Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы

[ishhan]

PhisicBGA

Вы пользуетесь терминами: "подозрительное" разложение и "добропорядочные" кубы или разложения, это конечно поэтично и красиво, но содержат ли эти термины математический смысл.
Я бы, с Вашего позволения, назвал "добропорядочными" те разложения в которых не встречаются кубы кратные трём и "подозрительными" в которых имеется куб кратный трём.
Так с "добропорядочными" кубами все ясно и нет вопросов по поводу их отказа от разложения на два куба:

PhisicBGA в сообщении #1276214 писал(а):

$$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$

или без лишних символов

$$a^3=b^3+c^3$$

С "подозрительными" же всё намного сложней.
Можно ли этот момент заметить при изучении Вашей таблицы?

[PhisicBGA]

ishhan писал(а):

Я бы, с Вашего позволения, назвал "добропорядочными" те разложения в которых не встречаются кубы кратные трём и "подозрительными" в которых имеется куб кратный трём.

Почему так?Давайте посмотрим таблицу:

$$ 1^3 = (2\cdot 0+1)^3 = 1 \qquad \qquad\qquad $$

$ 3^3 = (2\cdot 1+1)^3 = 2^3 + 2^3 + 6\cdot 2 -1 $

$$ 5^3 = (2\cdot 2+1)^3 = 4^3 + 4^3 +6\cdot 0 - 3 $$

$\boxed { 7^3 = (2\cdot 3+1)^3 = 6^3 + 5^3 +6\cdot 1 - 4 } $

$$ 9^3 = (2\cdot 4+1)^3 = 7^3 + 7^3 + 6\cdot 8 - 5 \qquad $$

$ \boxed { 11^3 = (2\cdot 5+1)^3 = 9^3 + 8^3 +6\cdot 16 - 6 }$

$$ 13^3 = (2\cdot 6+1)^3 = 10^3 + 10^3 + 6\cdot 34 - 7 \qquad \qquad $$

$ \boxed { 15^3 = (2\cdot 7+1)^3 = 12^3 + 11^3 + 6\cdot 54 - 8} \qquad \qquad $

$$ 17^3 = (2\cdot 8+1)^3 = 13^3 + 13^3 + 6\cdot 88 - 9$$

$ 19^3 = (2\cdot 9+1)^3 = 15^3 + 15^3 + 6\cdot 20 - 11 \qquad \qquad \qquad$

$$ \boxed { 21^3 = (2\cdot 10+1)^3= 17^3 + 16^3 + 6\cdot 44 - 12} $$

$ 23^3 = (2\cdot 11+1)^3 = 18^3 + 18^3 + 6 \cdot 86 - 13 $

$$ \boxed { 25^3 = (2\cdot 12+1)^3 = 20^3 + 19^3 + 6\cdot 130 - 14 } \qquad \qquad$$

$ 27^3 = (2\cdot 13+1)^3 = 21^3 + 21^3 + 6\cdot 196 - 15 $

$$ 29^3 = (2\cdot 14+1)^3 = 23^3 + 23^3 + 6\cdot 12 - 17 $$

$ \boxed { 31^3 = (2\cdot 15+1)^3 = 25^3 + 24^3 + 6\cdot 60 - 18 } $

$$ 33^3 = (2\cdot 16+1)^3 = 26^3 + 26^3 + 6\cdot 134 - 19 $$

$ \boxed { 35^3 = (2\cdot 17+1)^3 = 28^3 + 27^3 + 6\cdot 210 - 20} \qquad$

$$ 37^3 = (2\cdot 18+1)^3 = 29^3 + 29^3 + 6\cdot 316 - 21 $$

$ \boxed { 39^3 = (2\cdot 19+1)^3 = 31^3 + 30^3 + 6\cdot 425 - 22 } \qquad \qquad $

$$ \boxed { 41^3 = (2\cdot 20+1)^3 = 33^3 + 32^3 + 6 \cdot 40-24 } $$

$ 43^3 = (2\cdot 21+1)^3 = 34^3 + 34^3 + 6 \cdot 154-25 \qquad \qquad $

$$ \boxed { 45^3 = (2\cdot 22+1)^3 = 36^3 + 35^3 + 6 \cdot 270-26} \qquad \qquad $$

