Очередная шаурма с неопределенным интегралом

[Someone]

Lia: Тема отделена от «Парадокс в при поиске интеграла (найти ошибку в рассуждении)»

В учебнике неопределённый интеграл на некотором отрезке определяется как множество всех первообразных подынтегральной функции на этом отрезке.

[thething]

MestnyBomzh
Все формулы, связанные с неопределенными интегралами (в том числе формула интегрирования по частям) понимаются в том смысле, что разность между их левой и правой частями равна произвольной постоянной

[Markiyan Hirnyk]

Someone
В. Зорич, Математический анализ, Ч. 1. - Наука, М.: (гл. 5, пар. 1) задает неопределенный интеграл как любую первообразную подинтегральной функции на рассматриваемом промежутке. При таком подходе не надо возиться с суммой множеств функций и произведением множества функций на число.

[thething]

Markiyan Hirnyk
Но там же ниже он пишет, что это множество первообразных

[Markiyan Hirnyk]

thething
Пожалуйста, точно процитируйте это место, т. к. я такого не нашел.

[thething]

Markiyan Hirnyk
Можно я не буду скриншоты делать.. Там сразу же формула (2) и ниже пояснение

[Markiyan Hirnyk]

thething
Процитирую я:

Цитата:

т. е. любая другая первообразная может быть получена из конкретной $F(x)$ добавлением некоторой постоянной.

Это не то, что утверждаете вы.

[thething]

А что такое $F(x)+C$, как не множество всех первообразных? Я про формулу (2)

[Markiyan Hirnyk]

thething Как было мною изложено выше, это произвольная первообразная подинтегральной функции на рассматриваемом промежутке.

[thething]

Markiyan Hirnyk
Я Вас понял.. Все-таки мне подход с множествами как-то привычнее, возможно, потому что на графиках их принято рисовать в виде семейств линий

[Markiyan Hirnyk]

thething
Повторяю, тогда надо определять действия с множествами функций. Это хлопотно и отвлекает от сути рассматриваемого понятия (notion).

[thething]

Markiyan Hirnyk
Определять действия с множествами - задача одного из предыдущих разделов матанализа. Поэтому к данному моменту люди уже понимают, что, например, $\int\limits_{}^{}f(x)dx+\int\limits_{}^{}g(x)dx$ -- это совокупность, образованная всевозможными суммами $F(x)+G(x)$, если $F(x)\in\int\limits_{}^{}f(x)dx$, $G(x)\in\int\limits_{}^{}g(x)dx$ (если об этом напомнить, разумеется)

Другое дело, что почти сразу же делается замечание, что для простоты под символом $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ понимается какой-то один представитель класса $\left\lbrace{F(x)}\right\rbrace$ а все равенства с этими символами (линейно входящими) понимаются с точностью до постоянной

Но это уже наверное вопрос митодиги)) ни в коем случае Вас не поучаю, просто делюсь своими размышлениями.

[Markiyan Hirnyk]

thething
Все это не так просто. Во-первых, для студентов первого курса большинства ВУЗов действия над множествами функций незнакомы, вызывают затруднения и отвлекают от понимания существа понятия неопределенного интегала. Такое суждение делаю на основании сорокалетнего опыта преподавания в высшей школе и обсуждения вопроса с коллегами. Во-вторых, аккуратные доказательства линейности неопределенного интеграла и формулы интегрирования по частям при таком подходе хлопотны.
Кстати, вы пишите

Цитата:

Определять действия с множествами - задача одного из предыдущих разделов матанализа.

Нескромный вопрос - какого именно раздела математического анализа? Ни в одном учебнике по математическому анализу такого не видел.

Цитата:

Другое дело, что почти сразу же делается замечание, что для простоты под символом $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ понимается какой-то один представитель класса $\left\lbrace{F(x)}\right\rbrace$ а все равенства с этими символами (линейно входящими) понимаются с точностью до постоянной

Утверждения, в частности замечания, надо обосновывать. Замечание порождает у студентов недоуменный вопрос - а зачем тогда предыдущее определение?

[Otta]

thething в сообщении #1282261 писал(а):

Другое дело, что почти сразу же делается замечание, что для простоты под символом $\int\limits_{}^{}f(x)dx$ понимается какой-то один представитель класса $\left\lbrace{F(x)}\right\rbrace$

А че, правда какой-то один? Тогда

MestnyBomzh в сообщении #1282214 писал(а):

$$\int e^x \ch x dx = -1 + \int e^x \ch x dx $$

и вправду $-1=0$.

Всю жизнь семейство первообразных было, если память мне еще не изменила. Полный, тсзать, боекомплект. Другое дело, что на этом особо не акцентируются, дабы не отвлекать лишними деталями.

Мне больше другое интересно, зачем ТС понадобилось брать тот интеграл по частям, и главное, каков результат и иде он.

А остальное - буквоедство одно, чесслово.

[thething]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282263 писал(а):

Нескромный вопрос - какого именно раздела математического анализа?

Самых первых вводных разделов, знакомства с теорией множеств, операции с множествами, потом действительные числа.. По крайней мере, у нас идет так, хотя, естественно, это может быть не везде

Markiyan Hirnyk в сообщении #1282263 писал(а):

аккуратные доказательства линейности неопределенного интеграла при таком подходе хлопотны

Это да, поэтому и происходит хитрость с "замечаниями"

-- 08.01.2018, 12:00 --

thething в сообщении #1282266 писал(а):

и вправду $-1=0$.

Почему, возьмите представителя с константой 1 (я имею ввиду в правой части)