Функции: свойства и графики (Давидович)

[grizzly]

irod
Всё верно!

[irod]

deep down в сообщении #1266315 писал(а):

irod в сообщении #1266052 писал(а):

Давайте разберемся с модулями на примере $f(x)=|x+1|-|x-1|$, тем более что я сейчас решаю задачу с ними в следующем листке.
Подставляю $-x$: $|1-x|-|-x-1|$.

Так Вы почти всё сделали. Посмотрите внимательно на выражения $|x+1|$ и $|-x-1|$. Потом на $|x-1|$ и $|1-x|$. Какие-то из них будут между собой равны. И $f(-x)$ преобразутся в $-f(x)$.

Я понял, надо просто использовать свойства модуля (да, кэп). Не хватает тут листочка по модулю, попробую на выходных сам эти свойства повыводить.
В общем, по свойству $|ab|=|a||b|$ модуля,
$|x+1|=|(-1)(-x-1)|=|-1||-x-1|=|-x-1|$,
$|x-1|=|(-1)(1-x)|=|-1||1-x|=|1-x|$.

-- 30.11.2017, 15:31 --

Есть вопросы по следующей

Задача 7.
Исследовать следующие функции и построить их графики: (и далее куча всяких формул).

Вопросы.

1) В комментариях к этому листку написано следующее:

Цитата:

Исследование функций в задаче включает в себя нахождение области определения функции, множества значений, точек пересечения с осями, промежутков монотонности, определение четности/нечетности, периодичности.

Что за периодичность? Этого нигде раньше не было.

2) Что за функция $\{x\}$? Это дробная часть числа $x$? А что такое $[x]$? Целая часть $x$? Я смогу исследовать эти функции при том что я пропустил листок 9 по десятичной записи действительных чисел?

[teleglaz]

irod в сообщении #1270402 писал(а):

Что за периодичность? Этого нигде раньше не было.

Возможно вы знаете, что такое периодическая функция? Может быть даже знаете примеры таких функций?

irod в сообщении #1270402 писал(а):

Это дробная часть числа $x$?

Да. Но остаётся вопрос как её определить.

irod в сообщении #1270402 писал(а):

Целая часть $x$?

Тоже да. Но вопрос тот же.

irod в сообщении #1270402 писал(а):

Я смогу исследовать эти функции при том что я пропустил листок 9 по десятичной записи действительных чисел?

Исследовать эти функции по указанным вами параметрам, думаю, вполне сможете.

[irod]

teleglaz в сообщении #1270421 писал(а):

Возможно вы знаете, что такое периодическая функция? Может быть даже знаете примеры таких функций?

Я догадываюсь что к ним относятся всякие синусы и косинусы, например. Только что нашел нужное определение в листке 19 (определение 5), буду использовать его.

[irod]

Что-то сложное это 7-е задание. Пункты а-г получились без проблем (выложу позже), дальше начались вопросы. Мне непонятно как строить такие графики, с исследованием проблем нет. Я умею строить только графики функций из задачи 2, по-всякому преобразованные (задача 6). Соответственно я пытаюсь каждую функцию свести к некоторому преобразованию из задачи 6 какой-то функции из задачи 2.
Вот, например,
д) $\frac{2|x|}{1+x^2}$.
Пытался преобразовать так:

$$ \frac{2|x|}{1+x^2}=\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|= \left|\frac{1+x^2-(1-2x+x^2)}{1+x^2}\right|= \left|1-\frac{(1-x)^2}{1+x^2}\right| $$

-- кажется, тупиковый путь.
А можно так:

$$ \frac{2|x|}{1+x^2}= 2\left|\frac{x}{1+x^2}\right|= 2\left|\frac{1+x^2}{x}\right|^{-1}= 2\left|\frac{1}{x}+x\right|^{-1}. $$

Всплыла функция $x+\frac{1}{x}$ из следующего пункта с преобразованием из 8.в. Это такой задел на будущее? Что с этим дальше делать, подскажите пожалуйста.

-- 01.12.2017, 15:33 --

teleglaz в сообщении #1270421 писал(а):

irod в сообщении #1270402 писал(а):

Это дробная часть числа $x$?

Да. Но остаётся вопрос как её определить.

irod в сообщении #1270402 писал(а):

Целая часть $x$?

Тоже да. Но вопрос тот же.

Я понимаю что Давидовича на этом форуме нет, но может у Вас есть идеи какие определения тут лучше использовать? Я их нигде в листках не вижу.

-- 01.12.2017, 15:49 --

Или я с задачей 7 все усложняю, и надо строить графики просто по набору точек и с учетом проведенного исследования?