$ 47^3 = (2\cdot 23+1)^3 = 37^3 + 37^3 + 6 \cdot 424-27 \qquad \qquad $

$$ \boxed { 49^3 = (2\cdot 24+1)^3 = 39^3 + 38^3 + 6 \cdot 581-28 } \qquad \qquad $$

$ 51^3 = (2\cdot 25+1)^3 = 40^3 + 40^3 + 6 \cdot 780-29 \qquad \qquad $

$$ 53^3 = (2\cdot 26+1)^3 = 42^3 + 42^3 + 6 \cdot 122-31 \qquad \qquad $$

$ \boxed { 55^3 = (2\cdot 27+1)^3 = 44^3 + 43^3 + 6 \cdot 286-32 } $

$$ 57^3 = (2\cdot 28+1)^3 = 45^3 + 45^3 + 6 \cdot 496-33 \qquad \qquad $$

$ \boxed { 59^3 = (2\cdot 29+1)^3 = 47^3 + 46^3 + 6 \cdot 709-34 } $

$$ 61^3 = (2\cdot 30+1)^3 = 48^3 + 48^3 + 6 \cdot 972-35 \qquad \qquad $$

$ 63^3 = (2\cdot 31+1)^3 = 50^3 + 50^3 + 6 \cdot 14-37 \qquad \qquad $

"Добропорядочными" являются в первую очередь кубы, которые имеют в разложении два одинаковых куба т.е.раскладываются по полам.Уж они и их дальнейшие собратья всегда будут иметь остаток.Но среди их есть такие,в разложении которых - кубы кратные трём.
Остаются - выделенные"подозрительные" разложения. Но и среди них имеются такие,где кубы - не кратны трём.Например,разложения $21^3 ;25^3 ;55^3$
Рассмотрим по подробнее эти "подозрительные" кубы и их разложения.Как видно из таблицы,они есть и слева - у нечетных чисел с не чётным основанием, и справа- у не чётных чисел с чётным основанием.Они объеденяются в тройки и двойки.Так вот,самые "подозрительные"из этих разложений - те,что стоят первыми в этих объединениях:на границе перехода от разложения пополам с двумя одинаковыми кубами к этим разложениям уже с соседними кубами.У них резко падает величина третьего члена в разложении,который кратен $6$.И если их четвертый член окажется тоже кратным $6$,то ,кто его знает,что там может произойти в дальнейших таких разложениях. Одна надежда на то,что скорости роста третьего и четвёртого члена в разложениях заметно отличаются и в дальнейших таких разложениях на этих граничных переходах, падения величины третьего члена будет таким,что его итоговая величина всё равно будет больше величины четвёртого члена разложения и эта разница в дальнейшем будет только увеличиваться.

[Someone]

Нетрудно доказать совершенно элементарными рассуждениями, что в равенстве $a^3+b^3=c^3$, где $a$, $b$, $c$ — целые числа, по меньшей мере одно из этих чисел должно делиться на $3^2$. Доказательство можно найти в файле, приложенном к сообщению http://dxdy.ru/post1252001.html#p1252001.

