2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.11.2017, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
irod
Всё верно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение30.11.2017, 15:26 


21/02/16
476
deep down в сообщении #1266315 писал(а):
irod в сообщении #1266052 писал(а):
Давайте разберемся с модулями на примере $f(x)=|x+1|-|x-1|$, тем более что я сейчас решаю задачу с ними в следующем листке.
Подставляю $-x$: $|1-x|-|-x-1|$.

Так Вы почти всё сделали. Посмотрите внимательно на выражения $|x+1|$ и $|-x-1|$. Потом на $|x-1|$ и $|1-x|$. Какие-то из них будут между собой равны. И $f(-x)$ преобразутся в $-f(x)$.

Я понял, надо просто использовать свойства модуля (да, кэп). Не хватает тут листочка по модулю, попробую на выходных сам эти свойства повыводить.
В общем, по свойству $|ab|=|a||b|$ модуля,
$|x+1|=|(-1)(-x-1)|=|-1||-x-1|=|-x-1|$,
$|x-1|=|(-1)(1-x)|=|-1||1-x|=|1-x|$.

-- 30.11.2017, 15:31 --

Есть вопросы по следующей

Задача 7.
Исследовать следующие функции и построить их графики: (и далее куча всяких формул).

Вопросы.

1) В комментариях к этому листку написано следующее:
Цитата:
Исследование функций в задаче включает в себя нахождение области определения функции, множества значений, точек пересечения с осями, промежутков монотонности, определение четности/нечетности, периодичности.

Что за периодичность? Этого нигде раньше не было.

2) Что за функция $\{x\}$? Это дробная часть числа $x$? А что такое $[x]$? Целая часть $x$? Я смогу исследовать эти функции при том что я пропустил листок 9 по десятичной записи действительных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение30.11.2017, 16:25 


16/08/17
53
irod в сообщении #1270402 писал(а):
Что за периодичность? Этого нигде раньше не было.

Возможно вы знаете, что такое периодическая функция? Может быть даже знаете примеры таких функций?

irod в сообщении #1270402 писал(а):
Это дробная часть числа $x$?

Да. Но остаётся вопрос как её определить.

irod в сообщении #1270402 писал(а):
Целая часть $x$?

Тоже да. Но вопрос тот же.

irod в сообщении #1270402 писал(а):
Я смогу исследовать эти функции при том что я пропустил листок 9 по десятичной записи действительных чисел?

Исследовать эти функции по указанным вами параметрам, думаю, вполне сможете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение30.11.2017, 16:47 


21/02/16
476
teleglaz в сообщении #1270421 писал(а):
Возможно вы знаете, что такое периодическая функция? Может быть даже знаете примеры таких функций?

Я догадываюсь что к ним относятся всякие синусы и косинусы, например. Только что нашел нужное определение в листке 19 (определение 5), буду использовать его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение01.12.2017, 15:30 


21/02/16
476
Что-то сложное это 7-е задание. Пункты а-г получились без проблем (выложу позже), дальше начались вопросы. Мне непонятно как строить такие графики, с исследованием проблем нет. Я умею строить только графики функций из задачи 2, по-всякому преобразованные (задача 6). Соответственно я пытаюсь каждую функцию свести к некоторому преобразованию из задачи 6 какой-то функции из задачи 2.
Вот, например,
д) $\frac{2|x|}{1+x^2}$.
Пытался преобразовать так:
$$
\frac{2|x|}{1+x^2}=\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|=
\left|\frac{1+x^2-(1-2x+x^2)}{1+x^2}\right|=
\left|1-\frac{(1-x)^2}{1+x^2}\right|
$$
-- кажется, тупиковый путь.
А можно так:
$$
\frac{2|x|}{1+x^2}=
2\left|\frac{x}{1+x^2}\right|=
2\left|\frac{1+x^2}{x}\right|^{-1}=
2\left|\frac{1}{x}+x\right|^{-1}.
$$
Всплыла функция $x+\frac{1}{x}$ из следующего пункта с преобразованием из 8.в. Это такой задел на будущее? Что с этим дальше делать, подскажите пожалуйста.

-- 01.12.2017, 15:33 --

teleglaz в сообщении #1270421 писал(а):
irod в сообщении #1270402 писал(а):
Это дробная часть числа $x$?

Да. Но остаётся вопрос как её определить.

irod в сообщении #1270402 писал(а):
Целая часть $x$?

Тоже да. Но вопрос тот же.

Я понимаю что Давидовича на этом форуме нет, но может у Вас есть идеи какие определения тут лучше использовать? Я их нигде в листках не вижу.