[grizzly]

(Я честно признаюсь, что не знаю методики обучения этой темы и не помню, как меня учили.)

irod в сообщении #1270684 писал(а):

Вот, например,
д) $\frac{2|x|}{1+x^2}$.

Но в этой задаче вся возня с модулями выглядит совершенно излишней. Достаточно построить график только для положительных $x$, а затем воспользоваться задачей 6.б) этого листа.

[teleglaz]

irod в сообщении #1270684 писал(а):

Я понимаю что Давидовича на этом форуме нет, но может у Вас есть идеи какие определения тут лучше использовать?

Надо полагать, что от вас хотят определения, что $[\cdot] -$ это округление вниз. Но это не точно. Дело в том, что обозначение $[\cdot]$ вносит некоторую неопределённость. Ну то, что $[1{,}8]=1$ и ежу понятно. А вот чему равно $[-1{,}8]? $ Тут возможны разногласия. По определению "целая часть числа" хочется сказать $-1$, по определению "округление вниз" - $-2$. Вот чтобы с этим не связываться, ввели другие обозначения: $\lceil\cdot\rceil$ - округление вверх и $\lfloor\cdot\rfloor$ - округление вниз (в простонародье "пол" и "потолок"). И обычно полагают $[x]=\lfloor x\rfloor$. Попробуйте теперь получить определение для $\{x\}$.

[grizzly]

teleglaz

(Оффтоп)

Лучше запятую брать в круглые скобки: [1{,}8] -- $[1{,}8]$, если хочется писать по-русски, или использовать десятичную точку (я предпочитаю последний вариант для форумов и первый для печатных изданий на русском).

[teleglaz]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1270956 писал(а):

teleglaz
[off]Лучше запятую брать в круглые скобки: [1{,}8] -- $[1{,}8]$, если хочется писать по-русски, или использовать десятичную точку (я предпочитаю последний вариант для форумов и первый для печатных изданий на русском).

(Оффтоп)

Согласен. Обычно ставлю скобки. Тут забыл просто.

[irod]

Выложу пока сделанные пункты а-г.
Для исследования периодичности использую определение периодической функции в листке 19 (определение 5):
Число $c$ называется периодом функции $f:M\to\mathbb{R}$, если выполнены следующие условия:
1) $\forall x\in M\ x+c\in M,x-c\in M$; 2) $\forall x\in M\ f(x+c)=f(x)$.
Функция называется периодической, если у нее есть положительный период.

а) $f(x)= \begin{cases} 1, & \mbox{если } x\leq 0, \\ (x-1)^2, & \mbox{если } x>0 \end{cases} $

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $[0,+\infty[$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=1$.
Пересечение с $Ox$: $(x-1)^2=0$ при $x=1$.
Промежутки монотонности: функция монотонна при $x\leq 0$, и не монотонна при $x>0$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной, т.к. $(x-1)^2\neq(-x-1)^2\neq-(x-1)^2$.
Периодичность: не периодична.

б) $f(x)= \begin{cases} |x|, & \mbox{если } |x|\leq 1, \\ 2-x^2, & \mbox{если } |x|>1 \end{cases} $

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $f(x)\in[0,1]$ при $|x|\leq 1$ и $f(x)\in]-\infty,1[$ при $|x|>1$, что вместе дает $]-\infty,1]$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=0$.
Пересечение с $Ox$: $f(x)=0\Rightarrow x_1=0,x_{2,3}=\pm\sqrt{2}$.
Промежутки монотонности: возрастает на $]-\infty,-1[\cup[0,1]$, убывает на $[-1,0]\cup]1,+\infty[$.
Определение четности/нечетности: очевидно, четная.
Периодичность: не периодична.

в) $\frac{1}{|x|}$

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Множество значений: $]0,+\infty[$.
Пересечение с осями координат: не пересекается.
Промежутки монотонности: убывает при $x>0$ и возрастает при $x<0$.
Определение четности/нечетности: очевидно, четная.
Периодичность: не периодична.
График получается отражением части гиперболы $\frac{1}{x}$ при $x>0$ относительно $Oy$.

г) $\frac{|x|}{|x+1|}$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
Пересечение с осями координат: проходит через начало координат, т.е. $f(0)=0$.
Промежутки монотонности: возрастает на $]-\infty,-1[\cup[0,+\infty[$, убывает на $]-1,0]$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
График: $\frac{|x|}{|x+1|}=\left|\frac{x+1-1}{x+1}\right|=\left|1-\frac{1}{x+1}\right|$, т.е. рисуем гиперболу $\frac{1}{x}$, сдвигаем ее по $Ox$ на $1$ влево, отражаем относительно $Ox$, сдвигаем по $Oy$ на $1$ вверх и отражаем все отрицательные значения относительно $Ox$.