[PhisicBGA]

Теперь понятно.Спасибо,уважаемый Someone !Следовательно,куб нечётного числа может иметь в разложении только два куба при одновременном выполнении следующих условий:
1.Он сам, или один из кубов его разложения должен быть кратен $3^2$;
2.Он должен быть первым в серии кубов, у которых вновь получается в разложении сумма соседних кубов после серии разложений на два одинаковых куба;
3.Разность его основания и суммы оснований кубов его разложеиия должна быть числом кратным $6$
Отметим теперь в таблице разложения удовлетворяющие первому условию:

$$ 1^3 = (2\cdot 0+1)^3 = 1 \qquad \qquad\qquad $$

$ 3^3 = (2\cdot 1+1)^3 = 2^3 + 2^3 + 6\cdot 2 -1 $

$$ 5^3 = (2\cdot 2+1)^3 = 4^3 + 4^3 +6\cdot 0 - 3 $$

$\boxed { 7^3 = (2\cdot 3+1)^3 = 6^3 + 5^3 +6\cdot 1 - 4 } $

$$\underbrace{ 9^3 = (2\cdot 4+1)^3 = 7^3 + 7^3 + 6\cdot 8 - 5 } \qquad $$

$ \underbrace{ \boxed { 11^3 = (2\cdot 5+1)^3 = 9^3 + 8^3 +6\cdot 16 - 6 }}$

$$ 13^3 = (2\cdot 6+1)^3 = 10^3 + 10^3 + 6\cdot 34 - 7 \qquad \qquad $$

$ \boxed { 15^3 = (2\cdot 7+1)^3 = 12^3 + 11^3 + 6\cdot 54 - 8} \qquad \qquad $

$$ 17^3 = (2\cdot 8+1)^3 = 13^3 + 13^3 + 6\cdot 88 - 9$$

$ 19^3 = (2\cdot 9+1)^3 = 15^3 + 15^3 + 6\cdot 20 - 11 \qquad \qquad \qquad$

$$ \boxed { 21^3 = (2\cdot 10+1)^3= 17^3 + 16^3 + 6\cdot 44 - 12} $$

$\underbrace{ 23^3 = (2\cdot 11+1)^3 = 18^3 + 18^3 + 6 \cdot 86 - 13} $

$$ \boxed { 25^3 = (2\cdot 12+1)^3 = 20^3 + 19^3 + 6\cdot 130 - 14 } \qquad \qquad$$

$ \underbrace{ 27^3 = (2\cdot 13+1)^3 = 21^3 + 21^3 + 6\cdot 196 - 15 }} $

$$ 29^3 = (2\cdot 14+1)^3 = 23^3 + 23^3 + 6\cdot 12 - 17 $$

$ \boxed { 31^3 = (2\cdot 15+1)^3 = 25^3 + 24^3 + 6\cdot 60 - 18 } $

$$ 33^3 = (2\cdot 16+1)^3 = 26^3 + 26^3 + 6\cdot 134 - 19 $$

$\underbrace{ \boxed { 35^3 = (2\cdot 17+1)^3 = 28^3 + 27^3 + 6\cdot 210 - 20}} \qquad$

$$ 37^3 = (2\cdot 18+1)^3 = 29^3 + 29^3 + 6\cdot 316 - 21 $$

$ \boxed { 39^3 = (2\cdot 19+1)^3 = 31^3 + 30^3 + 6\cdot 425 - 22 } \qquad \qquad $

$$ \boxed { 41^3 = (2\cdot 20+1)^3 = 33^3 + 32^3 + 6 \cdot 40-24 } $$

$ 43^3 = (2\cdot 21+1)^3 = 34^3 + 34^3 + 6 \cdot 154-25 \qquad \qquad $

$$ \underbrace{\boxed { 45^3 = (2\cdot 22+1)^3 = 36^3 + 35^3 + 6 \cdot 270-26}} \qquad $$

$ 47^3 = (2\cdot 23+1)^3 = 37^3 + 37^3 + 6 \cdot 424-27 \qquad \qquad $

$$ \boxed { 49^3 = (2\cdot 24+1)^3 = 39^3 + 38^3 + 6 \cdot 581-28 } \qquad \qquad $$