-- 01.12.2017, 15:49 --

Или я с задачей 7 все усложняю, и надо строить графики просто по набору точек и с учетом проведенного исследования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение01.12.2017, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
(Я честно признаюсь, что не знаю методики обучения этой темы и не помню, как меня учили.)
irod в сообщении #1270684 писал(а):
Вот, например,
д) $\frac{2|x|}{1+x^2}$.
Но в этой задаче вся возня с модулями выглядит совершенно излишней. Достаточно построить график только для положительных $x$, а затем воспользоваться задачей 6.б) этого листа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение02.12.2017, 12:01 


16/08/17
53
irod в сообщении #1270684 писал(а):
Я понимаю что Давидовича на этом форуме нет, но может у Вас есть идеи какие определения тут лучше использовать?

Надо полагать, что от вас хотят определения, что $[\cdot] -$ это округление вниз. Но это не точно. Дело в том, что обозначение $[\cdot]$ вносит некоторую неопределённость. Ну то, что $[1{,}8]=1$ и ежу понятно. А вот чему равно $[-1{,}8]? $ Тут возможны разногласия. По определению "целая часть числа" хочется сказать $-1$, по определению "округление вниз" - $-2$. Вот чтобы с этим не связываться, ввели другие обозначения: $\lceil\cdot\rceil$ - округление вверх и $\lfloor\cdot\rfloor$ - округление вниз (в простонародье "пол" и "потолок"). И обычно полагают $[x]=\lfloor x\rfloor$. Попробуйте теперь получить определение для $\{x\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение02.12.2017, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
teleglaz

(Оффтоп)

Лучше запятую брать в круглые скобки: [1{,}8] -- $[1{,}8]$, если хочется писать по-русски, или использовать десятичную точку (я предпочитаю последний вариант для форумов и первый для печатных изданий на русском).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение02.12.2017, 13:01 


16/08/17
53

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1270956 писал(а):
teleglaz
[off]Лучше запятую брать в круглые скобки: [1{,}8] -- $[1{,}8]$, если хочется писать по-русски, или использовать десятичную точку (я предпочитаю последний вариант для форумов и первый для печатных изданий на русском).

(Оффтоп)

Согласен. Обычно ставлю скобки. Тут забыл просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение02.12.2017, 22:42 


21/02/16
476
Выложу пока сделанные пункты а-г.
Для исследования периодичности использую определение периодической функции в листке 19 (определение 5):
Число $c$ называется периодом функции $f:M\to\mathbb{R}$, если выполнены следующие условия:
1) $\forall x\in M\ x+c\in M,x-c\in M$; 2) $\forall x\in M\ f(x+c)=f(x)$.
Функция называется периодической, если у нее есть положительный период.

а) $f(x)=
\begin{cases} 
1, & \mbox{если } x\leq 0, \\
(x-1)^2, & \mbox{если } x>0
\end{cases}
$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $[0,+\infty[$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=1$.
Пересечение с $Ox$: $(x-1)^2=0$ при $x=1$.
Промежутки монотонности: функция монотонна при $x\leq 0$, и не монотонна при $x>0$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной, т.к. $(x-1)^2\neq(-x-1)^2\neq-(x-1)^2$.
Периодичность: не периодична.

б) $f(x)=
\begin{cases} 
|x|, & \mbox{если } |x|\leq 1, \\
2-x^2, & \mbox{если } |x|>1
\end{cases}
$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $f(x)\in[0,1]$ при $|x|\leq 1$ и $f(x)\in]-\infty,1[$ при $|x|>1$, что вместе дает $]-\infty,1]$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=0$.
Пересечение с $Ox$: $f(x)=0\Rightarrow x_1=0,x_{2,3}=\pm\sqrt{2}$.
Промежутки монотонности: возрастает на $]-\infty,-1[\cup[0,1]$, убывает на $[-1,0]\cup]1,+\infty[$.
Определение четности/нечетности: очевидно, четная.
Периодичность: не периодична.

в) $\frac{1}{|x|}$

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Множество значений: $]0,+\infty[$.
Пересечение с осями координат: не пересекается.
Промежутки монотонности: убывает при $x>0$ и возрастает при $x<0$.
Определение четности/нечетности: очевидно, четная.
Периодичность: не периодична.
График получается отражением части гиперболы $\frac{1}{x}$ при $x>0$ относительно $Oy$.

г) $\frac{|x|}{|x+1|}$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
Пересечение с осями координат: проходит через начало координат, т.е. $f(0)=0$.
Промежутки монотонности: возрастает на $]-\infty,-1[\cup[0,+\infty[$, убывает на $]-1,0]$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: не периодична.
График: $\frac{|x|}{|x+1|}=\left|\frac{x+1-1}{x+1}\right|=\left|1-\frac{1}{x+1}\right|$, т.е. рисуем гиперболу $\frac{1}{x}$, сдвигаем ее по $Ox$ на $1$ влево, отражаем относительно $Ox$, сдвигаем по $Oy$ на $1$ вверх и отражаем все отрицательные значения относительно $Ox$.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение05.12.2017, 13:38 


16/06/14
96
Всё хорошо, только нужно доработать 7.а. Про отсутствие монотонности имеет смысл говорить если функция не монотонна ни на каком отрезке (кстати, можете придумать такую?). В данном примере распишите по интервалам.

