2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 00:04 


06/02/14
121
Для физика самое главное понять - откуда что взялось и как это работает.Поэтому теорема Ферма на младших курсах физфака стояла в одном ряду с такими проблемами,требующими срочного решения,как общая теория поля и управляемый термоядерный синтез.Уже тогда,при наших бурных обсуждениях в стенах университетского общежития,робко звучало мнение,что, возможно, в ВТФ сформулировано свойство самих чисел,которое,как у всего "сущего в мире",определяется их сложной внутренней структурой.Это мнение с негодованием дружно отвергалось в пользу различных модификаций уравнения Ферма.Что поделаешь-мы были молоды и нам хотелось доказать всё и сразу.Это сейчас ,когда прошли годы,понимаешь,что ВТФ-это не короткий рассказ с невероятно замысловатым сюжетом,а ,скорее,увлекательный роман,где главным героем является не уравнение Ферма,а сами числа.
Как известно,в физике отрицательный результат не является поводом для огорчения,типа "Обидно,да!".Иногда он важнее положительного и является началом прорыва в неизведанные ещё области.Классический пример-опыт Майкельсона.
О чём нам говорит неудача с доказательством ВТФ для соседних кубов?Основной закон сложения арифметических прогрессий и его следствия,которые несомненно действуют внутри кубов,не являются определяющими при разложении куба на составные части.Тогда какой закон управляет этим? Вопрос...
Как физик,я привык задавать вопросы природе и и на её ответах строить уже свои теории.Почему бы сейчас не поступить так же? Мы имеем интереснейший объект-кубы натуральных чисел.Мы знаем их внутреннюю структуру.Почему бы не попробовать разложить кубы нечётных чисел по порядку на соседние кубы? Для начала,на самое простое -на соседний куб и единичное приращение.Сделать такую таблицу:

$  ..1^3   =  (2\cdot 0+1)^3  =  1   $
$  ..3^3   =  (2\cdot 1+1)^3  =  2^3 +    $
$  ..5^3   =  (2\cdot 2+1)^3  =  4^3 +    $
$  ..7^3   =  (2\cdot 3+1)^3  =  6^3 +    $
$  ..9^3   =  (2\cdot 4+1)^3  =  8^3 +    $
$  11^3 =  (2\cdot 5+1)^3  =  10^3 +    $
$  13^3 =  (2\cdot 6+1)^3  =  12^3 +    $
$  15^3 =  (2\cdot 7+1)^3  =  14^3 +    $
$  17^3 =  (2\cdot 8+1)^3  =  16^3 +    $
$  19^3 =  (2\cdot 9+1)^3  =  18^3 +    $
$  21^3 =  (2\cdot 10+1)^3=  20^3 +    $
$  23^3 =  (2\cdot 11+1)^3  =  22^3 +    $
$  25^3 =  (2\cdot 12+1)^3  =  24^3 +    $
$  27^3 =  (2\cdot 13+1)^3  =  26^3 +    $
$  29^3 =  (2\cdot 14+1)^3  =  28^3 +    $
$  31^3 =  (2\cdot 15+1)^3  =  30^3 +    $
$  33^3 =  (2\cdot 16+1)^3  =  32^3 +    $
$  35^3 =  (2\cdot 17+1)^3  =  34^3 +    $
$  37^3 =  (2\cdot 18+1)^3  =  36^3 +    $
$  39^3 =  (2\cdot 19+1)^3  =  38^3 +    $
$  41^3 =  (2\cdot 20+1)^3  =  40^3 +    $

Может быть,в этих разложениях имеются какие то интересные закономерности,а может быть,они совершенно хаотичны и ничего интересного нам не скажут.
Ведь этого никто не делал.Или я ошибаюсь?Если кто то знает - может заполнить эту таблицу или дать ссылку.Было бы очень интересно сравнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 00:10 
Аватара пользователя


22/06/12
984
Только хотел сказать "да это ж как бином Ньютона", но увидев
PhisicBGA в сообщении #1271220 писал(а):
ведь этого никто не делал

понял, что это бесполезно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1574
Москва
PhisicBGA в сообщении #1271220 писал(а):
Ведь этого никто не делал.Или я ошибаюсь?
Ошибаетесь. Ответ на ваш вопрос есть в школьных учебниках по алгебре за примерно 7 или 8 класс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13009
Москва