[deep down]

Всё хорошо, только нужно доработать 7.а. Про отсутствие монотонности имеет смысл говорить если функция не монотонна ни на каком отрезке (кстати, можете придумать такую?). В данном примере распишите по интервалам.

Что автор предпоалагал делать с $\frac{2|x|}{1+x^2}$ я не знаю. Можете попробовать следующее.
Во первых, посмотрим на поведение функции (предполагаем $x>0$, как указали выше). Возле нуля функция ведёт себя примерно как $x$. На бесконечности убывает к нулю. Поскольку степени числителя и знаменателя малы, сильных колебаний быть не должно. Осталось как-то соединить, для очистки совести можно вычислить несколько точек от $0.2$ до $2$.
Второй вариант. Сначала постройте график $x+\frac{1}{x}$. Потом по графику функции $f$ постройте график $\frac{1}{f}$.

Пара дополнительных вопросов.
Если функция периодична, то верно ли, что у неё есть наименьший период?
У дробно-линейной функции $\frac{ax+b}{cx+d}$ есть $4$ параметра. Когда Вы строили график $\alpha+\frac{k}{x-\beta}$, их осталось только три - координаты "центра" и коэффициент "прижимаемости к осям" гиперболы. Где мы потеряли ещё один?

[irod]

deep down в сообщении #1272210 писал(а):

Всё хорошо, только нужно доработать 7.а. Про отсутствие монотонности имеет смысл говорить если функция не монотонна ни на каком отрезке (кстати, можете придумать такую?). В данном примере распишите по интервалам.

Функция $f(x)= \begin{cases} 1, & \mbox{если } x\leq 0, \\ (x-1)^2, & \mbox{если } x>0 \end{cases} $ монотонна при $x\leq 0$, убывает на $[0,1]$, возрастает на $[1,+\infty[$.

deep down в сообщении #1272210 писал(а):

Что автор предпоалагал делать с $\frac{2|x|}{1+x^2}$ я не знаю. Можете попробовать следующее.
...
Второй вариант. Сначала постройте график $x+\frac{1}{x}$. Потом по графику функции $f$ постройте график $\frac{1}{f}$.

Я попробую второй вариант и поменяю местами пункты д и е этой задачи.

7.е) $x+\frac{1}{x}$

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Найдем множество значений.
Функция нигде не равна нулю, т.к. $x+\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^2=-1$, что невозможно при действительном $x$. При $x>0$ имеем $x+\frac{1}{x}>1$, при $x<0$ имеем $x+\frac{1}{x}<-1$. С ростом (убыванием) $x$ функция неограниченно возрастает (убывает). Таким образом, множество значений функции есть $]-\infty,1[\cup]1,+\infty[$.
Пересечение с осями координат: не пересекается.
Определение четности/нечетности: очевидно нечетная.
Найдем промежутки монотонности.
Рассмотрим разность значений

$$ f(x_2)-f(x_1)= x_2+\frac{1}{x_2}-x_1-\frac{1}{x_1}= x_2-x_1-\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. $$

Пусть $0<x_1<x_2\leq 1$. Тогда $x_1x_2<1\Rightarrow \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>x_2-x_1\Rightarrow f(x_2)<f(x_1)$, т.е. функция убывает на $]0,1]$.
Пусть теперь $1\leq x_1<x_2$. Тогда $x_1x_2>1\Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$, т.е. функция возрастает на $[1,+\infty[$.
Применяя нечетность функции, получим (задача 3) возрастание на $]-\infty,-1]$ и убывание на $[-1,0[$.
Таким образом, функция возрастает на $]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[$ и убывает на $[-1,0[\cup]0,1]$.
Периодичность: не периодична.
Для построения графика вычислим значения функции в некоторых положительных точках и отобразим график относительно начала координат:
\begin{tabular}{rccccc} x & 0.25 & 0.5 & 1 & 2 & 4 \\ f(x) & 4.25 & 2.5 & 2 & 2.5 & 4.25 \\ \end{tabular}


-- 10.12.2017, 21:53 --

deep down в сообщении #1272210 писал(а):

Пара дополнительных вопросов.

Спасибо, на это позже отвечу.
teleglaz
спасибо за помощь, к целой/дробной части тоже чуть позже вернусь.

[deep down]

Всё так.
В 7.а уточните

irod в сообщении #1273783 писал(а):

монотонна при $x\leq 0$

Как именно монотонна, возрастает или убывает? Лучше сказать, что она постоянна. Есть ли монотонность на $\left(-\infty, 1\right]$?