Что автор предпоалагал делать с $\frac{2|x|}{1+x^2}$ я не знаю. Можете попробовать следующее.
Во первых, посмотрим на поведение функции (предполагаем $x>0$, как указали выше). Возле нуля функция ведёт себя примерно как $x$. На бесконечности убывает к нулю. Поскольку степени числителя и знаменателя малы, сильных колебаний быть не должно. Осталось как-то соединить, для очистки совести можно вычислить несколько точек от $0.2$ до $2$.
Второй вариант. Сначала постройте график $x+\frac{1}{x}$. Потом по графику функции $f$ постройте график $\frac{1}{f}$.

Пара дополнительных вопросов.
Если функция периодична, то верно ли, что у неё есть наименьший период?
У дробно-линейной функции $\frac{ax+b}{cx+d}$ есть $4$ параметра. Когда Вы строили график $\alpha+\frac{k}{x-\beta}$, их осталось только три - координаты "центра" и коэффициент "прижимаемости к осям" гиперболы. Где мы потеряли ещё один?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение10.12.2017, 21:50 


21/02/16
476
deep down в сообщении #1272210 писал(а):
Всё хорошо, только нужно доработать 7.а. Про отсутствие монотонности имеет смысл говорить если функция не монотонна ни на каком отрезке (кстати, можете придумать такую?). В данном примере распишите по интервалам.

Функция $f(x)=
\begin{cases} 
1, & \mbox{если } x\leq 0, \\
(x-1)^2, & \mbox{если } x>0
\end{cases}
$ монотонна при $x\leq 0$, убывает на $[0,1]$, возрастает на $[1,+\infty[$.
deep down в сообщении #1272210 писал(а):
Что автор предпоалагал делать с $\frac{2|x|}{1+x^2}$ я не знаю. Можете попробовать следующее.
...
Второй вариант. Сначала постройте график $x+\frac{1}{x}$. Потом по графику функции $f$ постройте график $\frac{1}{f}$.

Я попробую второй вариант и поменяю местами пункты д и е этой задачи.

7.е) $x+\frac{1}{x}$

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Найдем множество значений.
Функция нигде не равна нулю, т.к. $x+\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^2=-1$, что невозможно при действительном $x$. При $x>0$ имеем $x+\frac{1}{x}>1$, при $x<0$ имеем $x+\frac{1}{x}<-1$. С ростом (убыванием) $x$ функция неограниченно возрастает (убывает). Таким образом, множество значений функции есть $]-\infty,1[\cup]1,+\infty[$.
Пересечение с осями координат: не пересекается.
Определение четности/нечетности: очевидно нечетная.
Найдем промежутки монотонности.
Рассмотрим разность значений
$$
f(x_2)-f(x_1)=
x_2+\frac{1}{x_2}-x_1-\frac{1}{x_1}=
x_2-x_1-\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}.
$$
Пусть $0<x_1<x_2\leq 1$. Тогда $x_1x_2<1\Rightarrow \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>x_2-x_1\Rightarrow f(x_2)<f(x_1)$, т.е. функция убывает на $]0,1]$.
Пусть теперь $1\leq x_1<x_2$. Тогда $x_1x_2>1\Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$, т.е. функция возрастает на $[1,+\infty[$.
Применяя нечетность функции, получим (задача 3) возрастание на $]-\infty,-1]$ и убывание на $[-1,0[$.
Таким образом, функция возрастает на $]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[$ и убывает на $[-1,0[\cup]0,1]$.
Периодичность: не периодична.
Для построения графика вычислим значения функции в некоторых положительных точках и отобразим график относительно начала координат:
\begin{tabular}{rccccc}
x & 0.25 & 0.5 & 1 & 2 & 4  \\
f(x) & 4.25 & 2.5 & 2 & 2.5 & 4.25 \\
\end{tabular}
Изображение

-- 10.12.2017, 21:53 --

deep down в сообщении #1272210 писал(а):
Пара дополнительных вопросов.

Спасибо, на это позже отвечу.
teleglaz
спасибо за помощь, к целой/дробной части тоже чуть позже вернусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение11.12.2017, 16:49 


16/06/14
96
Всё так.
В 7.а уточните
irod в сообщении #1273783 писал(а):
монотонна при $x\leq 0$

Как именно монотонна, возрастает или убывает? Лучше сказать, что она постоянна. Есть ли монотонность на $\left(-\infty, 1\right]$?

