Предел функции (Давидович)

[irod]

svv
хорошая картинка

irod в сообщении #1269929 писал(а):

Не, я прошу прощения, на самом деле утверждение должно быть такое: если функция $f$ бесконечно мала при $x\to a$, а функция $g$ ограничена, то функция $fg$ бесконечно мала при $x\to a$.
Для доказательства можно использовать задачу 10.а этого листка.

deep down в сообщении #1270122 писал(а):

10.а недостаточно - там функция строго констатная. Лучше докажите напрямую.
И ещё совет - в выкладках используйте определение 3. Последовательнось обычно появляется в доказательствах от противного (когда предполагаем, что предела нет и найдётся соответствующая последовательность). И при $\varepsilon-\delta$ лучше видно поведение функции.

Пусть $-c<g(x)<c$ для любого $x$.
Тогда из $-\frac{\varepsilon}{c}<f(x)<\frac{\varepsilon}{c}$ следует $-\varepsilon<f(x)g(x)<\varepsilon$, т.е. для произвольного $\varepsilon>0$ берем $\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{c}$, тогда, если $f(x)\in U_{\varepsilon_1}(0)$ для любого $x\in\dot{U}_{\delta(\varepsilon_1)}$ в определении 3, то $f(x)g(x)\in U_\varepsilon(0)$ для тех же $x$.

-- 05.12.2017, 16:12 --

irod в сообщении #1267578 писал(а):

Задача 7.б.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$.

deep down в сообщении #1268483 писал(а):

Ещё наблюдение с "качественной" точки зрения. Если существует $\lim_{x\to 0}f(x)$, то $f$ ограничена в некоторой окрестности нуля (докажите это). Теперь смотрим на сомножители: $x-3$ бесконечно малая, $x+3$ ограничена. Значит, произведение тоже бесконечно мало (сформулируйте и докажите это утверждение в общем случае).

Только сейчас нормально осмыслил это. Отличный способ доказательства, нравится мне гораздо больше чем возня с выражением $\varepsilon$ и $\delta$ друг через друга и решением школьных неравенств!
Только наверное первое утверждение надо обобщить так: если предел $f$ в некоторой точке (не обязательно в нуле) существует, то $f$ ограничена в некоторой окрестности этой точки. В 7.б ведь $x\to 3$, а не $x\to 0$. Мое доказательство утверждения от этого никак не меняется, кроме замены $0$ на $a$ в выкладках. Верно?

[irod]

deep down в сообщении #1268483 писал(а):

И в примерах сложнее, чем 7.6 можно заранее выбирать $\delta<1$, тогда $|x+3|<7$. И оценку можно сделать раньше, чтобы тащить её через меньшее количество формул.

Да, точно, это тоже все упрощает.

-- 05.12.2017, 16:52 --

Прошу подпнуть меня в правильном направлении по последней оставшейся задаче:

Задача 16*.
Пусть $f$ и $g$ -- взаимно обратные функции на $\mathbb{R}$, и $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$. Обязательно ли $\lim\limits_{x\to b}g(x)=a$?

Я подозреваю что нет, необязательно, и надо просто придумать контрпример. Это так?

Еще мысли.
Пусть $(y_n)\to b$, и $(g(y_n))\not\to a$. Тогда $f(g(y_n))=y_n$, т.е. последовательность значений $f$ может сходиться к $b$, даже когда соответствующая последовательность аргументов не сходится к $a$. Кажется, тут нет никакого противоречия.
Из обратимости $f$ следует ее взаимно однозначность. Вопрос: могут ли последовательности значений взаимно однозначной функции сходиться к одному и тому же пределу, если соответствующие последовательности аргументов сходятся к разным пределам? Это тоже не смог опровергнуть.

[deep down]

irod в сообщении #1272235 писал(а):

нравится мне гораздо больше чем возня с выражением $\varepsilon$ и $\delta$ друг через друга

Строго говоря, один раз повозиться придётся - когда доказываем общее утверждение. А вот потом достаточно на него ссылаться. Так математика и работает ))

irod в сообщении #1272235 писал(а):

если предел $f$ в некоторой точке (не обязательно в нуле) существует

Вы правильно понимаете, ноль был только для примера.

irod в сообщении #1272263 писал(а):

надо просто придумать контрпример. Это так?

Да. Только не знаю как лучше намекнуть. Попробуйте сначала сами. Один из вариантов придумывания таких контрпримеров - взять "хорошую" функцию, да хоть $f(x)=x$ и начать её понемногу "портить". Главное - чётко представить, что мы хотим от этого получить.

