Лиса, Утка и озеро.

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291094 писал(а):

Дифференциальные игры преследования\убегания. Стандартная задача теории управления.

Подскажете нам для квадрата? Озеро квадратное. Утка в центре квадрата, Лиса на середине одной из сторон. Скорость Утки внутри квадрата равна 1. При какой максимальной скорости Лисы $k$ Утка причалит к берегу, а Лиса её не поймает? Скорость Лисы в воде ноль. Скорость Утки на берегу заведомо больше скорости Лисы.

[Dachnik]

Задача утки достигнуть берега раньше лисы кратчайшим путем, то есть по радиусу.
Будет вилять, не успеет.
Будет уходить в бок, радиальная скорость будет меньше $V_r = Vcos\alpha$

Беру озеро диаметром 100 метров. Скорость утки 1 метр/сек. Скорость лисы 4 м/сек.
Начальное положение определяю из условия угловых скоростей, чтобы расстояние между лисой и уткой не менялось.
4 м/сек / 50 метр = 1 м/сек / Х метр
Х = 50/4 = 12,5 метр
До берега утке остается 50-12,5 = 37,5 метр.
До берега утка доплывет за 37,5 метр/1 м/сек = 37,5 сек.
Лиса пробежит 3,14*100 метр/4 метр/сек = 78,5 сек.

В чем смысл задачки?

-- 08.02.2018, 16:59 --

[grizzly]

Dachnik в сообщении #1291156 писал(а):

В чем смысл задачки?

Вот сейчас кто-то выделит пару дней времени, наберётся терпения и будет Вам методично повторять все предыдущие 22 страницы. А Вы будете спорить и не соглашаться, пока Вас не убедят. Правильно?

Нет, лучше Вы сами почитайте и заодно посмотрите в Википедии, как считать длину полуокружности.

[rockclimber]

Dachnik в сообщении #1291156 писал(а):

В чем смысл задачки?

Написано в стартовом посте.
Начиная с сообщения post1285095.html#p1285095 обсуждается обобщение задачи на озеро произвольной формы (эллипсы, правильные многоугольники).

[upgrade]

Оптимальное движение утки - направление на точку, которая отстоит от лисы максимально далеко - на точку, расстояние до которой от лисы половина периметра (для окружности точка на диаметре, на котором лежит точка лисы), т.о. у лисы всегда одно и тоже расстояние до точки встречи с уткой.

[realeugene]

upgrade в сообщении #1291174 писал(а):

Оптимальное движение утки - направление на точку, которая отстоит от лисы максимально далеко - на точку, расстояние до которой от лисы половина периметра (для окружности точка на диаметре, на котором лежит точка лисы).

Пожалуйста, приведите доказательство вашего утверждения.

[upgrade]

Похоже верно только для окружности:
Допустим существует минимальная скорость $v$ из начального положения, при которой расстояние между уткой и лисой не уменьшается. Тогда направление движения утки в начальный момент для не уменьшения этого расстояния совпадает с точкой, одинаково отстоящей от лисы при обходе по часовой стрелке и против часовой стрелки, поскольку начальный момент можно выбрать любой - это любой момент движения утки.
Всё, неверно. Не учтено расстояние от утки до окружности.

[wrest]

upgrade
Вам то же задание что и Dachnik: внимательно прочитать первый пост, и затем прочитать первые 22 страницы темы ;)

[rockclimber]

Так, господа. Что-то меня заклинило и пришла в голову странная мысль... Настолько странная, что я даже писать боюсь. Чтобы я перестал бояться и обрел душевное равновесие, напишите пожалуйста, какой стратегии придерживается лиса? Интересует прежде всего квадрат.
Я исходил из того, что лиса должна стремиться к точке на берегу, к которой утка ближе всего. При таких условиях я, кажется, нашел решение, при котором утка выигрывает при любом соотношении скоростей. Это слишком хорошо, чтобы быть правдой.

[upgrade]

wrest
Прочитал, пытаюсь понять, в задаче ведь не указано начальное положение утки и лисы, а от этого зависит минимальная скорость для встречи, например, если утка находится рядом с окружностью, а лиса с противоположной стороны, скорость лисы должна быть ну очень высокой, явно не в четыре раза больше скорости утки.

-- 08.02.2018, 17:29 --

rockclimber в сообщении #1291194 писал(а):

Я исходил из того, что лиса должна стремиться к точке на берегу, к которой утка ближе всего.

Лиса должна сокращать свой путь до утки (не расстояние до утки, а путь).

[wrest]

upgrade
А чтобы вы почувствовали себя в шкуре Утки и вообще "механику процесса", вот вам симулятор круглого озера со щадящей скоростью Лисы $k=4$ http://log-in.ru/articles/lisicsa-i-utka/
пока не сбежите от Лисы, сюда не возвращайтесь :)

[grizzly]

rockclimber в сообщении #1291194 писал(а):

Это слишком хорошо, чтобы быть правдой.

Согласен. В студию!

[wrest]

rockclimber в сообщении #1291194 писал(а):

Интересует прежде всего квадрат.
Я исходил из того, что лиса должна стремиться к точке на берегу, к которой утка ближе всего.

Таких точек, как мы знаем, может быть больше одной если Утка на диагонали квадрата, при заметном расстоянии между ними по берегу, и эти точки Утка может менять малыми колебаниями плывя вдоль диагонали и пересекая диагональ чуть-чуть туда-сюда. Но вряд ли это может привести Утку к победе при любом $k$, да и вообще кажется тут Лисе хватит $k=2$. Так что я присоединяюсь к ув. grizzly : каков же секретный алгоритм?

Текущее понимание квадратного озера такое: существует "фигура принятия решения Лисы" и когда Утка за её пределами, то стратегия Лисы -- сокращать угол. Потому что если угловая скорость Лисы больше, то сократив угол до нуля, Лиса всегда может поддерживать угол нулевым и таким образом победить.

[rockclimber]

upgrade в сообщении #1291197 писал(а):

rockclimber в сообщении #1291194 писал(а):

Я исходил из того, что лиса должна стремиться к точке на берегу, к которой утка ближе всего.

Лиса должна сокращать свой путь до утки (не расстояние до утки, а путь).

Что такое "путь до утки"?

[upgrade]

rockclimber в сообщении #1291208 писал(а):

Что такое "путь до утки"?

Это путь лисы то предполагаемой точки встречи с уткой (дуга окружности) плюс путь утки до предполагаемой точки встречи с лисой (прямая).

-- 08.02.2018, 17:57 --

А утке надо выбирать направление на точку окружности, в которой отношение расстояния от утки до этой точки к расстоянию лисы до этой точки минимально.