(Оффтоп)

PhisicBGA в сообщении #1271220 писал(а):
теорема Ферма на младших курсах физфака стояла в одном ряду с такими проблемами,требующими срочного решения,как общая теория поля и управляемый термоядерный синтез.Уже тогда,при наших бурных обсуждениях в стенах университетского общежития,робко звучало мнение,что, возможно, в ВТФ сформулировано свойство самих чисел,которое,как у всего "сущего в мире",определяется их сложной внутренней структурой.Это мнение с негодованием дружно отвергалось в пользу различных модификаций уравнения Ферма.

Самое интересное, о каком физфаке здесь идет речь? :shock: Физфак в палате № 6?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 19:39 


06/02/14
121
То, что задача простая - это понятно.Возможно именно поэтому никто этого не делал.Вопрос не в этом.Вопрос в том,имеются ли в этих разложениях какие то интересные закономерности?Судите сами.


$  ..1^3   =  (2\cdot 0+1)^3  =  1 \qquad  \qquad\qquad  \qquad\qquad \qquad \qquad  \qquad (1) $
$  ..3^3   =  (2\cdot 1+1)^3  =  2^3 + 1 + 6\cdot 3 + 0   $
$  ..5^3   =  (2\cdot 2+1)^3  =  4^3 + 3^3 +6\cdot 6 - 2  $
$  ..7^3   =  (2\cdot 3+1)^3  =  6^3 +  5^3 +6\cdot 1 - 4  $
$  ..9^3   =  (2\cdot 4+1)^3  =  8^3 +   5^3 + 6\cdot16 - 4  \qquad \qquad  \qquad (8^3+6^3+1)$
$  11^3 =  (2\cdot 5+1)^3  =  10^3 +   6^3 +6\cdot 20 - 5 $
$  13^3 =  (2\cdot 6+1)^3  =  12^3 +  7^3 + 6\cdot 22 - 6  \qquad  \qquad (12^3+7^3+5^3+1)$
$  15^3 =  (2\cdot 7+1)^3  =  14^3 +  8^3 + 6\cdot 21 - 7  \qquad  \qquad (14^3+7^3+6^3+4^3+2^3)$
$  17^3 =  (2\cdot 8+1)^3  =  16^3 +   9^3 + 6\cdot 16 - 8 $
$  19^3 =  (2\cdot 9+1)^3  =  18^3 +    10^3 + 6\cdot 6 - 9   \qquad \qquad  \qquad(18^3+10^3+3^3)$
$  21^3 =  (2\cdot 10+1)^3=  20^3 +    10^3 + 6\cdot 45 - 9   $
$  23^3 =  (2\cdot 11+1)^3  =  22^3 +   11^3 + 6 \cdot 33 - 10 $
$  25^3 =  (2\cdot 12+1)^3  =  24^3 +   12^3 + 6\cdot 14 - 11  \qquad  \qquad( 24^3+12^3+4^3+1)$
$  27^3 =  (2\cdot 13+1)^3  =  26^3 +    12^3 + 6\cdot 65 - 11  $
$  29^3 =  (2\cdot 14+1)^3  =  28^3 +   13^3 + 6\cdot 42 - 12  $
$  31^3 =  (2\cdot 15+1)^3  =  30^3 +   14^3 + 6\cdot 14 - 13 $
$  33^3 =  (2\cdot 16+1)^3  =  32^3 +    14^3 + 6\cdot 73 - 13 $
$  35^3 =  (2\cdot 17+1)^3  =  34^3 +  15^3 + 6\cdot 35 -  14       \qquad(34^3+15^3+4^3+2^3-1)$
$  37^3 =  (2\cdot 18+1)^3  =  36^3 + 15^3 + 6\cdot 106 - 14   $
$  39^3 =  (2\cdot 19+1)^3  =  38^3 + 16^3 + 6\cdot 61 - 15  \qquad \qquad (38^3+16^3+7^3+2^3)$
$  41^3 =  (2\cdot 20+1)^3  =  40^3 + 16^3 + 6 \cdot 140-15   \qquad \qquad (40^3+17^3+2^3)$

