2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение05.12.2017, 15:36 


21/02/16
374
svv
хорошая картинка :-)
irod в сообщении #1269929 писал(а):
Не, я прошу прощения, на самом деле утверждение должно быть такое: если функция $f$ бесконечно мала при $x\to a$, а функция $g$ ограничена, то функция $fg$ бесконечно мала при $x\to a$.
Для доказательства можно использовать задачу 10.а этого листка.
deep down в сообщении #1270122 писал(а):
10.а недостаточно - там функция строго констатная. Лучше докажите напрямую.
И ещё совет - в выкладках используйте определение 3. Последовательнось обычно появляется в доказательствах от противного (когда предполагаем, что предела нет и найдётся соответствующая последовательность). И при $\varepsilon-\delta$ лучше видно поведение функции.

Пусть $-c<g(x)<c$ для любого $x$.
Тогда из $-\frac{\varepsilon}{c}<f(x)<\frac{\varepsilon}{c}$ следует $-\varepsilon<f(x)g(x)<\varepsilon$, т.е. для произвольного $\varepsilon>0$ берем $\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{c}$, тогда, если $f(x)\in U_{\varepsilon_1}(0)$ для любого $x\in\dot{U}_{\delta(\varepsilon_1)}$ в определении 3, то $f(x)g(x)\in U_\varepsilon(0)$ для тех же $x$.

-- 05.12.2017, 16:12 --

irod в сообщении #1267578 писал(а):
Задача 7.б.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$.
deep down в сообщении #1268483 писал(а):
Ещё наблюдение с "качественной" точки зрения. Если существует $\lim_{x\to 0}f(x)$, то $f$ ограничена в некоторой окрестности нуля (докажите это). Теперь смотрим на сомножители: $x-3$ бесконечно малая, $x+3$ ограничена. Значит, произведение тоже бесконечно мало (сформулируйте и докажите это утверждение в общем случае).

Только сейчас нормально осмыслил это. Отличный способ доказательства, нравится мне гораздо больше чем возня с выражением $\varepsilon$ и $\delta$ друг через друга и решением школьных неравенств!
Только наверное первое утверждение надо обобщить так: если предел $f$ в некоторой точке (не обязательно в нуле) существует, то $f$ ограничена в некоторой окрестности этой точки. В 7.б ведь $x\to 3$, а не $x\to 0$. Мое доказательство утверждения от этого никак не меняется, кроме замены $0$ на $a$ в выкладках. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение05.12.2017, 16:39 


21/02/16
374
deep down в сообщении #1268483 писал(а):
И в примерах сложнее, чем 7.6 можно заранее выбирать $\delta<1$, тогда $|x+3|<7$. И оценку можно сделать раньше, чтобы тащить её через меньшее количество формул.

Да, точно, это тоже все упрощает.

-- 05.12.2017, 16:52 --

Прошу подпнуть меня в правильном направлении по последней оставшейся задаче:

Задача 16*.
Пусть $f$ и $g$ -- взаимно обратные функции на $\mathbb{R}$, и $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$. Обязательно ли $\lim\limits_{x\to b}g(x)=a$?

Я подозреваю что нет, необязательно, и надо просто придумать контрпример. Это так?

Еще мысли.
Пусть $(y_n)\to b$, и $(g(y_n))\not\to a$. Тогда $f(g(y_n))=y_n$, т.е. последовательность значений $f$ может сходиться к $b$, даже когда соответствующая последовательность аргументов не сходится к $a$. Кажется, тут нет никакого противоречия.
Из обратимости $f$ следует ее взаимно однозначность. Вопрос: могут ли последовательности значений взаимно однозначной функции сходиться к одному и тому же пределу, если соответствующие последовательности аргументов сходятся к разным пределам? Это тоже не смог опровергнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение05.12.2017, 19:18 


16/06/14
96
irod в сообщении #1272235 писал(а):
нравится мне гораздо больше чем возня с выражением $\varepsilon$ и $\delta$ друг через друга

Строго говоря, один раз повозиться придётся - когда доказываем общее утверждение. А вот потом достаточно на него ссылаться. Так математика и работает ))

irod в сообщении #1272235 писал(а):
если предел $f$ в некоторой точке (не обязательно в нуле) существует

Вы правильно понимаете, ноль был только для примера.

irod в сообщении #1272263 писал(а):
надо просто придумать контрпример. Это так?

Да. Только не знаю как лучше намекнуть. Попробуйте сначала сами. Один из вариантов придумывания таких контрпримеров - взять "хорошую" функцию, да хоть $f(x)=x$ и начать её понемногу "портить". Главное - чётко представить, что мы хотим от этого получить.

