Почему вероятность ∈ [0; 1]?

[g______d]

mihaild в сообщении #1278447 писал(а):

Там же каждое вертикальное сечение как раз измеримо, и имеет конкретную меру. Так что по крайней непонятно (по крайней мере мне).

Я понял вопрос следующим образом: пусть для каждого $x$ мы указали подмножество $A_x\subset [0,1]$, измеримое, $|A_x|=1/54$, и взяли $B=\cup_x \{x\}\times A_x$. Верно ли, что $B$ измеримо? В такой формулировке очевидно, что, вообще говоря, нет: не хватает, в каком-то смысле, "измеримости" функции $x\mapsto A_x$. В качестве примера можно взять, например, $A_x=[f(x),f(x)+1/54]$, где $f$ -- какая-то неизмеримая функция.

[Someone]

92285 в сообщении #1278281 писал(а):

Хорошо, а если так: берём счётное множество колод карт (стандартных, по 54 листа каждая), перетасовываем всё множество и вытягиваем первую попавшуюся карту. Какова вероятность, что это туз? Или в такой постановке задачи опять что-то не так?

Конечно не так, потому что не задана мера на множестве карт после тасовки. В результате задача решения не имеет, поскольку её условие не содержит необходимой для решения информации.

provincialka в сообщении #1278286 писал(а):

Такая постановка может иметь место. Ничто не мешает вводить меру на бесконечных множествах. Причем сама мера при этом будет конечной. Например, множество всех тузов в вашем примере будет иметь меру 1/54. Как и множество дам-с.

Pphantom в сообщении #1278292 писал(а):

$4/54$

Ну с чего бы это. Это зависит от того, какая мера получится после тасовки карт.

Dan B-Yallay в сообщении #1278393 писал(а):

Вообще говоря, ТС ничего не говорил об упорядочении колод. Можно их взять в порядке целых чисел и перемешать. Тогда вопрос о карте из "первой колоды" нуждается в пояснении.

Я хотел бы обратить внимание на то, что понятие "перемешивание множества" для произвольного множества самого по себе не имеет смысла, поскольку говорить о перемешивании можно только если есть какое-то средство для сравнения перемешанного множества с не перемешанным.

В обсуждаемом случае таким технически удобным средством может быть нумерация карт натуральными числами. Удобно считать, что колоды у нас перенумерованы натуральными числами, и что, глядя на карту, мы можем определить, из какой колоды она взята. В конце концов, и колоды, и карты являются физически различимыми объектами, даже если они "одинаковые". Тогда вопрос о карте из первой колоде будет вполне осмысленным.

В таком случае мы можем говорить не о картах, а об их номерах, и рассматривать вероятностное пространство $(\mathbb N,2^{\mathbb N},\mathbf P)$. При таком подходе тасовка — это взаимно однозначное отображение $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$, которое порождает новое вероятностное пространство $(\mathbb N,2^{\mathbb N},\mathbf P_f)$, где новая вероятность определяется формулой $\mathbf P_f(\{n\})=\mathbf P(\{f(n)\})$ для всех $n\in\mathbb N$.

Конечно, можно обойтись и без нумерации, определяя тасовку как взаимно однозначное отображение множества карт на себя и переопределяя меру соответствующим образом.

92285 в сообщении #1278448 писал(а):

Прошу прощения, а если я поинтересуюсь, на основании чего для счётно-бесконечного множества колод получается такой же результат, как для конечного

Да не получается. Просто отвечающие не обдумали этот вопрос и ответили "по инерции". Это иногда с кем угодно случается. А в вашей постановке ваша задача вообще смысла не имеет.

92285 в сообщении #1278437 писал(а):

Так уж вышло, что я считаю Харди бóльшим авторитетом, чем вы, в вопросе о том, как надо и как не надо заниматься математикой.

Да на здоровье. Это его личное мнение. Нравится оно Вам — вот и придерживайтесь его, а другим не указывайте, чем и как заниматься.

Ну вот, пока писáл — и забанить успели.

[provincialka]

Someone в сообщении #1278459 писал(а):

Да не получается. Просто отвечающие не обдумали этот вопрос и ответили "по инерции".

Ну как.. Все так получиться может.. Хотя и не обязательно. Впрочем, что уж... любознательный ТС гордо выбрал бан.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1278435 писал(а):

Потому что в обычной вероятности Вы иногда делите на меру всего пространства, не замечая этого (потому что мера равна единице).

Вообще это был вопрос на засыпку ТСу. Но он ушел, а вопрос остался.

Кстати, а как нужно делить 9 на меру пространства равную 6 (или 36, если делить оба сомножителя), чтобы получить "правильную" вероятность, равную $1$?

[Geen]

(Оффтоп)

Забанили... а всё потому, что в "стандартной" колоде 52 карты...