Ещё есть стандартное преобразование
$$x+\frac{1}{x} = (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$$
Верно при $x>0$. Другой способ - возвести выражение в квадрат, потом опять выделить квадрат разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение17.12.2017, 13:18 


21/02/16
476
Сделал наконец-то 7.д) $\frac{2|x|}{1+x^2}$

Определение четности/нечетности: очевидно четная.
Для облегчения дальнейшего исследования и построения графика сразу преобразуем функцию:
$$
\frac{2|x|}{1+x^2}=
2\left|\frac{x}{1+x^2}\right|=
2\left|\frac{1+x^2}{x}\right|^{-1}=
2\left|\frac{1}{x}+x\right|^{-1},
$$
т.е. надо построить график функции $\frac{2}{|g(x)|}$, где $g(x)=\frac{1}{x}+x$ -- функция из пункта е). Конкретней: строим график $\frac{1}{g(x)}$ по графику из п.е), растягиваем его в 2 раза по $Oy$, и отражаем все отрицательные значения относительно $Ox$. Или так: берем часть графика $g(x)$ при $x\geq 0$, строим по этой части график $\frac{1}{g(x)}$, растягиваем его в 2 раза по $Oy$, и отражаем относительно $Oy$ на отрицательные $x$ (т.к. наша функция четная).
Область определения: $\mathbb{R}$.
Пересечение с осями координат: проходит через начало координат, т.е. $f(0)=0$.
Найдем промежутки монотонности.
Рассмотрим только $x\geq 0$ и применим четность функции.
Из исследования функции из пункта е) следует, что наша функция возрастает на $[0,1]$ и убывает на $[1,+\infty[$. Проверим это формально. Как и ранее, рассмотрим разность
$$
f(x_2)-f(x_1)=
2\left(\frac{|x_2|}{1+x_2^2}-\frac{|x_1|}{1+x_1^2}\right)=
2\left(\frac{|x_2|(1+x_1^2)-|x_1|(1+x_2^2)}{(1+x_2^2)(1+x_1^2)}\right).
$$
Т.к. знаменатель всегда положителен, далее будем рассматривать только числитель, отбросив умножение на $2$:
$$
|x_2|(1+x_1^2)-|x_1|(1+x_2^2)=
(x_2-x_1)(1-x_1x_2).
$$
Для положительных $x_1,x_2$ таких, что $x_1<x_2$, имеем $x_2-x_1>0$.
Пусть $0\leq x_1<x_2\leq 1$. Тогда $x_1x_2<1$, значит $(x_2-x_1)(1-x_1x_2)>0$. Следовательно, функция действительно возрастает на $[0,1]$.
Пусть теперь $1\leq x_1<x_2$. Тогда $x_1x_2>1$, значит $(x_2-x_1)(1-x_1x_2)<0$. Следовательно, функция действительно убывает на $[1,+\infty[$.
Применив четность функции, получим возрастание на $]-\infty,-1]\cup[0,1]$ и убывание на $[-1,0]\cup[1,+\infty[$.
Согласно промежуткам монотонности, функция достигает максимума в точке $1$: $f(1)=1$. Все значения функции неотрицательны. Следовательно, множеством значений функции будет отрезок $[0,1]$.
Периодичность: не периодична.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rcccc}
x & 0.25 & 0.5 & 1 & 2 \\
f(x) & \approx 0.5 & 0.8 & 1 & 0.8 \\
\end{tabular}
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции: свойства и графики (Давидович)
Сообщение18.12.2017, 16:06 


21/02/16
476
deep down в сообщении #1274042 писал(а):
В 7.а уточните
irod в сообщении #1273783 писал(а):
монотонна при $x\leq 0$

Как именно монотонна, возрастает или убывает?

Можно сказать что не возрастает, можно сказать что не убывает, в данном случае разницы нет.
deep down в сообщении #1274042 писал(а):
Лучше сказать, что она постоянна.

Ок.
deep down в сообщении #1274042 писал(а):
Есть ли монотонность на $\left(-\infty, 1\right]$?

Есть - невозрастающая.

-- 18.12.2017, 16:12 --

deep down в сообщении #1274042 писал(а):
Ещё есть стандартное преобразование
$$x+\frac{1}{x} = (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 + 2$$
Верно при $x>0$. Другой способ - возвести выражение в квадрат, потом опять выделить квадрат разности.

А зачем тут выделять квадрат? Что это даст по сравнению с моим способом без выделения квадрата? Это может как-то облегчить исследование на монотонность?
Вот в задаче 2.б было понятно зачем нужно выделение квадрата - чтобы увидеть сдвиг параболы по $Ox$ и для исследования на монотонность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group