$ 51^3 = (2\cdot 25+1)^3 = 40^3 + 40^3 + 6 \cdot 780-29 \qquad \qquad $

$$ 53^3 = (2\cdot 26+1)^3 = 42^3 + 42^3 + 6 \cdot 122-31 \qquad \qquad $$

$ \boxed { 55^3 = (2\cdot 27+1)^3 = 44^3 + 43^3 + 6 \cdot 286-32 } $

$$ \underbrace{57^3 = (2\cdot 28+1)^3 = 45^3 + 45^3 + 6 \cdot 496-33} \qquad \qquad $$

$ \boxed { 59^3 = (2\cdot 29+1)^3 = 47^3 + 46^3 + 6 \cdot 709-34 } $

$$ 61^3 = (2\cdot 30+1)^3 = 48^3 + 48^3 + 6 \cdot 972-35 \qquad \qquad $$

$ \underbrace{ 63^3 = (2\cdot 31+1)^3 = 50^3 + 50^3 + 6 \cdot 14-37} \qquad \qquad $

$$ \boxed { 65^3 = (2\cdot 32+1)^3 = 52^3 + 51^3 + 6 \cdot 234-38}} \qquad $$

$$ \underbrace{\boxed { 69^3 = (2\cdot 34+1)^3 = 55^3 + 54^3 + 6 \cdot 785-40}} \qquad $$

$\boxed { 75^3 = (2\cdot 37+1)^3 = 60^3 + 59^3 + 6 \cdot 90-44} \qquad $

$ \underbrace{\boxed { 79^3 = (2\cdot 39+1)^3 = 63^3 + 62^3 + 6 \cdot 785-46}} \qquad $

$$ \underbrace{ 81^3 = (2\cdot 40+1)^3 = 64^3 + 64^3 + 6 \cdot 1200-47} \qquad \qquad $$

$\underbrace{ 91^3 = (2\cdot 45+1)^3 = 72^3 + 72^3 + 6\cdot 1188 - 53 } \qquad $

$ \underbrace{\boxed { 99^3 = (2\cdot 49+1)^3 = 79^3 + 78^3 + 6 \cdot 461-58}} \qquad $

$ \underbrace{\boxed { 103^3 = (2\cdot 51+1)^3 = 82^3 + 81^3 + 6 \cdot 1663-60}} \qquad $

$$ { \boxed { 109^3 = (2\cdot 54+1)^3 = 87^3 + 86^3 + 6 \cdot 89-64} \qquad \qquad $$

$$ \underbrace{\boxed { 113^3 = (2\cdot 56+1)^3 = 90^3 + 89^3 + 6 \cdot 1499 -66}}\qquad $$

Видно,что в пределах этой таблицы,ни одно разложение всем трём условиям одновременно не удовлетворяет.

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1277637 писал(а):

Он сам, или один из кубов его разложения должен быть кратен $3^2$

Я не так сформулировал, Вы мою формулировку переврали.

Someone в сообщении #1276904 писал(а):

… $a$, $b$, $c$ — целые числа, по меньшей мере одно из этих чисел должно делиться на $3^2$.

Замечу, что в этом случае $a+b-c$ тоже должно делиться на $3^2$ (и, разумеется, оно чётное). Соответствующее утверждение сформулировано и доказано в упомянутом файле, пункт 7в).

[ishhan]

PhisicBGA
Прошу Вас рассмотреть в таблице только те ВТФ3* тройки, в которых одна из компонент делится не более чем на 9.
И пояснить ещё раз: алгебраический, геометрический, физический и логический смысл четвертого слагаемого, назовём его-Трином $T=x+y-z$, который всегда у Вас присутствует.

[Antoshka]

Someone в сообщении #1276904 писал(а):

Нетрудно доказать совершенно элементарными рассуждениями, что в равенстве $a^3+b^3=c^3$, где $a$, $b$, $c$ — целые числа, по меньшей мере одно из этих чисел должно делиться на $3^2$.

