Реальное разложение кубов нечётных чисел на соседние кубы

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

Ладно, мы уже поняли, что Вы гений.

Весьма сомнительный комплимент,учитывая вышесказанное .Поэтому предпочитаю вернуть его Вам.

И так,в своей теореме Ферма утверждает,что невозможно разложить куб на два куба без остатка.Будь то соседние кубы или не соседние - всегда будут в разложении любого куба присутствовать два куба и третье число - остаток,которое и вызвало у уважаемого Someone неподдельное изумление.Этот остаток должен быть всегда меньше единичного приращения младшего куба в разложении, иначе раложение будет не закончено.Поэтому для разложения куба на два любых куба(не только соседних) можно дать такое определение:"куб любого натурального числа будет разложен на два куба когда разность раскладываемого куба и суммы двух получающихся кубов будет меньше единичного приращения младшего куба в полученном разложении"
Чем интересно разложение куба нечетного числа на соседние кубы?Целое нечётное число нельзя разложить на сумму двух одинаковых целых чисел:всегда только на соседние.Куб же некоторых целых нечётных чисел ,согласно этому определению можно разложить на сумму двух кубов одного и того же целого числа плюс остаток,который отвечает за сохранение чётности и меньше единичного приращения куба в разложении.Это и подтверждается реальным разложением приведённым во второй таблице.
Значит у кубов этих чисел нет разложения на соседние кубы и их мы можем спокойно вычеркнуть из числа "подозреваемых".

[mihaild]

PhisicBGA в сообщении #1274480 писал(а):

Куб же некоторых целых нечётных чисел ,согласно этому определению можно разложить на сумму двух кубов одного и того же целого числа плюс остаток,который отвечает за сохранение чётности и меньше единичного приращения куба в разложении

По-русски это будет $\forall a \exists b, c: a^3 = 2b^3 + c \wedge (b+1)^3 - b^3 > c$?
Это экивалентно тому, что на интервале $\left(\frac{a}{\sqrt[3]{3}}; \frac{a}{\sqrt[3]{2}}\right)$ есть целое число - его существование для всех достаточно больших $a$ несложно доказывается.

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1274480 писал(а):

И так,в своей теореме Ферма утверждает,что невозможно разложить куб на два куба без остатка.Будь то соседние кубы или не соседние - всегда будут в разложении любого куба присутствовать два куба и третье число - остаток,которое и вызвало у уважаемого Someone неподдельное изумление.

Не изумление, а недоумение. Что кто-то может столь глубокомысленно и с важным видом писать на форуме о таких пустяках, из которых ровным счётом ничего не следует. При этом в течение немногих дней несколько раз меняет правила и, видимо, никак не поймёт сам, что же он хочет сказать. Вы и сейчас определение "разложения на соседние кубы" сформулировали не полностью, потому что у Вас не три слагаемых, а четыре, причём, четвёртое отрицательное.

[provincialka]

PhisicBGA в сообщении #1274480 писал(а):

будет меньше единичного приращения младшего куба в полученном разложении

Что такое "единичное приращение куба"?
Ну и насчет "любого" вы преувеличиваете все-таки... у вас самого пробелы в примерах.

[ishhan]

Someone в сообщении #1274497 писал(а):

потому что у Вас не три слагаемых, а четыре, причём, четвёртое отрицательное.

Уважаемый PhisicBGA!
Как изменится Ваша таблица, если четвёртое слагаемое, а это у Вас применительно к ВТФ3 $x+y-z$ будет положительным.
У Вас уже много наработок в этом направлении и почему бы не дополнить их таким рассмотрением.
Для ВТФ3 гуманитариев и наверное для всех остальных это было бы интересно.

[PhisicBGA]

mihaild писал(а):

По-русски это будет $\forall a \exists b, c: a^3 = 2b^3 + c \wedge (b+1)^3 - b^3 > c ?$

Именно так.И определение разложения куба натурального числа на сумму двух кубов "по-русски"будет выглядеть так:

$$\forall a \exists b < c , d : a^3 = b^3 + c ^3 +d\wedge (b+1)^3 - b^3 > d $$

provincialka писал(а):

Что такое "единичное приращение куба"?
Ну и насчет "любого" вы преувеличиваете все-таки... у вас самого пробелы в примерах.

