2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Бесконечность и пара вопросов о ней
Сообщение18.06.2008, 11:08 


18/06/08
3
Возник тут вопрос, а чему равно:
00 + 1 =, где 00 - это бесконечность
Также интересует возможно ли вот такое:
Пусть 00 = X
X + 1 = X
1 неравно 0
А то спор с коллегой возник, а разрешить не получается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А в какой числовой системе происходит сложение\[
\infty  + 1
\] :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 12:12 


18/06/08
3
Ээээ Пифагора :oops: Вроде так называется... А какие еще системы бывают? :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Brukvalub писал(а):
А в какой числовой системе происходит сложение\[
\infty  + 1
\] :shock:

1/ \infty = 0;1/0=\infty;0/0=\infty/\infty=?;
Если это неизвестно, значит , и нули и бесконечности разными бывают..Сразу о Канторе мысль..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Hamson писал(а):
Ээээ Пифагора Embarassed Вроде так называется... А какие еще системы бывают?
Вот как раз про числовую систему Пифагора я мало знаю. Расскажите пожалуйста кратко, что это такое?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 13:16 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Вот Yarkin о ней много знает. :lol: *

Ну если нужно (да-да, подчеркиваю, именно нужно, а не "есть на самом деле" **) трактовать символ $\infty$ именно как нечто равноправное с остальными числами, то есть несколько подходов.

1. Расширенная числовая прямая. $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\sqcup\{\infty,-\infty\}$. Или пополненная комплексная плоскость $\overline{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\sqcup\{\infty\}$. Затем операции сложения и умножения естественным (кому как, конечно) образом продолжаются на новое множество чисел. То есть декларируется, что, например, $\infty+1=\infty$. Однако, после такой процедуры у чисел теряются многие привычные свойства. То есть, в частности, нельзя в этом равенстве "сократить" на бесконечность и прийти к $1=0$. То, что в равенствах можно "сокращать" - это такая теорема. Она доказывается только для обычных чисел***, без всяких бесконечностей. С бесконечностями, как вы и заметили, она становится неверна.

2. Теория трансфинитных чисел. Здесь корректно определяются "числа"
$\infty$,
$\infty+1$,
$\ldots$,
$\infty+\infty=2\cdot\infty$,
$\ldots$,
$\infty\cdot\infty=\infty^2$,
$\infty^2+1$,
$\ldots$,
не равные друг другу. То есть, в частности, $\infty+1\neq\infty$.

Ну и другие подходы есть.
_________________
* Это мы так, о своём ...
*** Ну на самом деле она много для чего доказывается, ну для групп, скажем так.

Добавлено спустя 6 минут 12 секунд:

** Итак, еще раз. Хочу, чтобы вы все-таки поняли смысл ответа.
Математика не занимается "научным изучением реально существующего объекта $\infty$".
В символ $\infty$ разные разделы математики вкладывают разный смысл. А иногда он и вовсе имеет смысл только как часть некоторого большого символа, типа "$n\to\infty$".
Поэтому вопросы типа "почему $\infty+1=\infty$?", или вот, скажем, "чему равно $\frac00$?" не несут в себе никакого смысла. Ответы на них - "потому что математики так договорились".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 13:33 


18/06/08
3
Нет, тут смысл именно в простейшем сложении бесконечности и единицы, при этом бесконечность не принимается, как какое-то определенное число.[/img][/b][/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Hamson писал(а):
Нет, тут смысл именно в простейшем сложении бесконечности и единицы,
В таком сложении смысла не больше, чем в выписывании кругов вилами по воде.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 13:36 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Hamson писал(а):
при этом бесконечность не принимается, как какое-то определенное число
Это не относится к сути дела. Не важно, как что кем и с какого перепугу воспринимается. Просто сложение - это операция. Операция определяется на множестве. Когда я говорил, что "бесконечность - это число", я имел ввиду следующее: рассмотрим множество $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\sqcup\{\infty,-\infty\}$, и введем на нем операцию $+$ так-то-и-так-то. Ничего более. Думаю, вы имели ввиду именно эту конструкцию. Потому что ничего более "простейшего" нету.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 13:48 
Аватара пользователя


23/09/07
364
AD писал(а):
То есть, в частности, $\infty+1\neq\infty$.

Правильно ли я понимаю, что, несмторя на это неравенство, $1+\infty=\infty$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 13:52 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Да, именно так.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 14:15 
Аватара пользователя


23/09/07
364
Ну тогда эту "бесконечность" надо обозначать не $\infty$, а $\omega$ :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 14:28 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну да. Только, боюсь, аскер тогда совсем не поймет, к чему я это.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Да, и ещё: при стандартном определении умножения ординалов $\omega+\omega=\omega\cdot 2\neq 2\omega=\omega$ (К.Куратовский, А.Мостовкий. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность и пара вопросов о ней
Сообщение18.06.2008, 16:57 
Аватара пользователя


05/06/08
477
Hamson писал(а):
Возник тут вопрос, а чему равно:
00 + 1 =, где 00 - это бесконечность
Также интересует возможно ли вот такое:
Пусть 00 = X
X + 1 = X
1 неравно 0
А то спор с коллегой возник, а разрешить не получается.

А что если расширить сие до трёхмерного вектора с базой \[
\left\{ {\infty ,1,\delta } \right\}
\]? Копейки будем складывать с копейкам, а рубли с рублями.
Ваш пример на сложение:
\[
\left[ {1,0,0} \right]^T  + \left[ {0,1,0} \right]^T  = \left[ {1,1,0} \right]^T 
\]
Норму только надо подобрать поприличнее, можно радианную, или типа площади для системы из трёх элементов. :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 129 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group