Можно еще показать, что если $z$ делится на $3^2$, то оно должно делиться еще и на $7$. Только что это дает, неясно. Доказательство простое кстати

[Someone]

Antoshka в сообщении #1278806 писал(а):

Можно еще показать, что если $z$ делится на $3^2$, то оно должно делиться еще и на $7$.

Именно $z$? А для $x$ и $y$ это не доказывается? Они же вроде все равноправные.

Antoshka в сообщении #1278806 писал(а):

Доказательство простое кстати

Очень интересно. Можете показать? Достаточно ссылки на доступный источник с изложением доказательства, если это длинно.

И интересно, какие ещё делители известны для произведения $xyz$.

[PhisicBGA]

ishhan писал(а):

Прошу Вас рассмотреть в таблице только те ВТФ3* тройки, в которых одна из компонент делится не более чем на 9.

Вы ошиблись,уважаемый ishhan:в этой теме я ничего не пытаюсь доказать.Её главная цель-показать как богато внутреннее содержание кубов.Может быть,то свойство,о котором говориться в теореме Ферма - от туда,из этого внутреннего "мира",из "другого измерения"?И пытаться понять его с помощью простеньких свойств деления чисел,подменяя теорему Ферма уравнением,всё равно,что пытаться изучать слона по отпечаткам его ног на песке?
Такое уже бывало в истории науки.В конце позапрошлого века,когда Д.И.Менделеевым был открыт периодический закон распределения элементов,ни кто не мог понять,почему свойства элементов находятся в зависимости атомного веса.Напомню,что в физике в то время безоговорочно "царствовала"модель атома Томсона: нечто, похожее на кекс - кусок теста с вкрапленными в него изюминами-электронами.По сути,это была двумерная модель,поскольку полностью описывалась своей проекции на плоскость.И только,когда Резерфорд,в серии своих замечательных опытов,показал, что атом имеет планетарную,трехмерную структуру,только тогда стало ясно,что это свойство элементов - от туда,из "другого измерения".
Что бы не подумали,что "мол,чудит физик",посылаю Новогодний привет из "другого измерения".
Теорема BGA:любое разложение куба любого нечетного натурального числа всегда можно представить алгебраической суммой восьми кубов натуральных чисел,которая находиться из следующих формул:
1.$(4n+1)=(3n)^3+(3n+1)^3+(2n)^3+(2n+1)^3+n^3+(n-1)^3-(2n-1)^3-1$,где$n$-любое целое число - для чисел с чётной основой;
2. $(4n-1)=(3n)^3+(3n-1)^3+(2n)^3+(2n-1)^3+n^3+(n+1)^3-(2n+1)^3+1$ ,где$n$-любое целое число - для чисел с нечётной основой.

Попробуйте эту теорему доказать с помощью свойств деления чисел и того уравнения,которым уже автоматически подменяют теорему Ферма. Искренне желаю успеха.
Всех поздравляю с наступающим Новым годом и Рождеством!

[Antoshka]

Someone в сообщении #1278880 писал(а):

Очень интересно. Можете показать? Достаточно ссылки на доступный источник с изложением доказательства, если это длинно.

И интересно, какие ещё делители известны для произведения $xyz$.

Могу показать. Еще из делителей $13$ есть вроде. То есть если $z$ делится на $3$, то оно делится еще на $7$ и на $13$. Доказательство тут изложу. Оно основано на следующей лемме.
Пусть имеет место равенство во взаимно простых числах $x^3+y^3=z^3,x,y,z\in\mathbb{N}$. Тогда

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x=m^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A \\ y=w_0^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A\\ z=m^3+w_0^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A \end{array} \right.m,w_0,A\in\mathbb{N} $$