В определении,которое теперь написано "по-русски","единичное приращение куба"- это член $(b+1)^3 - b^3 = 3(b)(b+1)+1 = 6<b>+1 $.
В своем сообщении о разложении куба нечётного числа на сумму двух соседних кубов я с начала привёл разложения всех кубов по признаку "сумма соседних кубов": у всех кубов в разложении стоят соседние кубы.Затем,применил к разложениям сформулированное выше определение. Получилось,что у некоторых кубов,разложение не законченное:полученный остаток больше единичного приращения (т.е. разности соседних кубов) наименьшего в разложении куба.Оказывается,их конечное разложение - разложение на два одинаковых куба и,конечно же,так как они не чётные, они не могут не иметь остаток,который будет "выравнивать" четность в разложении.
Следовательно, в таком разложении кубы этих чисел подтверждают теорему Ферма.Но остаются выделенные разложения,где и кубы-соседние,и остаток- меньше единичного приращения меньшего куба. Можно ли по каким то закономерностям в них,по тому как они расположены в таблице узнать,почему они обязательно с остатком?
Что касается остатка в разложениях,то он всегда $d$.Но в таком виде,для наших целей,как я уже говорил, он мало информативен.В нашем праве представить его так,как нам удобно-хоть суммой,хоть разностью,лишь бы это было в конечном счёте всегда $d$.Что бы было удобно определять остаток по отношению к единичному приращению,его необходимо представить числом кратным $6$ плюс или минус число "добивающее" это число до величины остатка.В процессе работы с разложениями кубов я заметил интересную особенность:остаток всегда можно представить числом кратным $6$ минус число равное $a - (b +c)$Повторяю - у всех разложений. Что это - случайность или закономерность?Похоже,всё таки,это закономерность,звучащая так:"В разложении любого куба нечетного числа на два куба, получающийся остаток всегда можно представить, как разность числа кратного шести и числа равного разности оснований раскладываемого куба и кубов получаемых при разложении "

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):

Следовательно, в таком разложении кубы этих чисел подтверждают теорему Ферма.

Собственно, в математике нет такого понятия — подтверждение теоремы. Теорема либо доказана, либо нет. Миллиард миллиардов примеров ничего не доказывают, если они не исчерпывают абсолютно всех возможностей, а в натуральном ряде чисел немножко побольше, чем миллиард миллиардов.

PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):

остаток всегда можно представить числом кратным $6$ минус число равное $a - (b +c)$Повторяю - у всех разложений. Что это - случайность или закономерность?

Ну, это совершенно элементарная закономерность. Поскольку для любого целого числа $k$ разность $k^3-k=(k-1)k(k+1)$ делится на $6$, то для любых целых чисел $a$, $b$, $c$ разность $(a^3-b^3-c^3)-(a-b-c)=(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)$ тоже делится на $6$. Отсюда и получается ваше $a^3=b^3+c^3+6h-(b+c-a)$. Причём, именно так, а не как Вы написали:

PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):

минус число равное $a - (b +c)$

Посмотрите свои же примеры.

[ishhan]

PhisicBGA в сообщении #1274892 писал(а):

определение разложения куба натурального числа на сумму двух кубов "по-русски"

Уважаемый PhisicBGA!

Если перевести с "русского" на язык уравнений, то Ваше рассмотрение будет выглядеть как-то так:

$x^3+y^3+z^3=x+y+z+6N$

Где $x,y,z,N$-целые числа

О чём Вам упоминал уважаемый Someone

Прочтите, не пожалеете, интересную заметку в Mathpages

http://www.mathpages.com/home/kmath230.htm

Там рассматривается немного другое уравнение, назовём его Малым Уравнением Ферма:
$x^3+y^3+z^3=x+y+z$
Это уравнение, как и Ваше, имеет бесконечное множество решений.
Ваше уравнение можно назвать Малым Уравнением Ферма по модулю 6.
Но, причем здесь обычное уравнение Ферма $x^3+y^3+z^3=0$
Очевидно, что эти уравнения имеют различные решения,не только в целых, но и в любых других числах.

[ishhan]

ishhan в сообщении #1275148 писал(а):

Очевидно, что эти уравнения имеют различные решения,не только в целых, но и в любых других числах.

