Простое доказательство теоремы ФЕРМА.

[yk2ru]

$x^3$ делите на $z$. Почему ранее не приравняли всё то, что обозначили $z$, сразу к $x^3$? А захотелось получить единицу в результате деления, то взяли и вдруг приравняли. От равенства после сокращения слева и справа остаются суммы. Почему должна слева быть единица, не понятно. Поэтому ко мне не обращайтесь. Если считаете, что всё очевидно, то вам к модераторам. Требуйте от них права доказывать теорему для больших степеней.

[ydgin]

yk2ru в сообщении #1282184 писал(а):

$x^3$ делите на $z$. Почему ранее не приравняли всё то, что обозначили $z$, сразу к $x^3$? А захотелось получить единицу в результате деления, то взяли и вдруг приравняли. От равенства после сокращения слева и справа остаются суммы. Почему должна слева быть единица, не понятно. Поэтому ко мне не обращайтесь. Если считаете, что всё очевидно, то вам к модераторам. Требуйте от них права доказывать теорему для больших степеней.

Спасибо.Общение с Вами мне очень помогло.

[Someone]

ydgin в сообщении #1282017 писал(а):

Получаем:

$$27x^3+8\cdot27x^3+y^3+2\cdot9xyz=z^3$$

Это выражение приводим к

$$27x^3+2\cdot9xy(z-x-y)=(z-x-y)^3+3(x+y)z(z-x-y)$$

Не получается. Если во втором равенстве всё перенести в левую часть, раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится

$$28 x^3 - 15 x^2 y - 15 x y^2 + y^3 + 18 x y z - z^3=0,$$

что явно не равносильно первому из процитированных равенств.

yk2ru в сообщении #1282184 писал(а):

Если считаете, что всё очевидно, то вам к модераторам. Требуйте от них права доказывать теорему для больших степеней.

На модераторов ссылки на "очевидность" не действуют.

P.S. Для нумерации выносных формул можно использовать команду \eqno(номер), которая должна находиться непосредственно перед закрывающей парой долларов.

P.P.S. Постарайтесь и далее обходиться без всяких корней.

[ydgin]

Someone в сообщении #1282357 писал(а):

ydgin в сообщении #1282017 писал(а):

Получаем:

$$27x^3+8\cdot27x^3+y^3+2\cdot9xyz=z^3$$

Это выражение приводим к

$$27x^3+2\cdot9xy(z-x-y)=(z-x-y)^3+3(x+y)z(z-x-y)$$

Не получается. Если во втором равенстве всё перенести в левую часть, раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится

$$28 x^3 - 15 x^2 y - 15 x y^2 + y^3 + 18 x y z - z^3=0,$$

что явно не равносильно первому из процитированных равенств.

yk2ru в сообщении #1282184 писал(а):

Если считаете, что всё очевидно, то вам к модераторам. Требуйте от них права доказывать теорему для больших степеней.

На модераторов ссылки на "очевидность" не действуют.

P.S. Для нумерации выносных формул можно использовать команду \eqno(номер), которая должна находиться непосредственно перед закрывающей парой долларов.

P.P.S. Постарайтесь и далее обходиться без всяких корней.

Совершенно правильно,закралась ошибка,нужно писать так :

$$27x^3+2\cdot9xy(z-6x-y)=(z-6x-y)^3+3(6x+y)z(z-6x-y)$$

Спасибо за комментарий.

[Someone]

ydgin в сообщении #1282399 писал(а):

нужно писать так :

$$27x^3+2\cdot9xy(z-6x-y)=(z-6x-y)^3+3(6x+y)z(z-6x-y)$$

Да, это верно.
Вы где-то там хотели "тройки" считать. Давайте выделим их явно. Пусть натуральные числа $A$, $B$, $C$ образуют примитивное решение уравнения

$$A^3+B^3=C^3.\eqno(1)$$

Известно, что одно из этих чисел должно делиться на $3^2$. Пусть, например, $A$ делится на $3^k$, $k\geqslant 2$, и не делится на $3^{k+1}$. Тогда мы можем записать формулы Абеля в виде

$$\left\{\begin{array}{ccc}A=3^kxX,&a=C-B=3^{3k-1}x^3,&B^2+BC+C^2=3X^3,\\ B=yY,&b=C-A=y^3,& A^2+AC+C^2=Y^3,\\ C=zZ,&A+B=z^3,&A^2-AB+B^2=Z^3,\end{array}\right.\eqno(2)$$

где натуральные числа $x$, $y$, $z$, $X$, $Y$, $Z$ не делятся на $3$ (и попарно взаимно просты).
Тогда

$$n=A+B-C=3^kxyz.\eqno(3)$$

Переписывая определение $n$ в виде $(C-B)+(C-A)+2n=A+B$, или, разбив первую скобку на два слагаемых, $\frac 19(C-B)+\frac 89(C-B)+(C-A)+2n=A+B$, и подставляя выражения из формул (2), получим ваше равенство

$$3^{3(k-1)}x^3+8\cdot 3^{3(k-1)}x^3+y^3+2\cdot 3^kxyz=z^3,$$

что приводится к виду

$$3^{3k-3}x^3=(z-y-2\cdot 3^{k-1}x)\left((z-y-2\cdot 3^{k-1}x)^2+3z(y+2\cdot 3^{k-1}x)-2\cdot 3^kxy\right).\eqno(4)$$

