2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 23:10 


10/10/17
89
provincialka в сообщении #1272739 писал(а):
И что получим?

Значение, близкое к нулю. И тогда можно просто оставить левую дробь.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение06.12.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Именно! Пишите, что получилось. И что с этим надо сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение07.12.2017, 12:03 


10/10/17
89
provincialka в сообщении #1272749 писал(а):
Пишите, что получилось. И что с этим надо сделать.


$\frac{0,5}{2n+1}<\varepsilon$

$n>\frac{0,25}{\varepsilon}-0,5$

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение07.12.2017, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Хорошо. Сможете теперь все решение записать подряд и с нужными словами?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение08.12.2017, 19:37 


10/10/17
89
provincialka в сообщении #1272861 писал(а):
Сможете теперь все решение записать подряд и с нужными словами?


$X_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\cos k !}{(2k-1)(2k+1)}$

$\forall \varepsilon > 0  \exists n_{0} : \forall n\geq n_{0} \forall p\in \mathbb{N} : \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$

$\left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon$

$|X_n_+_p-X_n| = |(\frac{\cos (1)!}{3}+\frac{\cos (2)!}{15}+...+\frac{\cos (n) !}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{\cos (n+1) !}{(2(n+1)-1)(2(n-1)+1)}+...+\frac{\cos (n+p) !}{(2(n+p)-1)(2(n-p)+1)})-(\frac{\cos (1)!}{3}+\frac{\cos (2)!}{15}+...+\frac{\cos (n) !}{(2n-1)(2n+1)})| = |\frac{\cos (n+1) !}{(2(n+1)-1)(2(n-1)+1)}+\frac{\cos (n+2) !}{(2(n+2)-1)(2(n-2)+1)}+...+\frac{\cos (n+p) !}{(2(n+p)-1)(2(n-p)+1)}| \leqslant \frac{| \cos (n+1) ! |}{(2(n+1)-1)(2(n-1)+1)}+\frac{| \cos (n+2) ! |}{(2(n+2)-1)(2(n-2)+1)}+...+\frac{| \cos (n+p) ! |}{(2(n+p)-1)(2(n-p)+1)} \leqslant \frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n-1)+1)}+\frac{1}{(2(n+2)-1)(2(n-2)+1)}+...+\frac{1}{(2(n+p)-1)(2(n-p)+1)} = \frac{0.5}{2(n+1)-1}-\frac{0.5}{2(n+1)+1}+\frac{0.5}{2(n+2)-1}-\frac{0.5}{2(n+2)+1}+...+\frac{0.5}{2(n+p)-1}-\frac{0.5}{2(n+p)+1} = \frac{0.5}{2n+1}-\frac{0.5}{2n+2p+1} \leqslant  \frac{0.5}{2n+1} < \varepsilon$


$\frac{0,5}{2n+1}<\varepsilon$

$n>\frac{0,25}{\varepsilon}-0,5$

Последовательность удовлетворяет условию Коши, следовательно, данная последовательность сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение08.12.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Нормально... Разве что добавить слова, например,
"Итак, $\left | X_{n+p} - X_{n} \right | < \varepsilon$ при произвольных $p>0$ и $n> \frac{1}{4\varepsilon}-0{,}5$, так что в определении фундаментальности можно положить $n_0=\lceil \frac{1}{4\varepsilon}\rceil$"

-- 08.12.2017, 19:55 --

Потому что суть определения состоит именно в том, что "существует $n_0$ такое, что <...>". А вы его и предъявили!

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 задачи про последовательности
Сообщение08.12.2017, 21:27 


10/10/17
89
Всем спасибо за помощь!
На одну совершенно непонятную тему стало меньше :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group