Бесконечность и пара вопросов о ней

[Hamson]

Возник тут вопрос, а чему равно:
00 + 1 =, где 00 - это бесконечность
Также интересует возможно ли вот такое:
Пусть 00 = X
X + 1 = X
1 неравно 0
А то спор с коллегой возник, а разрешить не получается.

[Brukvalub]

А в какой числовой системе происходит сложение

\[ \infty + 1 \]

[Hamson]

Ээээ Пифагора Вроде так называется... А какие еще системы бывают?

[PSP]

Brukvalub писал(а):

А в какой числовой системе происходит сложение

\[ \infty + 1 \]

1/ \infty = 0;1/0=\infty;0/0=\infty/\infty=?;
Если это неизвестно, значит , и нули и бесконечности разными бывают..Сразу о Канторе мысль..

[Brukvalub]

Hamson писал(а):

Ээээ Пифагора Embarassed Вроде так называется... А какие еще системы бывают?

Вот как раз про числовую систему Пифагора я мало знаю. Расскажите пожалуйста кратко, что это такое?

[AD]

Вот Yarkin о ней много знает. *

Ну если нужно (да-да, подчеркиваю, именно нужно, а не "есть на самом деле" **) трактовать символ $\infty$ именно как нечто равноправное с остальными числами, то есть несколько подходов.

1. Расширенная числовая прямая. $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\sqcup\{\infty,-\infty\}$. Или пополненная комплексная плоскость $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\sqcup\{\infty\}$. Затем операции сложения и умножения естественным (кому как, конечно) образом продолжаются на новое множество чисел. То есть декларируется, что, например, $\infty+1=\infty$. Однако, после такой процедуры у чисел теряются многие привычные свойства. То есть, в частности, нельзя в этом равенстве "сократить" на бесконечность и прийти к $1=0$. То, что в равенствах можно "сокращать" - это такая теорема. Она доказывается только для обычных чисел***, без всяких бесконечностей. С бесконечностями, как вы и заметили, она становится неверна.

2. Теория трансфинитных чисел. Здесь корректно определяются "числа"
$\infty$,
$\infty+1$,
$\ldots$,
$\infty+\infty=2\cdot\infty$,
$\ldots$,
$\infty\cdot\infty=\infty^2$,
$\infty^2+1$,
$\ldots$,
не равные друг другу. То есть, в частности, $\infty+1\neq\infty$.

Ну и другие подходы есть.
_________________
* Это мы так, о своём ...
*** Ну на самом деле она много для чего доказывается, ну для групп, скажем так.

Добавлено спустя 6 минут 12 секунд:

** Итак, еще раз. Хочу, чтобы вы все-таки поняли смысл ответа.
Математика не занимается "научным изучением реально существующего объекта $\infty$".
В символ $\infty$ разные разделы математики вкладывают разный смысл. А иногда он и вовсе имеет смысл только как часть некоторого большого символа, типа "$n\to\infty$".
Поэтому вопросы типа "почему $\infty+1=\infty$?", или вот, скажем, "чему равно $\frac00$?" не несут в себе никакого смысла. Ответы на них - "потому что математики так договорились".

[Hamson]

Нет, тут смысл именно в простейшем сложении бесконечности и единицы, при этом бесконечность не принимается, как какое-то определенное число.[/img][/b][/math]

[Brukvalub]

Hamson писал(а):

Нет, тут смысл именно в простейшем сложении бесконечности и единицы,

В таком сложении смысла не больше, чем в выписывании кругов вилами по воде.

[AD]

Hamson писал(а):

при этом бесконечность не принимается, как какое-то определенное число

Это не относится к сути дела. Не важно, как что кем и с какого перепугу воспринимается. Просто сложение - это операция. Операция определяется на множестве. Когда я говорил, что "бесконечность - это число", я имел ввиду следующее: рассмотрим множество $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\sqcup\{\infty,-\infty\}$, и введем на нем операцию $+$ так-то-и-так-то. Ничего более. Думаю, вы имели ввиду именно эту конструкцию. Потому что ничего более "простейшего" нету.

[Echo-Off]

AD писал(а):

То есть, в частности, $\infty+1\neq\infty$.

Правильно ли я понимаю, что, несмторя на это неравенство, $1+\infty=\infty$?

[AD]

Да, именно так.

[Echo-Off]

Ну тогда эту "бесконечность" надо обозначать не $\infty$, а $\omega$

[AD]

Ну да. Только, боюсь, аскер тогда совсем не поймет, к чему я это.

[Someone]

Да, и ещё: при стандартном определении умножения ординалов $\omega+\omega=\omega\cdot 2\neq 2\omega=\omega$ (К.Куратовский, А.Мостовкий. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970).

[MGM]

Hamson писал(а):

Возник тут вопрос, а чему равно:
00 + 1 =, где 00 - это бесконечность
Также интересует возможно ли вот такое:
Пусть 00 = X
X + 1 = X
1 неравно 0
А то спор с коллегой возник, а разрешить не получается.

А что если расширить сие до трёхмерного вектора с базой

\[ \left\{ {\infty ,1,\delta } \right\} \]

? Копейки будем складывать с копейкам, а рубли с рублями.
Ваш пример на сложение:

\[ \left[ {1,0,0} \right]^T + \left[ {0,1,0} \right]^T = \left[ {1,1,0} \right]^T \]

Норму только надо подобрать поприличнее, можно радианную, или типа площади для системы из трёх элементов.