Левая часть этого равенства делится на $3^{3k-3}$ и не делится на $3^{3k-2}$, поэтому правая часть тоже должна делиться на то же самое.
В правой части рассмотрим длинное выражение во второй скобке. Последнее слагаемое (вычитаемое) там делится на $3^k$. Так как $y$ и $z$ не делятся на $3$, то второе слагаемое делится на $3$ и не делится на $3^2$. Если мы предположим, что первое слагаемое (квадрат) не делится на $3$, то получим, что правая часть не делится на $3$, что противоречит делимости левой части. Следовательно, этот квадрат делится на $3^2$, и, поскольку $k>1$, вся сумма делится на $3$ и не делится на $3^2$.
Отсюда сразу следует, что выражение $z-y-2\cdot 3^{k-1}x$ делится на $3^{3k-4}$ и не делится на $3^{3k-3}$.
Поскольку $3k-4>k-1$ при $k\geqslant 2$, из доказанной делимости следует, что $z-y$ делится на $3^{k-1}$ и не делится на $3^k$.

Это всё, что я смог из этого извлечь. У Вас есть ещё что-нибудь?

[Lia]

ydgin
Замечание за избыточное цитирование. Пользуйтесь кнопкой "Вставка" для цитирования выделенного фрагмента поста.

[vasili]

Уважаемый ydgin !
Равенство
$27x^3 + 2\cdot9xy(z-6x-y) = (z-6x-y)^3 + 3(6x +y)z(z-6x-y)\engo(1)$ несправедливо.

1.Если $(x, 3) = 1$, а одно из чисел z или y кратно 3, то (z-6x-y)^3 не делится на 3 при этом все остальные слагаемые равенства (1) делятся на 3. Пришли к противоречию. Значит равенство(1) не справедливо.

2. Пусть $(x, 3^2) = 3^2$, а значит $[(z-y), 3^5] = 3^5$ и $(6x, 3^3) = 3^3$, тогда

$[(z-6x-y), 3^3] = 3^3$, а

$[3(6x +y)z(z-6x-y), 3^4] = 3^4$ и

$[2\cdot9xy(z-6x-y), 3^5] =3^5$.

Очевидно все слагаемые равенства (1) кроме последнего -$[3(6x +y)z(z-6x-y)]$- делятся на $ 3^5$. Пришли к противоречию. Значит равенство (1) не справедливо.

[yk2ru]

vasili, было предположение у ТС что одна переменная делится на $3^5$ (такой вот частный случай) и все тройки только в числах в том равенстве (27, 9, 6). Более общий случай смотрите выше у Someone, равенство под номером (4).

[vasili]

Пусть $(x,3^k)=3^k$, где $k>2$ и в этом случае равенство(1) не справедливо, так как последние слагаемое делится на $3^{k+2}$, а остальные слагаемые равенства (1) делятся на $3^{k+3}$.

[yk2ru]

vasili, $xyz$ не делится на три изначально, так как заявлено, что $A=3^kxX$ не делится на $3^{k+1}$.

[ydgin]

что $z-y$ делится на $3^{k-1}$ и не делится на $3^k$.
Вопрос с тройками решился теперь проблема с $x$

-- 09.01.2018, 13:29 --

Someone
что $z-y$ делится на $3^{k-1}$ и не делится на $3^k$.
Вопрос с тройками решился, теперь проблема с $x$.

-- 09.01.2018, 13:32 --

vasili
а одно из чисел z или y кратно 3
Кратно трем $z-y$

[yk2ru]

ydgin в сообщении #1282597 писал(а):

что $z-y$ делится на $3^{k-1}$ и не делится на $3^k$.
Вопрос с тройками решился теперь проблема с $x$

Ну и какая часть от $x^3$ относится к выражению в первой скобке справа, а какая ко второй? Как распределять? По вашему, $z-y$ делится и на $x$?

[vasili]

Я прошу прощения. Не ожидал таких обозначений в формулах Абеля.

Можно показать, что $z^3-y^3\equiv0\mod 3^kx$.

[ydgin]

Lia
Замечание принято. Постараюсь избежать избыточного цитирования.

-- 09.01.2018, 15:25 --

yk2ru в сообщении #1282604 писал(а):

ydgin в сообщении #1282597 писал(а):

что $z-y$ делится на $3^{k-1}$ и не делится на $3^k$.
Вопрос с тройками решился теперь проблема с $x$

Ну и какая часть от $x^3$ относится к выражению в первой скобке справа, а какая ко второй? Как распределять? По вашему, $z-y$ делится и на $x$?

$$z^3-y^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$$

с одной стороны, а с другой стороны

$$z^3-y^3=9\cdot27x^3+2\cdot9xyz=9x(27x^2+2yz)$$

то есть $z-y$ кратно $x$
Вторая скобка не может быть кратна $x$

[yk2ru]

ydgin в сообщении #1282626 писал(а):

Вторая скобка не может быть кратна $x$

Почему бы выражению во второй скобке не быть кратной некоторой части от $x$, более того, этой части в кубе?