Кстати, вот намного более полезный факт. Если не существует $\lim_{x \to a}f(x)$, то найдутся такие две последовательности $\{x_n\}, \{y_n\}$ сходящиеся к $a$, что $\lim x_n$ и $\lim y_n$ существуют и не равны между собой. Такая формулировка верна для ограниченных функций, в общем случае нужны оговорки насчёт $\pm\infty$.
В обратную сторону тоже верно - достаточно рассмотреть последовательность $\{x_1, y_1, x_2, y_2,\dots\}$ или сказать, что в любой окрестности $a$ найдутся точки такие, что ... (продолжите сами).

[irod]

Не могу придумать контрпример к 16-й задаче, прошу подсказок.
Пляшу от этого:

irod в сообщении #1272263 писал(а):

Пусть $(y_n)\to b$, и $(g(y_n))\not\to a$. Тогда $f(g(y_n))=y_n$, т.е. последовательность значений $f$ может сходиться к $b$, даже когда соответствующая последовательность аргументов не сходится к $a$.

Придумать такую функцию дело нехитрое, но как сделать ее взаимно однозначной?

Возьмем отрезок с центром в т.$a$. При стремлении $x$ к $a$ с обеих сторон (и слева и справа) значения $f$ стремятся к $b$ только с одной стороны. Как это сделать с сохранением взаимно однозначности $f$? Есть другой отрезок, с центром, скажем, в точке $c$. Аналогично, при стремлении $x$ к $c$ с обеих сторон значения $f$ стремятся к $b$ только с одной стороны (не с той, что при $x\to a$). Эти два отрезка не пересекаются. На иксах вне этих отрезков $f(x)=x$.

Пример такой функции $f$ без взаимно однозначности (точки отрезков на одинаковом расстоянии от центра отрезка склеиваются):
на отрезке с центром в т.$a$: $f(x)=b+|a-x|$,
на отрезке с центром в т.$c$: $f(x)=b-|c-x|$.
Здесь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ и $\lim\limits_{x\to c}f(x)=b$.

-- 14.12.2017, 15:06 --

Еще хотел уточнить по 1-й задаче. Я как будто нашел недочет в своем доказательстве:

irod в сообщении #1265827 писал(а):

Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 2.
Предположим, что определение 3 не выполнено, т.е. $\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$.
Возьмем произвольное $\delta>0$ и возьмем $x_1\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_1)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Далее, на каждом ($n$-м) шаге уменьшаем $\delta$ вдвое и берем $x_n\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_n)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Получим последовательность $(x_n)\to a$, для которой последовательность $(f(x_n))$ не сходится к $b$. Полученное противоречие доказывает, что из определения 2 следует определение 3.

К выделенному надо добавить: и такой, что $x_n\neq x_{n-1}$. Иначе в последовательности могут быть одинаковые иксы. Но потом я подумал, и понял что все иксы все равно не могут быть одинаковыми при стремлении $\delta$ к нулю, а конечное число одинаковых ни на что не влияет, все равно будет $x_n\to a$. Я прав, мое старое доказательство не нуждается в этом дополнении?

[irod]

deep down в сообщении #1272312 писал(а):

Кстати, вот намного более полезный факт. Если не существует $\lim_{x \to a}f(x)$, то найдутся такие две последовательности $\{x_n\}, \{y_n\}$ сходящиеся к $a$, что $\lim x_n$ и $\lim y_n$ существуют и не равны между собой. Такая формулировка верна для ограниченных функций, в общем случае нужны оговорки насчёт $\pm\infty$.

Вы хотели написать $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)$ и $\lim\limits_{n\to\infty}f(y_n)$ существуют и не равны между собой?

-- 14.12.2017, 16:31 --

deep down в сообщении #1272312 писал(а):

В обратную сторону тоже верно - достаточно рассмотреть последовательность $\{x_1, y_1, x_2, y_2,\dots\}$ или сказать, что в любой окрестности $a$ найдутся точки такие, что ... (продолжите сами).

Все-таки я Вас не понял. Обратное утверждение ведь не такое: из $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=b$ и $\lim\limits_{n\to\infty}f(y_n)=c$ следует $(x_n)\to a$ и $(y_n)\to a$? Потому что это бессмыслица.

[irod]

irod в сообщении #1274834 писал(а):

Не могу придумать контрпример к 16-й задаче, прошу подсказок.

В общем, я уже сломал всю голову в попытках придумать этот контрпример. В отсутствие подсказок и своих новых мыслей не хочу сейчас больше тратить на эту задачу время. Иду дальше.
Большое спасибо всем кто мне помогал, я стал на один листок ближе к цели!

[grizzly]

irod в сообщении #1276556 писал(а):

Иду дальше.

Правильно. Давидович в комментариях советует не относиться к этой задаче серьёзно. Она просто демонстрирует, что с понятием предела функции всё не настолько гладко, как может показаться.