Ещё есть стандартное преобразование

$$x+\frac{1}{x} = (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$$

Верно при $x>0$. Другой способ - возвести выражение в квадрат, потом опять выделить квадрат разности.

[irod]

Сделал наконец-то 7.д) $\frac{2|x|}{1+x^2}$

Определение четности/нечетности: очевидно четная.
Для облегчения дальнейшего исследования и построения графика сразу преобразуем функцию:

$$ \frac{2|x|}{1+x^2}= 2\left|\frac{x}{1+x^2}\right|= 2\left|\frac{1+x^2}{x}\right|^{-1}= 2\left|\frac{1}{x}+x\right|^{-1}, $$

т.е. надо построить график функции $\frac{2}{|g(x)|}$, где $g(x)=\frac{1}{x}+x$ -- функция из пункта е). Конкретней: строим график $\frac{1}{g(x)}$ по графику из п.е), растягиваем его в 2 раза по $Oy$, и отражаем все отрицательные значения относительно $Ox$. Или так: берем часть графика $g(x)$ при $x\geq 0$, строим по этой части график $\frac{1}{g(x)}$, растягиваем его в 2 раза по $Oy$, и отражаем относительно $Oy$ на отрицательные $x$ (т.к. наша функция четная).
Область определения: $\mathbb{R}$.
Пересечение с осями координат: проходит через начало координат, т.е. $f(0)=0$.
Найдем промежутки монотонности.
Рассмотрим только $x\geq 0$ и применим четность функции.
Из исследования функции из пункта е) следует, что наша функция возрастает на $[0,1]$ и убывает на $[1,+\infty[$. Проверим это формально. Как и ранее, рассмотрим разность

$$ f(x_2)-f(x_1)= 2\left(\frac{|x_2|}{1+x_2^2}-\frac{|x_1|}{1+x_1^2}\right)= 2\left(\frac{|x_2|(1+x_1^2)-|x_1|(1+x_2^2)}{(1+x_2^2)(1+x_1^2)}\right). $$

Т.к. знаменатель всегда положителен, далее будем рассматривать только числитель, отбросив умножение на $2$:

$$ |x_2|(1+x_1^2)-|x_1|(1+x_2^2)= (x_2-x_1)(1-x_1x_2). $$

Для положительных $x_1,x_2$ таких, что $x_1<x_2$, имеем $x_2-x_1>0$.
Пусть $0\leq x_1<x_2\leq 1$. Тогда $x_1x_2<1$, значит $(x_2-x_1)(1-x_1x_2)>0$. Следовательно, функция действительно возрастает на $[0,1]$.
Пусть теперь $1\leq x_1<x_2$. Тогда $x_1x_2>1$, значит $(x_2-x_1)(1-x_1x_2)<0$. Следовательно, функция действительно убывает на $[1,+\infty[$.
Применив четность функции, получим возрастание на $]-\infty,-1]\cup[0,1]$ и убывание на $[-1,0]\cup[1,+\infty[$.
Согласно промежуткам монотонности, функция достигает максимума в точке $1$: $f(1)=1$. Все значения функции неотрицательны. Следовательно, множеством значений функции будет отрезок $[0,1]$.
Периодичность: не периодична.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rcccc} x & 0.25 & 0.5 & 1 & 2 \\ f(x) & \approx 0.5 & 0.8 & 1 & 0.8 \\ \end{tabular}

[irod]

deep down в сообщении #1274042 писал(а):

В 7.а уточните

irod в сообщении #1273783 писал(а):

монотонна при $x\leq 0$

Как именно монотонна, возрастает или убывает?

Можно сказать что не возрастает, можно сказать что не убывает, в данном случае разницы нет.

deep down в сообщении #1274042 писал(а):

Лучше сказать, что она постоянна.

Ок.

deep down в сообщении #1274042 писал(а):

Есть ли монотонность на $\left(-\infty, 1\right]$?

Есть - невозрастающая.

-- 18.12.2017, 16:12 --

deep down в сообщении #1274042 писал(а):

Ещё есть стандартное преобразование

$$x+\frac{1}{x} = (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$$

Верно при $x>0$. Другой способ - возвести выражение в квадрат, потом опять выделить квадрат разности.

А зачем тут выделять квадрат? Что это даст по сравнению с моим способом без выделения квадрата? Это может как-то облегчить исследование на монотонность?
Вот в задаче 2.б было понятно зачем нужно выделение квадрата - чтобы увидеть сдвиг параболы по $Ox$ и для исследования на монотонность.