и являются опять же взаимно простыми. Если $z$ нечетно, можно считать $m$ четным. Если $z$ четно, $A$ четно. Конец леммы. Теперь непосредственно доказательство вышенаписанного факта.
После постановки соотношений из леммы в исходное уравнение, имеем уравнение $\eqno(1)$такое $m^3+w_0^3+6m\cdot w_0\cdot A=9A^3$. Ясно, что надо рассмотреть два случая: $x$ делится на $7$ и $y$ делится на $7$.
Пусть $x$ делится на $7$. Тут возможны 2 варианта. Первый - это $w_0$ делится на 7, но это невозможно в силу уравнения $(1)$. Второй - это $(w_0^2+3m\cdot A)$ делится на $7$. Но это опять же невозможно. В самом деле, запишем равенство в следующем виде: $x^3+(x+m^3-w_0^3)^3=(x+m^3)^3$. Отсюда следует, что $(3m^6-3m^3\cdot w_0^3+w_0^6)$ делится на $7$. Но это невозможно. Для $y$ доказательство аналогично. В итоге имеем, что $z$ делится на $7$. Но отсюда следует, что $A$ делится на $7$. Осталось доказать лемму.

[Antoshka]

Только у меня в формулировке леммы $x$ и $y$ надо местами поменять. То есть

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y=m^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A \\ x=w_0^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A\\ z=m^3+w_0^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A \end{array} \right.m,w_0,A\in\mathbb{N} $$

Теперь все верно.

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1278897 писал(а):

Теорема BGA:любое разложение куба любого нечетного натурального числа всегда можно представить алгебраической суммой восьми кубов натуральных чисел,которая находиться из следующих формул:
1.$(4n+1)=(3n)^3+(3n+1)^3+(2n)^3+(2n+1)^3+n^3+(n-1)^3-(2n-1)^3-1$,где$n$-любое целое число - для чисел с чётной основой;
2. $(4n-1)=(3n)^3+(3n-1)^3+(2n)^3+(2n-1)^3+n^3+(n+1)^3-(2n+1)^3+1$ ,где$n$-любое целое число - для чисел с нечётной основой.

Занятно. Но, собственно говоря, одно из соотношений получается из другого заменой $n$ на $-n$ с последующим умножением обеих частей равенства на $-1$. Я не могу сказать, встречалось ли кому-нибудь это равенство. Если бы оно мне и встретилось когда-то, вряд ли я об этом помнил бы.

PhisicBGA в сообщении #1278897 писал(а):

Попробуйте эту теорему доказать с помощью свойств деления чисел и того уравнения,которым уже автоматически подменяют теорему Ферма. Искренне желаю успеха.

Господь с Вами, какие тут свойства делимости и теорема Ферма. Достаточно раскрыть скобки и привести подобные члены. Интереснее, конечно, как Вы на это равенство набрели.

Antoshka, я пока в ваших рассуждениях не разобрался. В вашей теме я написал пару сообщений по какому-то мелкому поводу, а внимательно читать поленился. Пока вижу только, что в равенствах

Antoshka в сообщении #1278961 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y=m^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A \\ x=w_0^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A\\ z=m^3+w_0^3+3\cdot m\cdot w_0\cdot A \end{array} \right.m,w_0,A\in\mathbb{N} $$

число

$$3mw_0A=x+y-z.$$

Про это число известно, что если одно из чисел $x$, $y$, $z$ делится на $3^k$ и не делится на $3^{k+1}$, то и $x+y-z$ делится на $3^k$ и не делится на $3^{k+1}$. Как уже упоминалось, должно быть $k\geqslant 2$.

[vxv]

Antoshka в сообщении #1278806 писал(а):

то оно должно делиться еще и на $7$. Только что это дает, неясно.

[yk2ru]

PhisicBGA в сообщении #1278897 писал(а):

Теорема BGA:любое разложение куба любого нечетного натурального числа всегда можно представить алгебраической суммой восьми кубов натуральных чисел,которая находиться из следующих формул:

Степени не указаны в левых частях?

[Someone]

yk2ru в сообщении #1279105 писал(а):

Степени не указаны в левых частях?

Да, показатели степени там пропущены. Я это видел, но забыл написать об этом. Равенства я, разумеется, проверил.