Как видно из таблицы, разложение не хаотичное,а имеет определённые закономерности:
1.Последний член разложения всегда равен по абсолютной величине разности раскладываемого числа и суммы
получаемых при разложении кубов.
2.Максимальное увеличение младшего куба в разложении не превышает 1.
3.С увеличением основания раскладываемого куба младший куб разложений начинает повторяться у соседних раскладываемых кубов,но не больше одного раза.
4.Все разложения кубов конечны т.е. остаток во всех разложениях всегда меньше единичного приращения младшего куба.
5.Около половины разложений представимы в виде суммы,а в общем случае-в виде суперпозиции,трёх и более кубов натуральных чисел.Результат интересный и неожиданный в количественном плане.Что это:случайность или результат действия того неведомого нам закона,что отвечает за разложения кубов?
В любом случае,это простейшее разложение на соседний куб и единичное приращение показало ,что кубы натуральных чисел имеют сложную и регулярную внутреннюю структуру.А что же может дать нам более сложное разложение-на сумму соседних кубов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
PhisicBGA в сообщении #1271524 писал(а):
разложение не хаотичное,а имеет определённые закономерности

На мой вкус, закономерностей здесь не больше, чем в форме облаков: тоже, знаете ли, весьма интересные фигуры встречаются!
Во-первых, для многих строк у вас никаких представлений нет, причем такие строки распределены в списке неравномерно.
Во-вторых, число слагаемых меняется от 3 до 5 (причем допускаются и разности). А для бОльших $n$ появятся и 6 и 7 и т.д. слагаемых...

Так можно много всяких примеров понаписать! Это называется "подгонка", а не закономерность.

-- 03.12.2017, 19:55 --

PhisicBGA в сообщении #1271524 писал(а):
в виде суммы,а в общем случае-в виде суперпозиции,трёх и более кубов натуральных чисел

Что такое "суперпозиция кубов"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение03.12.2017, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4894
PhisicBGA
Насчёт никто не пробовал.

Если Вы продолжите свои наблюдения, то увидите, что начиная с какого-то числа все числа можно записать в виде суммы кубов четырёх неотрицательных чисел. Те, кто делали это до Вас, нашли такую закономерность: до числа 7 373 170 279 850 всё пляшет вкривь и вкось -- то нужно 9 кубов, то достаточно одного. А вот после этого всё становится проще: всегда хватает не больше 4 кубов. Попытайтесь проверить -- вдруг они чего-то пропустили.

А с рациональными числами как красиво! Любое рациональное число можно представить в виде суммы трёх кубов рациональных чисел (можно отрицательные). Поиграйтесь с этим тоже -- это должно быть интереснее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение04.12.2017, 21:12 


06/02/14
121
[quote ="provincialka"]Что такое "суперпозиция кубов"?[/quote]

Суперпозиция кубов это сумма положительных и отрицательных кубов.Представление куба в виде суперпозиции кубов значит,что его можно представить в виде суммы положительных и отрицательных кубов.
Если $25^3$ представимо в виде суммы только положительных кубов-$$25^3=24^3+12^3+4^3+2^3+1$$ (в таблице пропущено $2^3$ и я спешу исправить это здесь),то $35^3$ представимо в виде суммы положительных и отрицательных кубов-
$$35^3=34^3+15^3+5^3+4^3+2^3-1$$ А,например, $123^3$ представимо следующей суперпозицией кубов-$$123^3=93^3+92^3+62^3+61^3+31^3+32^3-63^3+1$$
А $221^3$ представимо такой суперпозицией кубов-$$221^3=165^3+166^3+110^3+111^3+55^3+54^3-109^3-1$$
Просьба к Вам - ,если Вас не затруднит,проверьте,пожалуйста,выкладки.Вдруг я что то пропустил:"подгонка" ведь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение04.12.2017, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Не.. проверять не буду, лень... А главное, непонятно -- зачем?

Насчет "суперпозиции"... ну, дело ваше, -- изобретать термины... Но вообще-то сумму/разность называют иногда "алгебраическая сумма". Или просто сумма, если считать, что $-(1^3)=(-1)^3$ и допустить в качестве оснований отрицательные числа.
А термин "суперпозиция" уже занят, и довольно разнообразно! К математике больше подходит первый из указанных в ссылке смыслов, композиция функций.