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1278478 писал(а):

Кстати, а как нужно делить 9 на меру пространства равную 6 (или 36, если делить оба сомножителя), чтобы получить "правильную" вероятность, равную $1$?

Начнём с того, что события "чётное число" и "число $<4$" не являются независимыми, поэтому перемножением вероятностей их пересечение не получить всё равно.

А если бы были, то нужно было бы перемножить и поделить на $6$ два раза, а потом умножить на $6$.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1278485 писал(а):

Начнём с того, что события "чётное число" и "число $<4$" не являются независимыми, поэтому перемножением вероятностей их пересечение не получить всё равно.

Ну ладно, я сдаюсь.

Просто несколько страниц назад я запутался в этих трех соснах, и искал кого-нибудь себе в компанию.

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
Вводить новые значения для вероятностей достоверного и невозможного событий можно, но хочется, чтобы они имели какое-то отношение к "наивной вероятности", в смысле какая доля ожидаемых успехов при испытаниях и т.п., для которой естественно взять соответственно 1 и 0.
И чтобы эта связь "новой" вероятности и старой была бы определённой
$P_{92285}=f(P)$
Функция f(p) может быть линейной и нелинейной. В случае линейной никаких преимуществ это не даёт, но несколько усложняет вероятностные расчёты

(Оффтоп)

Лучше деда Щукаря не скажу: "Никакой пользы, окромя вреда"

Тем не менее, если нам надо не считать, а, скажем, представлять графически, можно отобразить вероятность невозможного события на координату горизонтальной оси графика, а достоверного - на координату верха графика. Сюда же выражение вероятности в процентах. Некоторое удобство представления, не влияющее на вычисления, тем более на суть понятия вероятности. Для вероятностных расчётов 0 и 1 удобнее.
Нелинейное преобразование, в том числе и отображающее взамен 0 и 1 на $-\infty$ и $+\infty$ соответственно, вполне возможно. И оно вполне применяется. Это логит-преобразование $\ln \frac p {1-p}$ и пробит-преобразование $F^{-1}(p)$. Используются они, например, там, где надо оценивать зависимость вероятностей от каких-то факторов, но удобные и доступные линейные модели так и норовят дать вероятность больше единицы или меньше нуля. Подогнав такой моделью преобразованные значения, потом возвращаемся обратным преобразованием к обычным вероятностям, с которыми уже вправе работать, как с вероятностями.

[provincialka]

Евгений Машеров
ТС же хотел не преобразование вероятности... а ненулевую вероятность у счетного числа событий. Причем одинаковую!
Что-то у меня закралось подозрение, не собирается ли он что-то типа "вероятности числу быть простым" ввести. Ну... Теперь уж и не спросишь (нельзя сказать, что это меня расстраивает )

[Евгений Машеров]

92285 в сообщении #1278281 писал(а):

Хорошо, а если так: берём счётное множество колод карт (стандартных, по 54 листа каждая), перетасовываем всё множество и вытягиваем первую попавшуюся карту. Какова вероятность, что это туз? Или в такой постановке задачи опять что-то не так?

Наверно, в той Вселенной, откуда прибыл ТС, стандартная карточная колода в 54 карты. А не 52. И не 32, 36 или даже 78. Но мне отчего-то кажется, что там тоже вероятность достоверного события единица, и именно недовольство этим заставило ТС эмигрировать к нам...
А если серьёзно - перетасовать счётное множество мы не можем. Нет у него "последней карты", чтобы тасовщик поменял местами карты с 1 по n-ную с картами с n+1й по последнюю. И любой другой способ тасовки на счётных множествах не работает.
Иллюзия очевидности ответа проистекает оттого, что отвечаем на другой вопрос. В котором слово "счётное множество карт" означает "конечное множество карт заранее неизвестного объёма". И поскольку для любого конечного объёма ответ очевиден и одинаков, то делается ложный вывод, что мы получили решение для счётного множества, задав на нём равномерное распределение.

[Someone]

Евгений Машеров в сообщении #1278582 писал(а):

Наверно, в той Вселенной, откуда прибыл ТС, стандартная карточная колода в 54 карты.

Я, наверное, тоже в той вселенной живу, потому что у меня когда-то была такая колода. В ней, помимо стандартного набора четырёх мастей по тринадцать карт, были ещё два джокера.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Это, разумеется, спор об определениях. Но стандартной колодой именуется колода в 52 карты - 4 масти по 13 карт в каждой. Колоды с большим числом карт (от 54 до 57) считаются расширенными, а с меньшим - сокращёнными или усечёнными.
http://artandpoker.ru/ckolko-kart-v-pokernoj-kolode
Иногда производители заранее добавляют в стандартную колоду джокеры, иногда и чистые карты на случай утери некоторых из колоды. Но это уже не стандартная колода.
И, во всяком случае, добавление джокеров надо в задаче оговаривать особо. А то можно и колоду для Таро рассмотреть, в 78 карт.