Хотел сказать, что существование бесконечного множества решений в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=x+y+z+6N$ не является запретом на существование решений в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=0$
Как- то так, но если Вам, уважаемый PhisicBGA, удастся доказать обратное, то снимаю и съедаю свою шляпу

[PhisicBGA]

ishhan писал(а):

Ваше уравнение можно назвать Малым Уравнением Ферма по модулю 6.
Но, причем здесь обычное уравнение Ферма $x^3+y^3+z^3=0$

Ох,уж эти математики!Всё время убегают от интересной физической реальности к своим формулам и требуют свести эту реальность к милой их сердцу формуле.Ну,ладно...Помните,великое правило математики,которому научила меня уважаемая Shwedka :там , где ничего нет- может быть всё что угодно.Посмотрите на уравнение Ферма - справа у него ни чего нет.Поэтому я могу написать,что угодно.Например,так:

$$(x^3-x)+(y^3-y)+(z^3-z)=x+y+z$$

Получилось моё уравнение т.е.уравнение BGA для случая,когда остаток в разложении куба,равен 0. А это уравнение имеет решение в целых числах?

[ishhan]

PhisicBGA в сообщении #1275350 писал(а):

Получилось моё уравнение т.е.уравнение BGA для случая,когда остаток в разложении куба,равен 0

У Вас вырисовывается уравнение в целых числах: $x^3+y^3+z^3= k(x+y+z)$
где k целое, но не ноль

[shwedka]

(Оффтоп)

PhisicBGA в сообщении #1275350 писал(а):

.Помните,великое правило математики,которому научила меня уважаемая Shwedka :там , где ничего нет- может быть всё что угодно.

Не припомню за собой такого. Укажите точную цитату с адресом цитирования, плииз

[PhisicBGA]

ishhan писал(а):

У Вас вырисовывается уравнение в целых числах: $x^3+y^3+z^3= k(x+y+z)$
где k целое, но не ноль

Но,Вы же,дали уравнение Ферма в общем,алгебраическом виде.Вот и мое уравнение-в алгебраическом виде.В обычном виде оно будет таким:

$$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$

Вопрос - прежний:имеет ли это уравнение решение в целых числах?

-- 16.12.2017, 12:47 --

(Оффтоп)

Слова,конечно, не Ваши,а "народные".Но Вы их суть замечательно продемонстрировали мне вот здесь:
не самый общий случай рассмотрен.
Цитата:
Равенство возможно только когда

$$ 3n= k(a^2 - 3n) $$

$$ 4a = k(2n +1) $$

где $k$-целое число
.
Утверждение не доказано в части 'только'.


Жду доказательства,
что невозможно

$$ 3nm= k(a^2 - 3n) $$

$$ 4a m= k(2n +1) $$

где $k,m$-целые числа..

[ishhan]

PhisicBGA в сообщении #1275365 писал(а):

Но,Вы же,дали уравнение Ферма в общем,алгебраическом виде.Вот и мое уравнение-в алгебраическом виде.В обычном виде оно будет таким:

$$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$

Потрудитесь привести подобные члены, а то ересью попахивает)
Вы, наверное, хотели сказать:$ x^3+y^3+z^3=2(x+y+z)$

[PhisicBGA]

ishhan писал(а):

Потрудитесь привести подобные члены, а то ересью попахивает)
Вы, наверное, хотели сказать:$ x^3+y^3+z^3=2(x+y+z)$

Я сказал то,что хотел сказать. Уравнение BGA - разложение куба нечётного числа на два куба, в общем случае, имеет следующий вид (сохраним обозначения уважаемого Someone ):

$$a^3=b^3+c^3+6h-(b+c-a)$$

Согласно этому уравнению происходят и все разложения в данных мною здесь таблицах. Из этого уравнения следует, что случай,когда в разложении куба будет только два куба, будет иметь место,когда будет выполняться равенство

$$6h = (b+c-a) \eqno (1)$$

Отсюда и приведённая мною формула для этого частного случая:

$$(a^3-a)-(b^3-b)-(c^3-c)=b+c-a$$

Очевидно,что равенство $(1)$ накладывает условие для возникновения этого случая:разность оснований раскладываемого куба и кубов его разложения должна быть кратна $6$.Согласно этому критерию,число "подозрительных" разложений на соседние кубы в таблице №2 останется совсем небольшим:



$ \boxed { 11^3 = (2\cdot 5+1)^3 = 9^3 + 8^3 +6\cdot 16 - 6 }$

$$ \boxed { 21^3 = (2\cdot 10+1)^3= 17^3 + 16^3 + 6\cdot 44 - 12} $$

$ \boxed { 31^3 = (2\cdot 15+1)^3 = 25^3 + 24^3 + 6\cdot 60 - 18 } $

$$ \boxed { 41^3 = (2\cdot 20+1)^3 = 33^3 + 32^3 + 6 \cdot 40-24 } $$

Похоже,что добропорядочные кубы,тоже из за боязни быть обличёнными в ереси,совсем отказались от разложения на два куба.Но как они это сделали? Вопрос...