В этом смысле суперпозиция кубов -- это девятая степень.

Так что, если уж вводите собственные понятия, то давайте им строгое определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение05.12.2017, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
PhisicBGA, Вы такое название — проблема Варинга — когда-нибудь слышали? Полюбопытствуйте, там много интересного узнаете.

PhisicBGA в сообщении #1272031 писал(а):
Представление куба в виде суперпозиции кубов значит,что его можно представить в виде суммы положительных и отрицательных кубов.
А зачем отрицательные? Прекрасно можно обойтись только положительными. Любое натуральное число можно представить суммой не более $9$ кубов натуральных чисел.
Рассмотрим ваши примеры.
$25^3=22^3+17^3+4^3$

$35^3=34^3+12^3+11^3+8^3=30^3+25^3+5^3+5^3$

$123^3=120^3+51^3+6^3=118^3+51^3+44^3=99^3+96^3+18^3$

$221^3=216^3+71^3+71^3+7^3=210^3+101^3+74^3+46^3=$
$=205^3+126^3+56^3+14^3=204^3+119^3+85^3+17^3=189^3+145^3+86^3+71^3=$
$=186^3+131^3+123^3+63^3=180^3+149^3+102^3+84^3=$
$=170^3+153^3+119^3+85^3=168^3+157^3+128^3+44^3$

Как видите, представления гораздо короче ваших, не содержат отрицательных чисел, и для больших чисел получается много представлений. Причём, я привёл только представления с наименьшим числом слагаемых, содержащие более одного слагаемого. Впрочем, Вы ведь допустили представление $1^3=1^3$ (с одним слагаемым).

Пример от меня для куба чётного числа.
$222^3=216^3+94^3+32^3=185^3+148^3+111^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение05.12.2017, 02:22 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
grizzly в сообщении #1271539 писал(а):
Те, кто делали это до Вас, нашли такую закономерность:..

А не можете дать ссылки? На тех, кто делал «до нас» :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение05.12.2017, 11:26 


21/11/10
522
PhisicBGA в сообщении #1271524 писал(а):
Что это:случайность или результат действия того неведомого нам закона,что отвечает за разложения кубов?

PhisicBGA
Простейшая формула которая позволяет представить куб числа кратного 6 в виде алгебраической суммы четырёх целых кубов записывается как:
$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$ далее выбираем какое либо число кратное 6, куб которого равен правой части, раскладываем его на три сомножителя:
$d_1= 3(x+y)$
$d_2=(z+x)$
$d_3=(z+y)$
таких что $d_1d_2d_3=(6N)^3$
И решаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными
Получим: $$25^3=7^3+9^3+9^3+24^3$$
$$35^3=24^3-13^3+29^3+19^3$$
$$123^3=60^3+113^3+87^3-77^3$$
и.т.д.
Число способов представления числа $(6N)^3$ в виде суммы четырёх целых кубов (при помощи этой формулы) будет определятся числом способов разложения числа $(6N)^3$ на три сомножителя.
Но есть и другие способы суперпозиции куба из 4-х кубов, возможно их конечное число не проверял)

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение05.12.2017, 11:34 


20/08/14
3780
Россия, Москва
ishhan в сообщении #1272175 писал(а):
куб числа кратного 6

Долго думал в каком месте числа $25^3$ и $35^3$ и $123^3$ кратны $6$ ... Так и не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение05.12.2017, 11:42 


21/11/10
522
Dmitriy40
А теперь:$$24^3=25^3-7^3-9^3-9^3$$
итд
Причём в такой записи алгебраическая сумма оснований 4-х кубов будет равна нулю.
Пардон, слегка запутал всех)

 Профиль  
                  
 
 Re: Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы
Сообщение05.12.2017, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4894
pcyanide в сообщении #1272120 писал(а):
А не можете дать ссылки? На тех, кто делал «до нас»
Очень много. Ключевые слова уже упоминались -- проблема Варинга. Она изучалась вдоль и поперёк и там действительно много интересных вещей можно посмотреть даже на уровне понимания школьной математики (доказательства не будут понятны, но результаты будут выглядеть завораживающе). Для примера, приведу этот обзор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group