Почему вероятность ∈ [0; 1]?

[mihaild]

92285 в сообщении #1278072 писал(а):

введём условие, что попадание точки в любую клетку равновероятно

Упражнение: доказать, что такого распределения не существует.
Указание: рассмотреть случаи нулевой и ненулевой вероятности попасть в данную клетку и воспользоваться счётной аддитивностью.

[arseniiv]

92285 в сообщении #1278050 писал(а):

А как делить, если мера всего пространства бесконечна?

Никак, в этом случае никакого вероятностного пространства не получится.

92285 в сообщении #1278050 писал(а):

Пример: бесконечная плоскость вся целиком расчерчена на квадратные шахматные клетки (одинакового размера), бросаем «наудачу» точку на эту плоскость, рассчитываем классическую вероятность того, что точка упадёт на белую клетку.

Тут на самом деле не плоскость, а двумерный тор (взяли группу параллельных переносов, переводящих квадраты одного цвета друг в друга, и факторизовали по ней), вот и всё. На нём целиком мера уже конечная.

Someone в сообщении #1278055 писал(а):

Зря надеетесь.

Ну, это больше формула речи такая.

92285 в сообщении #1278062 писал(а):

Цермело и Френкелю в своё время именно такая идея в голову пришла

Ой ладно, тогда, и до, и ещё долго после, не аксиоматизировал теорию множеств только ленивый. Просто ZFC эволюционно преуспела и распространилась.

[Someone]

92285 в сообщении #1278062 писал(а):

Цермело и Френкелю в своё время именно такая идея в голову пришла, хотя не в области теории вероятностей.

Видите ли, в основаниях теории вероятностей порядок навёл А. Н. Колмогоров. И ему такая глупость, которую Вы предлагаете (исключить условие, что вероятность достоверного события равна $1$), в голову не пришла. Об этой глупости я и писал, что она никому не пришла в голову. (Хотя сформулировал это плохо. Виноват.)
А Цермело с Френкелем и другими математиками навели порядок в основаниях теории множеств, и тоже не предлагали никаких глупостей: они просто аккуратно формализовали те методы, которыми давно уже пользовались математики в своих рассуждениях.

92285 в сообщении #1278072 писал(а):

Поскольку задача про классическую вероятность, введём условие, что попадание точки в любую клетку равновероятно. Или, что то же самое, можно бросать «кубик» со счётно-бесконечным количеством граней.

Увы, не работает. И "кубиков" таких не бывает.

[92285]

provincialka в сообщении #1278073 писал(а):

Бесконечное пространство элементарных событий -- это вещь банальная. А вот толку от бесконечной вероятности что-то не видно.

Я не пропагандирую бесконечную вероятность. Я интересуюсь, как сделать так, чтобы её интуитивно естественное ограничение сверху числом 1 опиралось на прочный формальный математический базис.

Кстати, отмечу, что сам первоисточник замечал, что аксиома $M(A)=1$ вводит «совершенно произвольное ограничение рассматриваемых мероопределений» (А. Н. Колмогоров, Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986, с. 50, курсив мой). Академика Колмогорова здесь тоже будут обвинять в троллинге?

[provincialka]

92285
Вы все ещё не удовлетворены? Постараюсь записать содержание ответов конспективно.

1. Бесконечная вероятность не имеет интересных приложений, потому что по сравнению с нею любая конечная мера равна 0.
2. Вероятностные пространства с конечной мерой можно нормировкой свести к пространству с любой наперед заданной мерой. Поэтому среди них выбрали наиболее удобную.

[wrest]

92285 в сообщении #1278033 писал(а):

Это никак не объясняет, почему именно это число подходит больше любого другого как верхняя граница для вероятности.

Ну вот уже упоминали: "в быту" часто вероятность рассматривают от 0 до 100 (процентов).

[eugensk]

(Оффтоп)

Цитата:

Математика вообще всю дорогу развивалась таким образом, что кто-то замечал проблемы, которые раньше кто-то другой не замечал.

Наверное, не в этот раз. Если вам нужно вероятность больше единицы, или пи меньше двух, пожалуйста. Можно всё, при условии что оно названо по-другому.
Квазивероятностная неограниченная мера, как вам? Можно исследовать и разрешать проблемы (кстати, какие?)

Не мог пройти мимо подобной сентенции, соррян

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

92285 в сообщении #1278085 писал(а):

Я не пропагандирую бесконечную вероятность. Я интересуюсь, как сделать так, чтобы её интуитивно естественное ограничение сверху числом 1 опиралось на прочный формальный математический базис.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Jnrty]

Прошу прощения, но у меня существенное добавление.

92285 в сообщении #1278085 писал(а):

Кстати, отмечу, что сам первоисточник замечал, что аксиома $M(A)=1$ вводит «совершенно произвольное ограничение рассматриваемых мероопределений» (А. Н. Колмогоров, Теория вероятностей и математическая статистика
. М.: Наука, 1986, с. 50, курсив мой). Академика Колмогорова здесь тоже будут обвинять в троллинге?

Нет, будем обвинять Вас в попытке обмана:

А. Н. Колмогоров писал(а):

Наконец, третья аксиома вводит совершенно произвольное ограничение рассматриваемых мероопределений: мера всего пространства принимается равной единице.
А к с и о м а III.
$M(A)=1$.
Это сильно упрощает изложение, общий же случай может быть легко изучен на основе этого частного. Во многих же применениях, в частности в исчислении вероятностей, это ограничение вызывается существом вопроса.