Кстати, вот намного более полезный факт. Если не существует $\lim_{x \to a}f(x)$, то найдутся такие две последовательности $\{x_n\}, \{y_n\}$ сходящиеся к $a$, что $\lim x_n$ и $\lim y_n$ существуют и не равны между собой. Такая формулировка верна для ограниченных функций, в общем случае нужны оговорки насчёт $\pm\infty$.
В обратную сторону тоже верно - достаточно рассмотреть последовательность $\{x_1, y_1, x_2, y_2,\dots\}$ или сказать, что в любой окрестности $a$ найдутся точки такие, что ... (продолжите сами).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.12.2017, 14:58 


21/02/16
374
Не могу придумать контрпример к 16-й задаче, прошу подсказок.
Пляшу от этого:
irod в сообщении #1272263 писал(а):
Пусть $(y_n)\to b$, и $(g(y_n))\not\to a$. Тогда $f(g(y_n))=y_n$, т.е. последовательность значений $f$ может сходиться к $b$, даже когда соответствующая последовательность аргументов не сходится к $a$.

Придумать такую функцию дело нехитрое, но как сделать ее взаимно однозначной?

Возьмем отрезок с центром в т.$a$. При стремлении $x$ к $a$ с обеих сторон (и слева и справа) значения $f$ стремятся к $b$ только с одной стороны. Как это сделать с сохранением взаимно однозначности $f$? Есть другой отрезок, с центром, скажем, в точке $c$. Аналогично, при стремлении $x$ к $c$ с обеих сторон значения $f$ стремятся к $b$ только с одной стороны (не с той, что при $x\to a$). Эти два отрезка не пересекаются. На иксах вне этих отрезков $f(x)=x$.

Пример такой функции $f$ без взаимно однозначности (точки отрезков на одинаковом расстоянии от центра отрезка склеиваются):
на отрезке с центром в т.$a$: $f(x)=b+|a-x|$,
на отрезке с центром в т.$c$: $f(x)=b-|c-x|$.
Здесь $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ и $\lim\limits_{x\to c}f(x)=b$.

-- 14.12.2017, 15:06 --

Еще хотел уточнить по 1-й задаче. Я как будто нашел недочет в своем доказательстве:
irod в сообщении #1265827 писал(а):
Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 2.
Предположим, что определение 3 не выполнено, т.е. $\exists\varepsilon_0>0\ \forall\delta>0\ \exists x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$.
Возьмем произвольное $\delta>0$ и возьмем $x_1\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_1)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Далее, на каждом ($n$-м) шаге уменьшаем $\delta$ вдвое и берем $x_n\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ такой, что $f(x_n)\not\in U_{\varepsilon_0}(b)$. Получим последовательность $(x_n)\to a$, для которой последовательность $(f(x_n))$ не сходится к $b$. Полученное противоречие доказывает, что из определения 2 следует определение 3.

К выделенному надо добавить: и такой, что $x_n\neq x_{n-1}$. Иначе в последовательности могут быть одинаковые иксы. Но потом я подумал, и понял что все иксы все равно не могут быть одинаковыми при стремлении $\delta$ к нулю, а конечное число одинаковых ни на что не влияет, все равно будет $x_n\to a$. Я прав, мое старое доказательство не нуждается в этом дополнении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение14.12.2017, 16:25 


21/02/16
374
deep down в сообщении #1272312 писал(а):
Кстати, вот намного более полезный факт. Если не существует $\lim_{x \to a}f(x)$, то найдутся такие две последовательности $\{x_n\}, \{y_n\}$ сходящиеся к $a$, что $\lim x_n$ и $\lim y_n$ существуют и не равны между собой. Такая формулировка верна для ограниченных функций, в общем случае нужны оговорки насчёт $\pm\infty$.

Вы хотели написать $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)$ и $\lim\limits_{n\to\infty}f(y_n)$ существуют и не равны между собой?

-- 14.12.2017, 16:31 --

deep down в сообщении #1272312 писал(а):
В обратную сторону тоже верно - достаточно рассмотреть последовательность $\{x_1, y_1, x_2, y_2,\dots\}$ или сказать, что в любой окрестности $a$ найдутся точки такие, что ... (продолжите сами).

Все-таки я Вас не понял. Обратное утверждение ведь не такое: из $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=b$ и $\lim\limits_{n\to\infty}f(y_n)=c$ следует $(x_n)\to a$ и $(y_n)\to a$? Потому что это бессмыслица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение19.12.2017, 18:47 


21/02/16
374
irod в сообщении #1274834 писал(а):
Не могу придумать контрпример к 16-й задаче, прошу подсказок.

В общем, я уже сломал всю голову в попытках придумать этот контрпример. В отсутствие подсказок и своих новых мыслей не хочу сейчас больше тратить на эту задачу время. Иду дальше.
Большое спасибо всем кто мне помогал, я стал на один листок ближе к цели!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции (Давидович)
Сообщение19.12.2017, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4901
irod в сообщении #1276556 писал(а):
Иду дальше.
Правильно. Давидович в комментариях советует не относиться к этой задаче серьёзно. Она просто демонстрирует, что с понятием предела функции всё не настолько гладко, как может показаться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group