для всех многоугольников эта точка находится за пределами фигуры безопасности

Да, я примерно об этом писал:

wrest в сообщении #1289429 писал(а):

Тут или у Утки не везде внутри квадрата безопасности угловая скорость больше чем у Лисы, или не везде снаружи этого квадрата она меньше.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1290599 писал(а):

А в случае треугольника Лиса бежит из вершины?

Ну разумеется у лисы внизу находится сторона, а не вершина, мне это казалось очевидным и я даже раза 3-4 это уже повторил, что фигура безопасности зеркальна берегу относительно центра. И это даже прямо видно на последней картинке, где есть синий берег и маленький желтый треугольник безопасности. Да, лиса стоит в $(0;-1)$ именно в середине стороны. Чтобы увидеть бег лисы из вершины надо утку поместить на диагональ (или начальный угол задать не нулевым, а равным углу диагонали). Программа это вполне позволяет, я это проверял, ничего особо интересного не обнаружил. Ну вот траектория утки если лиса в самой нижней правой (первой от вертикали против часовой стрелки) вершине (для 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 угольника):

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1290604 писал(а):

мне это казалось очевидным и я даже раза 3-4 это уже повторил, что фигура безопасности зеркальна берегу относительно центра.

Я это видел (1 раз, правда) и прочитал как "подобна озеру с центром подобия в центре озера", но без какого-то зеркалирования\поворотов
А у вас выходит что вершина нечетного многоугольника безопасности "смотрит" на сторону озера, а не на вершину? Тогда мне не очевидно, как это получается "из требования равенства угловых скоростей", поясните?

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1290612 писал(а):

Тогда мне не очевидно, как это получается "из требования равенства угловых скоростей", поясните?

Надеюсь хоть такой чертёж пояснит равенство угловых скоростей и пропорциональность расстояний/путей. Да, из точки L утка может и наружу уплыть, например в точку K', но оттуда она потом не дотянется до следующей прямой RM (радиус окружности Step2 равен отрезку KM). Можете в качестве упражнения нарисовать окружность радиуса KL с центром в K и увидите что самая дальняя от центра точка пересечения её с прямой QL и есть та самая точка L, никаких пересечений дальше от центра больше нет, так что при движении от середины стороны утка проходит точно по стороне многоугольника. Куда ещё подробнее я не знаю, это ж 8 класс школы.
(А что, геогебра не умеет отдавать ссылку на чертёж без входа?)

[wrest]

Dmitriy40
А... равенство угловых скоростей на дальней от Лисы границе фигуры безопасности...
Это да, это очевидно, что тогда так. А у меня в голове всегда была другая картинка: что равные угловые скорости должны быть на ближней границе. Не знаю почему, но вот был уверен что именно так.

[Dmitriy40]

Утка вообще-то бежит ОТ лисы, а не к ней.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1290672 писал(а):

Утка вообще-то бежит ОТ лисы, а не к ней.

Это да, но теперь как-бы теряется смысл фигуры "безопасности" как такой, внутри которой Утка всегда может иметь бОльшую угловую скорость. Теперь фигура безопасности распадается на две зоны - там где всегда и там где иногда. Внутрення зона - это круг, границей которого является окружность, подобная с коэффициентом 1/k вписанной в озеро окружности, а внешняя - кольцо между этим кругом и окружностью, подобной описанной вокруг озера с этим же коэффициентом подобия.

[Dmitriy40]

wrest
Вы не правы, "внутренняя" (по вашей терминологии) область имеет форму не окружности, а треугольника (маленький красный треугольник на рисунке выше), а в общем (невогнутом) случае подобие фигуры берега. Во всём этом треугольнике утка может непрерывно поддерживать угловую скорость лисы, как бы та не металась. И по моему это тоже очевидно. Смысла вводить описанную вокруг безопасной области окружность я не вижу, снаружи утке выгоднее перемещаться по прямой - но тут уже появляется зависимость от стратегии лисы и могут быть варианты ...

[wrest]

Dmitriy40
Если Утка в нижней вершине красного треугольника, а Лиса в середине нижней стороны синего, то угловая скорость Лисы, очевидно, больше.
А вот если в красный треугольник вписать окружность, то внутри неё Утка сможет всегда иметь бОльшую скорость где бы ни находилась Лиса. А снаружи описанной вокруг красного треугольника окружности уже Лиса всегда сможет иметь бОльшую угловую скорость, где бы ни находилась Утка.

[Geen]

Да дались вам эти угловые скорости

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1290684 писал(а):

Если Утка в нижней вершине красного треугольника, а Лиса в середине нижней стороны синего, то угловая скорость Лисы, очевидно, больше.

Во-первых утке нет смысла приближаться к лисе, уже поэтому такое расположение не интересно. Как не интересны и вообще все положения утки и лисы в одной полуплоскости от центра (правильнее писать конечно в одной полуплоскости относительно проходящей через центр прямой, перпендикулярной направлению из центра на лису). Если с этим не согласны - приведите пример преимущества утки в такой позиции чем на том же расстоянии от центра на противоположной от лисы стороне диаметра?

Во-вторых, область безопасности должна позволять утке поддерживать угловую скорость лисы не в одном положении последней, а в любых. И неопределённо долго при любых перемещениях лисы. Для красного треугольника и стартующей из центра и пытающейся удалиться от лисы утки (а не произвольных положений лисы и утки, в которые последняя никогда не попадёт!) это возможно.

Geen в сообщении #1290685 писал(а):

А вот если в красный треугольник вписать окружность, то внутри неё Утка сможет всегда иметь бОльшую скорость где бы ни находилась Лиса.

В-третьих не только внутри вписанной окружности, Вы постоянно забываете что лиса бежит не по окружности и её угловая скорость не остаётся постоянной. Контрпример по рисунку выше: лиса стоит в $(0{,}5;-1)$, утка в $(-0{,}19;0{,}38)$ или в $(0{,}19;-0{,}38)$, в обоих случаях утка на диаметре, но за пределами вписанной окружности, при любом малом смещении лисы (вплоть до углов берега! ) утка имеет возможность полностью его скомпенсировать и остаться на диаметре. Считайте!

В-четвёртых, если так уж хочется более строго ограничить безопасную область до супербезопасной, то снизу от центра (и разумеется симметрично для остальных диагоналей) надо брать не окружность, а горизонтальную касательную к ней (по рисунку выше это прямая $y=-0{,}4$), от вертикали до сторон красного треугольника (в точках $(\pm0{,}4/\sqrt3;-0{,}4)$). По моему это тоже вполне очевидно и не выходит за знания 8-го класса школы.

В-пятых, мне надоело объяснять банальные вещи. Сдуйте пыль с калькулятора и поменяйте в нём батарейки и считайте, берите равномерно 16 (для треугольника) точек на окружности малого радиуса с центром в интересующей вас точке и проверяйте соотношение угловых скоростей утки до них и лисы по берегу, если уж геометрия это так сложно.

PS. Да вопрос не в угловых скоростях, а в форме фигуры безопасности. Для меня он давно решён: фигура берега, уменьшенная в $k$ раз и отражённая относительно центра. И именно из требования одинаковых угловых скоростей.