(Выделение моё).
Во-первых, это ограничение является "совершенно произвольным" для общей теории меры, во-вторых, случай произвольной конечной меры $M(A)$ элементарно сводится к этому частному, в третьих, для теории вероятностей это ограничение вызвано существом дела.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

-- 24.12.2017, 00:08 --

Топикстартером дополнен стартовый пост.

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

Едем дальше, или будем искать новый повод для карантина?

Замечание за обсуждение работы модератора в непредназначенном для этого разделе.

[mihaild]

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega ,\mathfrak{F} ,\textsf{P})$.

В аксиомы вероятностного пространства входит $P(\Omega) = 1$. Если у вас это не выполнено - то у вас просто пространство с мерой.

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

если $\textsf{P}(\Omega) = 0$, то $\forall A:\textsf{P}(A)=0$, и полагаем по определению $p(\Omega) = 0$, дальше всё опять сходится с обычной теорией вероятностей

Нет, не сходится (см. выше). Ну и если мера любого множества равна нулю, то вряд ли мы что-то интересное из этого получим.

Вы пока что не определили "понятие доли" ни для какого случая (я внимательно прочитал ваш измененный пост и не нашел в нем ничего похожего на "Определение. Пусть ... Долей будем называть ...").
И учтите, что в математике определения формулируются не просто так от нечего делать, а чтобы потом с их использованием формулировать (и впоследствии доказывать) утверждения. В тервере есть куча утверждений про измеримое пространство мерой 1. По многим из них легко строятся аналогичные утверждения про пространство с любой конечной мерой (а про некоторые - и с бесконечной), но непонятно, зачем это нужно.

(Оффтоп)

Есть еще какие-то странные люди, называющие себя физиками, которые говорят про какие-то "эксперименты", "модели" и соответствие определений каким-то частям этих непонятных вещей, но со своими проблемами пусть разбираются сами, да и пока их кажется устраивает стандартное определение вероятностного пространства.

[Someone]

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

Итак, задача состоит в том, чтобы с формальной строгостью внести в основания теории вероятностей концепцию доли, которая интуитивно интерпретируется как отношение части к целому, содержащему эту часть.

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega ,\mathfrak{F} ,\textsf{P})$. Для начала пусть для любого $A \in \mathfrak{F}$ (в том числе для $A = \Omega$) будет так, что $\textsf{P}(A)$ существует и конечно, а $\textsf{P}(\Omega)$ к тому же строго больше 0.

Затем доказываем, что $\forall A:0 \leqslant \textsf{P}(A) \leqslant \textsf{P}(\Omega)$. (1) (Доказательство аналогично тому, что приводится в упомянутом учебнике на сс. 51–52, за исключением того, что там 1 вместо $\textsf{P}(\Omega)$.)

Затем из того, что действительные числа образуют поле, получаем, что существует и единственно $\textsf{P}(\Omega)^{ - 1}$.

Наконец, определяем $p(A) = \textsf{P}(A) \cdot \textsf{P}(\Omega)^{ - 1}$. Из (1) получаем, что $0 \leqslant p(A) \leqslant 1$, и эта самая $p$ и есть вероятность в привычном смысле, только теперь диапазон её значений не постулируется, а доказывается.

Как и ожидалось, всё свелось к отмене аксиомы $\mathbf P(\Omega)=1$, замене её аксиомой $\mathbf P(\Omega)>0$ и введению в определение вероятности деления на меру $\Omega$. Это банальность, которая ничего для понимания не даёт и никаким обоснованием не является. Теперь можно просто переопределить меру, поделив её на $\mathbf P(\Omega)$, и вернуться к классической аксиоматике. При этом все формулы, содержащие вероятность, сразу же упростятся и примут обычный вид.

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

Второй случай: если $\textsf{P}(\Omega) = 0$, то $\forall A:\textsf{P}(A)=0$, и полагаем по определению $p(\Omega) = 0$, дальше всё опять сходится с обычной теорией вероятностей.

Нисколько не сходится. Поскольку все "вероятности" равны нулю, то никакой осмысленной теории не получится.

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

Остаётся третий случай, когда $\textsf{P}(\Omega)$ не ограничено (точнее, хотя бы одно из $\textsf{P}(A)$ не ограничено), и в этом случае я не знаю, как формализовать понятие доли. Чтобы разобраться в этом случае, мне нужна помощь специалистов.

Я не думаю, что специалисты выстроятся к Вам в очередь на соавторство.

[atlakatl]

(Оффтоп)

Пост для вновьприбывших стал абсолютно нечитаемым. ТС-у разрешили/заставили? исправить стартовый коммент. В результате последующие комменты стали малосмысленны.
Сейчас дошло, что это обсуждение модерации в неподходящем разделе. Уберу в оффтоп. Отдельный пост слишком жирно для такого замечания.

[Lia]

atlakatl
Для вновь прибывших:

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1278124 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

Топикстартером дополнен стартовый пост.

[92285]

mihaild в сообщении #1278075 писал(а):

92285 в сообщении #1278072 писал(а):

введём условие, что попадание точки в любую клетку равновероятно

Упражнение: доказать, что такого распределения не существует.
Указание: рассмотреть случаи нулевой и ненулевой вероятности попасть в данную клетку и воспользоваться счётной аддитивностью.

Хорошо, давайте так. Пускай есть генератор случайных чисел, который генерирует произвольные целые нечётные числа. Какова вероятность того, что сгенерированное им число окажется положительным?